Номер 272, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 1. Возрастание и убывание функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 272, страница 109.

Условие.

272. При каких значениях a функция возрастает на всей числовой прямой:

1) $y = x^3 - ax;$

2) $y = ax - \sin x?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для того чтобы функция $y = x^3 - ax$ возрастала на всей числовой прямой, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрицательна для всех действительных значений $x$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - ax)' = 3x^2 - a$.

Условие возрастания функции на всей числовой прямой: $y' \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Получаем неравенство: $3x^2 - a \ge 0$, или $3x^2 \ge a$.

Это неравенство должно выполняться для всех значений $x$. Левая часть неравенства, $3x^2$, представляет собой параболу с ветвями вверх, ее наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно $3 \cdot 0^2 = 0$.

Следовательно, чтобы неравенство $3x^2 \ge a$ выполнялось для всех $x$, значение $a$ должно быть не больше наименьшего значения левой части, то есть $a \le 0$.

Ответ: $a \le 0$.

2) Для того чтобы функция $y = ax - \sin x$ возрастала на всей числовой прямой, ее производная должна быть неотрицательна для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:

$y' = (ax - \sin x)' = a - \cos x$.

Условие возрастания функции на всей числовой прямой: $y' \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Получаем неравенство: $a - \cos x \ge 0$, или $a \ge \cos x$.

Это неравенство должно быть верным для всех действительных значений $x$. Множество значений функции $\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Чтобы неравенство $a \ge \cos x$ выполнялось для всех $x$, значение $a$ должно быть не меньше наибольшего значения функции $\cos x$. Наибольшее значение $\cos x$ равно 1.

Следовательно, $a \ge 1$.

Ответ: $a \ge 1$.