Номер 281, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 281, страница 119.

Условие.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции (281—283).

281. 1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$ на отрезке $[-1; 2];$

2) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$ на отрезке $[-1; 2];$

3) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x$ на отрезке $[-2; 1];$

4) $f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x$ на отрезке $[-3; -2].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$ на отрезке $[-1; 2]$, следуем стандартному алгоритму.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 12x = 0 \implies 3x(x - 4) = 0$.

Критическими точками являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

3. Проверяем, какие из критических точек попадают в заданный отрезок $[-1; 2]$.

Точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

Точка $x = 4$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

4. Вычисляем значения функции в найденной критической точке $x = 0$ и на концах отрезка $x = -1$ и $x = 2$.

$f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9 = 9$.

$f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9 = -1 - 6 + 9 = 2$.

$f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9 = 8 - 24 + 9 = -7$.

5. Из полученных значений $\{9, 2, -7\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Наибольшее значение: $9$.

Наименьшее значение: $-7$.

Ответ: наибольшее значение $9$, наименьшее значение $-7$.

2)

Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$ на отрезке $[-1; 2]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 3)' = 4x^3 - 16x$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 16x = 0 \implies 4x(x^2 - 4) = 0$.

Критическими точками являются $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

3. Проверяем принадлежность точек отрезку $[-1; 2]$.

Точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

Точка $x = 2$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$ (является его концом).

Точка $x = -2$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x = 0$ и на концах отрезка $x = -1$ и $x = 2$.

$f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 3 = 3$.

$f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 + 3 = 1 - 8 + 3 = -4$.

$f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13$.

5. Из полученных значений $\{3, -4, -13\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Наибольшее значение: $3$.

Наименьшее значение: $-13$.

Ответ: наибольшее значение $3$, наименьшее значение $-13$.

3)

Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x$ на отрезке $[-2; 1]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 36x)' = 6x^2 + 6x - 36$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$6x^2 + 6x - 36 = 0 \implies x^2 + x - 6 = 0$.

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

3. Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку $[-2; 1]$.

Точка $x = -3$ не принадлежит отрезку $[-2; 1]$.

Точка $x = 2$ не принадлежит отрезку $[-2; 1]$.

4. Так как в интервале $(-2; 1)$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка. Вычисляем значения функции в точках $x = -2$ и $x = 1$.

$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 36(-2) = -16 + 12 + 72 = 68$.

$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 36(1) = 2 + 3 - 36 = -31$.

5. Сравниваем полученные значения $\{68, -31\}$.

Наибольшее значение: $68$.

Наименьшее значение: $-31$.

Ответ: наибольшее значение $68$, наименьшее значение $-31$.

4)

Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x$ на отрезке $[-3; -2]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 9x^2 + 15x)' = 3x^2 + 18x + 15$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 18x + 15 = 0 \implies x^2 + 6x + 5 = 0$.

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.

3. Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку $[-3; -2]$.

Точка $x = -1$ не принадлежит отрезку $[-3; -2]$.

Точка $x = -5$ не принадлежит отрезку $[-3; -2]$.

4. Так как в интервале $(-3; -2)$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка. Вычисляем значения функции в точках $x = -3$ и $x = -2$.

$f(-3) = (-3)^3 + 9(-3)^2 + 15(-3) = -27 + 81 - 45 = 9$.

$f(-2) = (-2)^3 + 9(-2)^2 + 15(-2) = -8 + 36 - 30 = -2$.

5. Сравниваем полученные значения {$9, -2$}.

Наибольшее значение: $9$.

Наименьшее значение: $-2$.

Ответ: наибольшее значение $9$, наименьшее значение $-2$.