Номер 285, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 285, страница 120.

№285 (с. 120)
Условие. №285 (с. 120)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 120, номер 285, Условие

285. Найти наименьшее значение функции:

1) $x^2 + \frac{16}{x^2}$ при $x > 0;$

2) $x + \frac{4}{x}$ при $x > 0.$

Решение 1. №285 (с. 120)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 120, номер 285, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 120, номер 285, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 120, номер 285, Решение 1 (продолжение 3)
Решение 2. №285 (с. 120)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 120, номер 285, Решение 2
Решение 3. №285 (с. 120)

1) Для нахождения наименьшего значения функции $y(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$ при $x > 0$ воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $a+b \ge 2\sqrt{ab}$, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

В нашем случае, поскольку по условию $x > 0$, оба слагаемых в функции, $a = x^2$ и $b = \frac{16}{x^2}$, являются положительными. Применим к ним неравенство Коши:

$x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{16}{x^2}} = 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8$.

Таким образом, наименьшее значение, которое может принимать функция, равно 8. Это значение достигается при выполнении условия равенства слагаемых, то есть $a=b$:

$x^2 = \frac{16}{x^2}$

$x^4 = 16$

Так как $x > 0$, единственным решением является $x=2$. Проверим значение функции в этой точке: $y(2) = 2^2 + \frac{16}{2^2} = 4 + 4 = 8$.

Ответ: 8.

2) Для нахождения наименьшего значения функции $y(x) = x + \frac{4}{x}$ при $x > 0$ аналогично воспользуемся неравенством Коши. Слагаемые $a=x$ и $b=\frac{4}{x}$ положительны, так как $x > 0$.

Применяем неравенство $a+b \ge 2\sqrt{ab}$:

$x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно 4. Оно достигается, когда слагаемые равны:

$x = \frac{4}{x}$

$x^2 = 4$

Учитывая, что $x > 0$, получаем $x=2$. Проверим значение функции в этой точке: $y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 285 расположенного на странице 120 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №285 (с. 120), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.