Номер 283, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 283, страница 119.
№283 (с. 119)
Условие. №283 (с. 119)
скриншот условия

283. 1) $f(x)=2\sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; 2\pi];$
2) $f(x)=2\cos x - \cos 2x$ на отрезке $[0; \pi].$
Решение 1. №283 (с. 119)


Решение 2. №283 (с. 119)


Решение 3. №283 (с. 119)
1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; 2\pi]$, необходимо найти значения функции в критических точках и на концах отрезка, а затем сравнить их.
Шаг 1: Находим производную функции.
$f'(x) = (2\sin x + \cos 2x)' = 2\cos x - 2\sin 2x$.
Шаг 2: Находим критические точки, приравняв производную к нулю.
$2\cos x - 2\sin 2x = 0$
$\cos x - \sin 2x = 0$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$\cos x - 2\sin x \cos x = 0$
$\cos x (1 - 2\sin x) = 0$
Это уравнение дает два случая:
а) $\cos x = 0$, откуда на отрезке $[0; 2\pi]$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.
б) $1 - 2\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$, откуда на отрезке $[0; 2\pi]$ получаем $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.
Шаг 3: Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка ($0$ и $2\pi$).
- $f(0) = 2\sin(0) + \cos(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
- $f(2\pi) = 2\sin(2\pi) + \cos(4\pi) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
- $f(\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$
- $f(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 + \cos(\pi) = 2 - 1 = 1$
- $f(\frac{5\pi}{6}) = 2\sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$
- $f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot (-1) + \cos(3\pi) = -2 - 1 = -3$
Шаг 4: Сравниваем полученные значения.
Максимальное значение среди $\{1, 1.5, -3\}$ равно $1.5$.
Минимальное значение среди $\{1, 1.5, -3\}$ равно $-3$.
Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $f_{max} = 1.5$, наименьшее значение функции $f_{min} = -3$.
2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\cos x - \cos 2x$ на отрезке $[0; \pi]$, применим тот же алгоритм.
Шаг 1: Находим производную функции.
$f'(x) = (2\cos x - \cos 2x)' = -2\sin x - (-\sin 2x \cdot 2) = -2\sin x + 2\sin 2x$.
Шаг 2: Находим критические точки.
$-2\sin x + 2\sin 2x = 0$
$\sin 2x - \sin x = 0$
Используем формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$2\sin x \cos x - \sin x = 0$
$\sin x (2\cos x - 1) = 0$
Это уравнение дает два случая:
а) $\sin x = 0$, откуда на отрезке $[0; \pi]$ получаем $x = 0$ и $x = \pi$. Эти точки являются концами отрезка.
б) $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$, откуда на отрезке $[0; \pi]$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$.
Шаг 3: Вычисляем значения функции в критической точке $\frac{\pi}{3}$ и на концах отрезка $0$ и $\pi$.
- $f(0) = 2\cos(0) - \cos(0) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
- $f(\pi) = 2\cos(\pi) - \cos(2\pi) = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$
- $f(\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} - \cos(\frac{2\pi}{3}) = 1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + 0.5 = 1.5$
Шаг 4: Сравниваем полученные значения.
Максимальное значение среди $\{1, -3, 1.5\}$ равно $1.5$.
Минимальное значение среди $\{1, -3, 1.5\}$ равно $-3$.
Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $f_{max} = 1.5$, наименьшее значение функции $f_{min} = -3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 283 расположенного на странице 119 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №283 (с. 119), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.