Номер 275, страница 114 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 2. Экстремумы функции - номер 275, страница 114.

Условие.

275. Найти стационарные точки функции:

1) $y = x^2 - 6x + 5;$

2) $y = x^2 - 14x + 15;$

3) $y = \frac{x}{2} + \frac{8}{x};$

4) $y = \frac{x}{3} + \frac{12}{x};$

5) $y = 2x^3 - 15x^2 + 36x;$

6) $y = e^{2x} - 2e^x;$

7) $y = \sin x - \cos x;$

8) $y = \cos 2x + 2\cos x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Стационарные точки функции — это точки из области определения функции, в которых ее производная равна нулю.
Дана функция: $y = x^2 - 6x + 5$.
Найдем ее производную:
$y' = (x^2 - 6x + 5)' = 2x - 6$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$2x - 6 = 0$
$2x = 6$
$x = 3$.
Ответ: $x = 3$.

2) Дана функция: $y = x^2 - 14x + 15$.
Найдем ее производную:
$y' = (x^2 - 14x + 15)' = 2x - 14$.
Приравняем производную к нулю:
$2x - 14 = 0$
$2x = 14$
$x = 7$.
Ответ: $x = 7$.

3) Дана функция: $y = \frac{x}{2} + \frac{8}{x}$.
Область определения функции: $x \neq 0$.
Найдем производную функции:
$y' = (\frac{x}{2} + \frac{8}{x})' = (\frac{1}{2}x + 8x^{-1})' = \frac{1}{2} - 8x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{8}{x^2}$.
Приравняем производную к нулю:
$\frac{1}{2} - \frac{8}{x^2} = 0$
$\frac{1}{2} = \frac{8}{x^2}$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$.
Оба значения входят в область определения функции.
Ответ: $x = -4, x = 4$.

4) Дана функция: $y = \frac{x}{3} + \frac{12}{x}$.
Область определения функции: $x \neq 0$.
Найдем производную функции:
$y' = (\frac{x}{3} + \frac{12}{x})' = (\frac{1}{3}x + 12x^{-1})' = \frac{1}{3} - 12x^{-2} = \frac{1}{3} - \frac{12}{x^2}$.
Приравняем производную к нулю:
$\frac{1}{3} - \frac{12}{x^2} = 0$
$\frac{1}{3} = \frac{12}{x^2}$
$x^2 = 36$
$x = \pm 6$.
Оба значения входят в область определения функции.
Ответ: $x = -6, x = 6$.

5) Дана функция: $y = 2x^3 - 15x^2 + 36x$.
Найдем ее производную:
$y' = (2x^3 - 15x^2 + 36x)' = 6x^2 - 30x + 36$.
Приравняем производную к нулю:
$6x^2 - 30x + 36 = 0$.
Разделим уравнение на 6:
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Ответ: $x = 2, x = 3$.

6) Дана функция: $y = e^{2x} - 2e^x$.
Найдем ее производную:
$y' = (e^{2x} - 2e^x)' = 2e^{2x} - 2e^x$.
Приравняем производную к нулю:
$2e^{2x} - 2e^x = 0$.
Вынесем общий множитель $2e^x$:
$2e^x(e^x - 1) = 0$.
Так как $e^x > 0$ для любого $x$, то равенство возможно только если:
$e^x - 1 = 0$
$e^x = 1$
$x = 0$.
Ответ: $x = 0$.

7) Дана функция: $y = \sin x - \cos x$.
Найдем ее производную:
$y' = (\sin x - \cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$.
Приравняем производную к нулю:
$\cos x + \sin x = 0$
$\sin x = -\cos x$.
Разделим обе части на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):
$\tan x = -1$.
Решением этого уравнения является серия точек:
$x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
(Если бы $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Уравнение $\sin x = -\cos x$ превратилось бы в $\pm 1 = 0$, что неверно. Следовательно, деление на $\cos x$ было корректным).
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

8) Дана функция: $y = \cos 2x + 2\cos x$.
Найдем ее производную:
$y' = (\cos 2x + 2\cos x)' = -2\sin 2x - 2\sin x$.
Приравняем производную к нулю:
$-2\sin 2x - 2\sin x = 0$.
Разделим на -2:
$\sin 2x + \sin x = 0$.
Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$2\sin x \cos x + \sin x = 0$.
Вынесем $\sin x$ за скобки:
$\sin x (2\cos x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $\sin x = 0$.
$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Случай 2: $2\cos x + 1 = 0$.
$2\cos x = -1$
$\cos x = -\frac{1}{2}$.
$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.