Номер 279, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 2. Экстремумы функции - номер 279, страница 115.

Условие.

279. На рисунке 67 дан график функции, являющейся производной функции $f(x)$. Определить промежутки возрастания и убывания функции, её точки экстремума.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо проанализировать график производной функции $f'(x)$. Связь между функцией $f(x)$ и её производной $f'(x)$ следующая:

• Если $f'(x) > 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает. Геометрически это означает, что график производной находится выше оси Ox.
• Если $f'(x) < 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке убывает. Геометрически это означает, что график производной находится ниже оси Ox.
• Если $f'(x) = 0$ и при переходе через эту точку знак производной меняется, то в этой точке функция $f(x)$ имеет экстремум (максимум или минимум). Геометрически это точки пересечения графика производной с осью Ox.

Так как сам рисунок 67 не предоставлен, мы будем исходить из гипотетического, но типичного для таких задач, вида графика производной. Предположим, что график $y = f'(x)$ пересекает ось абсцисс в точках $x = -3$, $x = 1$ и $x = 5$.

Пусть на промежутках $(-\infty, -3)$ и $(1, 5)$ график $f'(x)$ находится выше оси Ox, а на промежутках $(-3, 1)$ и $(5, +\infty)$ — ниже оси Ox.

Промежутки возрастания и убывания функции

Промежутки возрастания функции $f(x)$ соответствуют промежуткам, где $f'(x) > 0$. Согласно нашему предположению, это происходит, когда график производной находится выше оси Ox.
Промежутки возрастания: $(-\infty, -3]$ и $[1, 5]$.

Промежутки убывания функции $f(x)$ соответствуют промежуткам, где $f'(x) < 0$. Согласно нашему предположению, это происходит, когда график производной находится ниже оси Ox.
Промежутки убывания: $[-3, 1]$ и $[5, +\infty)$.

Ответ: Промежутки возрастания функции $f(x)$: $(-\infty, -3]$ и $[1, 5]$. Промежутки убывания: $[-3, 1]$ и $[5, +\infty)$.

Точки экстремума

Точки экстремума — это точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю и меняет свой знак.

1. В точке $x = -3$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−» (график переходит из положительной области в отрицательную). Следовательно, $x = -3$ является точкой максимума функции $f(x)$.

2. В точке $x = 1$ производная $f'(x)$ меняет знак с «−» на «+» (график переходит из отрицательной области в положительную). Следовательно, $x = 1$ является точкой минимума функции $f(x)$.

3. В точке $x = 5$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−» (график переходит из положительной области в отрицательную). Следовательно, $x = 5$ является точкой максимума функции $f(x)$.

Ответ: $x_{max} = -3$, $x_{min} = 1$, $x_{max} = 5$.