Номер 285, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 285, страница 120.

Условие.

285. Найти наименьшее значение функции:

1) $x^2 + \frac{16}{x^2}$ при $x > 0;$

2) $x + \frac{4}{x}$ при $x > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения наименьшего значения функции $y(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$ при $x > 0$ воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $a+b \ge 2\sqrt{ab}$, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

В нашем случае, поскольку по условию $x > 0$, оба слагаемых в функции, $a = x^2$ и $b = \frac{16}{x^2}$, являются положительными. Применим к ним неравенство Коши:

$x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{16}{x^2}} = 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8$.

Таким образом, наименьшее значение, которое может принимать функция, равно 8. Это значение достигается при выполнении условия равенства слагаемых, то есть $a=b$:

$x^2 = \frac{16}{x^2}$

$x^4 = 16$

Так как $x > 0$, единственным решением является $x=2$. Проверим значение функции в этой точке: $y(2) = 2^2 + \frac{16}{2^2} = 4 + 4 = 8$.

Ответ: 8.

2) Для нахождения наименьшего значения функции $y(x) = x + \frac{4}{x}$ при $x > 0$ аналогично воспользуемся неравенством Коши. Слагаемые $a=x$ и $b=\frac{4}{x}$ положительны, так как $x > 0$.

Применяем неравенство $a+b \ge 2\sqrt{ab}$:

$x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно 4. Оно достигается, когда слагаемые равны:

$x = \frac{4}{x}$

$x^2 = 4$

Учитывая, что $x > 0$, получаем $x=2$. Проверим значение функции в этой точке: $y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4.