Номер 282, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 282, страница 119.

Условие.

4) $f(x) = x + 9x + 13x$ на отрезке $[-3; -2]$.

282. 1)

$f(x) = x^2 - \frac{1}{x}$ на отрезке $[1; 2]$;

2) $f(x) = x - \sqrt{x}$ на отрезке $[0; 4]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2 - \frac{1}{x}$ на отрезке $[1; 2]$ необходимо исследовать её на этом отрезке.
Первый шаг — найти производную функции. Запишем функцию в виде $f(x) = x^2 - x^{-1}$.
$f'(x) = (x^2 - x^{-1})' = 2x - (-1)x^{-2} = 2x + \frac{1}{x^2}$.
Далее, найдем критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Приравняем производную к нулю:
$2x + \frac{1}{x^2} = 0$.
Умножим обе части на $x^2$ (это допустимо, так как $x=0$ не входит в область определения функции и, тем более, в отрезок $[1; 2]$):
$2x^3 + 1 = 0$
$x^3 = -\frac{1}{2}$
$x = \sqrt[3]{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
Полученная точка является отрицательным числом, следовательно, она не принадлежит отрезку $[1; 2]$.
Производная $f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2}$ существует во всех точках отрезка $[1; 2]$ (она не определена только при $x=0$).
Таким образом, критических точек внутри отрезка $[1; 2]$ нет.
В этом случае наибольшее и наименьшее значения функции достигаются на концах отрезка.
Вычислим значения функции в точках $x=1$ и $x=2$:
$f(1) = 1^2 - \frac{1}{1} = 1 - 1 = 0$.
$f(2) = 2^2 - \frac{1}{2} = 4 - 0.5 = 3.5$.
Сравнивая полученные значения, заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно 0, а наибольшее — 3.5.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[1; 2]$ равно $0$, наибольшее значение равно $3.5$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x - \sqrt{x}$ на отрезке $[0; 4]$, найдем её производную.
$f'(x) = (x - \sqrt{x})' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Далее, найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:
$1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0$
$1 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$2\sqrt{x} = 1$
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$
$x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
Эта точка $x = \frac{1}{4}$ принадлежит отрезку $[0; 4]$, поэтому мы должны её учесть.
Производная $f'(x)$ не определена при $x=0$, так как знаменатель обращается в ноль. Точка $x=0$ является концом заданного отрезка.
Теперь необходимо вычислить значения функции в найденной критической точке $x = \frac{1}{4}$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=4$.
$f(0) = 0 - \sqrt{0} = 0$.
$f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} = -0.25$.
$f(4) = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.
Сравним полученные значения: $0$, $-0.25$ и $2$.
Наименьшее из этих значений равно $-0.25$, а наибольшее равно $2$.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0; 4]$ равно $-0.25$, наибольшее значение равно $2$.