Номер 281, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 281, страница 119.
№281 (с. 119)
Условие. №281 (с. 119)
скриншот условия

Найти наибольшее и наименьшее значения функции (281—283).
281. 1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$ на отрезке $[-1; 2];$
2) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$ на отрезке $[-1; 2];$
3) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x$ на отрезке $[-2; 1];$
4) $f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x$ на отрезке $[-3; -2].$
Решение 1. №281 (с. 119)




Решение 2. №281 (с. 119)


Решение 3. №281 (с. 119)
1)
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$ на отрезке $[-1; 2]$, следуем стандартному алгоритму.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 12x = 0 \implies 3x(x - 4) = 0$.
Критическими точками являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
3. Проверяем, какие из критических точек попадают в заданный отрезок $[-1; 2]$.
Точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
Точка $x = 4$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
4. Вычисляем значения функции в найденной критической точке $x = 0$ и на концах отрезка $x = -1$ и $x = 2$.
$f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9 = 9$.
$f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9 = -1 - 6 + 9 = 2$.
$f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9 = 8 - 24 + 9 = -7$.
5. Из полученных значений $\{9, 2, -7\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение: $9$.
Наименьшее значение: $-7$.
Ответ: наибольшее значение $9$, наименьшее значение $-7$.
2)
Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$ на отрезке $[-1; 2]$.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 3)' = 4x^3 - 16x$.
2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$4x^3 - 16x = 0 \implies 4x(x^2 - 4) = 0$.
Критическими точками являются $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.
3. Проверяем принадлежность точек отрезку $[-1; 2]$.
Точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
Точка $x = 2$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$ (является его концом).
Точка $x = -2$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
4. Вычисляем значения функции в критической точке $x = 0$ и на концах отрезка $x = -1$ и $x = 2$.
$f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 3 = 3$.
$f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 + 3 = 1 - 8 + 3 = -4$.
$f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13$.
5. Из полученных значений $\{3, -4, -13\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение: $3$.
Наименьшее значение: $-13$.
Ответ: наибольшее значение $3$, наименьшее значение $-13$.
3)
Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x$ на отрезке $[-2; 1]$.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 36x)' = 6x^2 + 6x - 36$.
2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$6x^2 + 6x - 36 = 0 \implies x^2 + x - 6 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
3. Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку $[-2; 1]$.
Точка $x = -3$ не принадлежит отрезку $[-2; 1]$.
Точка $x = 2$ не принадлежит отрезку $[-2; 1]$.
4. Так как в интервале $(-2; 1)$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка. Вычисляем значения функции в точках $x = -2$ и $x = 1$.
$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 36(-2) = -16 + 12 + 72 = 68$.
$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 36(1) = 2 + 3 - 36 = -31$.
5. Сравниваем полученные значения $\{68, -31\}$.
Наибольшее значение: $68$.
Наименьшее значение: $-31$.
Ответ: наибольшее значение $68$, наименьшее значение $-31$.
4)
Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x$ на отрезке $[-3; -2]$.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 + 9x^2 + 15x)' = 3x^2 + 18x + 15$.
2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$3x^2 + 18x + 15 = 0 \implies x^2 + 6x + 5 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.
3. Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку $[-3; -2]$.
Точка $x = -1$ не принадлежит отрезку $[-3; -2]$.
Точка $x = -5$ не принадлежит отрезку $[-3; -2]$.
4. Так как в интервале $(-3; -2)$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка. Вычисляем значения функции в точках $x = -3$ и $x = -2$.
$f(-3) = (-3)^3 + 9(-3)^2 + 15(-3) = -27 + 81 - 45 = 9$.
$f(-2) = (-2)^3 + 9(-2)^2 + 15(-2) = -8 + 36 - 30 = -2$.
5. Сравниваем полученные значения {$9, -2$}.
Наибольшее значение: $9$.
Наименьшее значение: $-2$.
Ответ: наибольшее значение $9$, наименьшее значение $-2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 281 расположенного на странице 119 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №281 (с. 119), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.