Номер 287, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 287, страница 120.

Условие.

287. Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомые положительные числа – это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, их произведение равно 625.

Запишем это в виде математического уравнения:$xy = 625$

Поскольку оба числа положительны, то $x > 0$ и $y > 0$. Из этого уравнения мы можем выразить переменную $y$ через $x$:$y = \frac{625}{x}$

Нам необходимо минимизировать сумму квадратов этих чисел. Обозначим эту сумму как функцию $S$:$S = x^2 + y^2$

Чтобы найти минимум, представим $S$ как функцию одной переменной $x$, подставив в нее выражение для $y$:$S(x) = x^2 + (\frac{625}{x})^2 = x^2 + \frac{390625}{x^2}$

Для нахождения наименьшего значения функции $S(x)$ на интервале $(0, +\infty)$ необходимо найти ее точки экстремума. Для этого найдем производную функции $S(x)$ и приравняем ее к нулю.

Вычисляем производную $S'(x)$:$S'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 390625x^{-2}) = 2x + 390625 \cdot (-2)x^{-3} = 2x - \frac{781250}{x^3}$

Теперь приравняем производную к нулю для поиска критических точек:$S'(x) = 0$$2x - \frac{781250}{x^3} = 0$

Решим полученное уравнение относительно $x$:$2x = \frac{781250}{x^3}$

Так как $x > 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x^3$:$2x^4 = 781250$$x^4 = \frac{781250}{2}$$x^4 = 390625$

Для нахождения $x$ извлечем корень четвертой степени. Мы знаем, что $625 = 25^2$, тогда $390625 = 625^2 = (25^2)^2 = 25^4$.$x = \sqrt[4]{390625} = 25$

Мы получили единственную критическую точку $x = 25$. Чтобы проверить, является ли эта точка точкой минимума, воспользуемся второй производной.$S''(x) = \frac{d}{dx}(2x - 781250x^{-3}) = 2 - 781250 \cdot (-3)x^{-4} = 2 + \frac{2343750}{x^4}$

Поскольку $x > 0$, то $x^4 > 0$, и, следовательно, $S''(x)$ всегда положительна. Это означает, что в точке $x = 25$ функция $S(x)$ достигает своего минимума.

Теперь найдем значение второго числа, $y$:$y = \frac{625}{x} = \frac{625}{25} = 25$

Таким образом, чтобы сумма квадратов двух положительных чисел, произведение которых равно 625, была наименьшей, эти числа должны быть равны 25 и 25.

Ответ: 625 = 25 ⋅ 25.