Номер 271, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 1. Возрастание и убывание функции - номер 271, страница 109.

Условие.

271. На рисунке 58 изображён график функции $f'(x)$, являющейся производной функции $y$. Определить промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$. Рис. 58

272. При каких значениях $a$ функция возрастает на всей числовой прямой:

1) $y = x^3 - ax$:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

271.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $y = f(x)$, необходимо проанализировать знак её производной $f'(x)$. Функция возрастает, когда её производная положительна ($f'(x) > 0$), и убывает, когда её производная отрицательна ($f'(x) < 0$).

Нам предоставлен график функции $y = f'(x)$. Проанализируем его:

Промежутки возрастания функции $f(x)$:
Функция $f(x)$ возрастает там, где $f'(x) > 0$. На графике это соответствует участкам, где кривая находится выше оси абсцисс (оси $x$). Из рисунка видно, что график $f'(x)$ положителен на интервале $(-1, 3)$. Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[-1, 3]$.

Промежутки убывания функции $f(x)$:
Функция $f(x)$ убывает там, где $f'(x) < 0$. На графике это соответствует участкам, где кривая находится ниже оси абсцисс. Таких участков два. Первый — от левой границы видимой области графика (приблизительно $x=-5$) до $x=-1$. Второй — от $x=3$ до $x=4$. Следовательно, функция $f(x)$ убывает на промежутках $[-5, -1]$ и $[3, 4]$.

Точки, в которых производная обращается в ноль ($x=-1$, $x=3$ и $x=4$), являются критическими (стационарными) точками для исходной функции $f(x)$.

Ответ: функция $y=f(x)$ возрастает на промежутке $[-1, 3]$; убывает на промежутках $[-5, -1]$ и $[3, 4]$.

272. 1)

Рассмотрим функцию $y = x^3 - ax$.

Функция возрастает на всей числовой прямой, если ее производная $y'$ является неотрицательной (то есть $y' \ge 0$) для всех действительных значений $x$.

Сначала найдем производную данной функции по переменной $x$:
$y' = (x^3 - ax)' = 3x^2 - a$.

Теперь необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых неравенство $3x^2 - a \ge 0$ будет выполняться для любого значения $x$.

Запишем неравенство в виде:
$3x^2 \ge a$.

Проанализируем левую часть неравенства. Выражение $3x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и с вершиной в точке $(0, 0)$. Наименьшее значение, которое может принимать выражение $3x^2$, равно $0$ (это значение достигается при $x=0$).

Для того чтобы неравенство $3x^2 \ge a$ было верным для всех без исключения значений $x$, правая часть ($a$) должна быть не больше, чем самое наименьшее значение левой части.

Следовательно, мы получаем условие: $a \le 0$.

Ответ: $a \le 0$.