Номер 273, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 1. Возрастание и убывание функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 273, страница 109.

Условие.

273. Доказать, что функция $y=\sqrt{6+x-x^2}$ возрастает на отрезке $\left[-2; \frac{1}{2}\right]$ и убывает на отрезке $\left[\frac{1}{2}; 3\right]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства утверждения исследуем функцию $y = \sqrt{6 + x - x^2}$ на монотонность с помощью производной.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$6 + x - x^2 \ge 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:

$x^2 - x - 6 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$x_1 = -2$, $x_2 = 3$.

Парабола $f(x) = x^2 - x - 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2; 3]$.

Теперь найдем производную функции $y'$:

$y' = (\sqrt{6 + x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{6 + x - x^2}} \cdot (6 + x - x^2)' = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{6 + x - x^2}}$

Интервалы монотонности функции определяются знаком ее производной. Так как знаменатель $2\sqrt{6 + x - x^2}$ положителен для всех $x$ из интервала $(-2; 3)$, знак производной $y'$ совпадает со знаком ее числителя $(1 - 2x)$.

Доказать, что функция возрастает на отрезке $[-2; \frac{1}{2}]$

Функция возрастает, если ее производная неотрицательна ($y' \ge 0$).

$1 - 2x \ge 0$

$1 \ge 2x$

$x \le \frac{1}{2}$

С учетом области определения функции $[-2; 3]$, получаем, что производная $y' \ge 0$ на отрезке $[-2; \frac{1}{2}]$. Следовательно, на этом отрезке функция является возрастающей.

Ответ: Утверждение доказано. Так как производная $y' \ge 0$ для всех $x \in [-2; \frac{1}{2}]$, функция возрастает на отрезке $[-2; \frac{1}{2}]$.

Доказать, что функция убывает на отрезке $[\frac{1}{2}; 3]$

Функция убывает, если ее производная неположительна ($y' \le 0$).

$1 - 2x \le 0$

$1 \le 2x$

$x \ge \frac{1}{2}$

С учетом области определения функции $[-2; 3]$, получаем, что производная $y' \le 0$ на отрезке $[\frac{1}{2}; 3]$. Следовательно, на этом отрезке функция является убывающей.

Ответ: Утверждение доказано. Так как производная $y' \le 0$ для всех $x \in [\frac{1}{2}; 3]$, функция убывает на отрезке $[\frac{1}{2}; 3]$.