Номер 283, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 283, страница 119.

Условие.

283. 1) $f(x)=2\sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; 2\pi];$

2) $f(x)=2\cos x - \cos 2x$ на отрезке $[0; \pi].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; 2\pi]$, необходимо найти значения функции в критических точках и на концах отрезка, а затем сравнить их.

Шаг 1: Находим производную функции.

$f'(x) = (2\sin x + \cos 2x)' = 2\cos x - 2\sin 2x$.

Шаг 2: Находим критические точки, приравняв производную к нулю.

$2\cos x - 2\sin 2x = 0$

$\cos x - \sin 2x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$\cos x - 2\sin x \cos x = 0$

$\cos x (1 - 2\sin x) = 0$

Это уравнение дает два случая:

а) $\cos x = 0$, откуда на отрезке $[0; 2\pi]$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.

б) $1 - 2\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$, откуда на отрезке $[0; 2\pi]$ получаем $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

Шаг 3: Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка ($0$ и $2\pi$).

• $f(0) = 2\sin(0) + \cos(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
• $f(2\pi) = 2\sin(2\pi) + \cos(4\pi) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
• $f(\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$
• $f(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 + \cos(\pi) = 2 - 1 = 1$
• $f(\frac{5\pi}{6}) = 2\sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$
• $f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot (-1) + \cos(3\pi) = -2 - 1 = -3$

Шаг 4: Сравниваем полученные значения.

Максимальное значение среди $\{1, 1.5, -3\}$ равно $1.5$.

Минимальное значение среди $\{1, 1.5, -3\}$ равно $-3$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $f_{max} = 1.5$, наименьшее значение функции $f_{min} = -3$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\cos x - \cos 2x$ на отрезке $[0; \pi]$, применим тот же алгоритм.

Шаг 1: Находим производную функции.

$f'(x) = (2\cos x - \cos 2x)' = -2\sin x - (-\sin 2x \cdot 2) = -2\sin x + 2\sin 2x$.

Шаг 2: Находим критические точки.

$-2\sin x + 2\sin 2x = 0$

$\sin 2x - \sin x = 0$

Используем формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x - \sin x = 0$

$\sin x (2\cos x - 1) = 0$

Это уравнение дает два случая:

а) $\sin x = 0$, откуда на отрезке $[0; \pi]$ получаем $x = 0$ и $x = \pi$. Эти точки являются концами отрезка.

б) $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$, откуда на отрезке $[0; \pi]$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$.

Шаг 3: Вычисляем значения функции в критической точке $\frac{\pi}{3}$ и на концах отрезка $0$ и $\pi$.

• $f(0) = 2\cos(0) - \cos(0) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
• $f(\pi) = 2\cos(\pi) - \cos(2\pi) = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$
• $f(\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} - \cos(\frac{2\pi}{3}) = 1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + 0.5 = 1.5$

Шаг 4: Сравниваем полученные значения.

Максимальное значение среди $\{1, -3, 1.5\}$ равно $1.5$.

Минимальное значение среди $\{1, -3, 1.5\}$ равно $-3$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $f_{max} = 1.5$, наименьшее значение функции $f_{min} = -3$.