Номер 285, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 285, страница 120.
№285 (с. 120)
Условие. №285 (с. 120)
скриншот условия

285. Найти наименьшее значение функции:
1) $x^2 + \frac{16}{x^2}$ при $x > 0;$
2) $x + \frac{4}{x}$ при $x > 0.$
Решение 1. №285 (с. 120)



Решение 2. №285 (с. 120)

Решение 3. №285 (с. 120)
1) Для нахождения наименьшего значения функции $y(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$ при $x > 0$ воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $a+b \ge 2\sqrt{ab}$, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.
В нашем случае, поскольку по условию $x > 0$, оба слагаемых в функции, $a = x^2$ и $b = \frac{16}{x^2}$, являются положительными. Применим к ним неравенство Коши:
$x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{16}{x^2}} = 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8$.
Таким образом, наименьшее значение, которое может принимать функция, равно 8. Это значение достигается при выполнении условия равенства слагаемых, то есть $a=b$:
$x^2 = \frac{16}{x^2}$
$x^4 = 16$
Так как $x > 0$, единственным решением является $x=2$. Проверим значение функции в этой точке: $y(2) = 2^2 + \frac{16}{2^2} = 4 + 4 = 8$.
Ответ: 8.
2) Для нахождения наименьшего значения функции $y(x) = x + \frac{4}{x}$ при $x > 0$ аналогично воспользуемся неравенством Коши. Слагаемые $a=x$ и $b=\frac{4}{x}$ положительны, так как $x > 0$.
Применяем неравенство $a+b \ge 2\sqrt{ab}$:
$x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.
Следовательно, наименьшее значение функции равно 4. Оно достигается, когда слагаемые равны:
$x = \frac{4}{x}$
$x^2 = 4$
Учитывая, что $x > 0$, получаем $x=2$. Проверим значение функции в этой точке: $y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$.
Ответ: 4.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 285 расположенного на странице 120 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №285 (с. 120), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.