Страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Найти наибольшее и наименьшее значения функции (281—283).

281. 1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$ на отрезке $[-1; 2];$

2) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$ на отрезке $[-1; 2];$

3) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x$ на отрезке $[-2; 1];$

4) $f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x$ на отрезке $[-3; -2].$

1)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$ на отрезке $[-1; 2]$, следуем стандартному алгоритму.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 12x = 0 \implies 3x(x - 4) = 0$.

Критическими точками являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

3. Проверяем, какие из критических точек попадают в заданный отрезок $[-1; 2]$.

Точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

Точка $x = 4$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

4. Вычисляем значения функции в найденной критической точке $x = 0$ и на концах отрезка $x = -1$ и $x = 2$.

$f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9 = 9$.

$f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9 = -1 - 6 + 9 = 2$.

$f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9 = 8 - 24 + 9 = -7$.

5. Из полученных значений $\{9, 2, -7\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Наибольшее значение: $9$.

Наименьшее значение: $-7$.

Ответ: наибольшее значение $9$, наименьшее значение $-7$.

2)

Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$ на отрезке $[-1; 2]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 3)' = 4x^3 - 16x$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 16x = 0 \implies 4x(x^2 - 4) = 0$.

Критическими точками являются $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

3. Проверяем принадлежность точек отрезку $[-1; 2]$.

Точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

Точка $x = 2$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$ (является его концом).

Точка $x = -2$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x = 0$ и на концах отрезка $x = -1$ и $x = 2$.

$f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 3 = 3$.

$f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 + 3 = 1 - 8 + 3 = -4$.

$f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13$.

5. Из полученных значений $\{3, -4, -13\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Наибольшее значение: $3$.

Наименьшее значение: $-13$.

Ответ: наибольшее значение $3$, наименьшее значение $-13$.

3)

Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x$ на отрезке $[-2; 1]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 36x)' = 6x^2 + 6x - 36$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$6x^2 + 6x - 36 = 0 \implies x^2 + x - 6 = 0$.

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

3. Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку $[-2; 1]$.

Точка $x = -3$ не принадлежит отрезку $[-2; 1]$.

Точка $x = 2$ не принадлежит отрезку $[-2; 1]$.

4. Так как в интервале $(-2; 1)$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка. Вычисляем значения функции в точках $x = -2$ и $x = 1$.

$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 36(-2) = -16 + 12 + 72 = 68$.

$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 36(1) = 2 + 3 - 36 = -31$.

5. Сравниваем полученные значения $\{68, -31\}$.

Наибольшее значение: $68$.

Наименьшее значение: $-31$.

Ответ: наибольшее значение $68$, наименьшее значение $-31$.

4)

Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x$ на отрезке $[-3; -2]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 9x^2 + 15x)' = 3x^2 + 18x + 15$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 18x + 15 = 0 \implies x^2 + 6x + 5 = 0$.

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.

3. Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку $[-3; -2]$.

Точка $x = -1$ не принадлежит отрезку $[-3; -2]$.

Точка $x = -5$ не принадлежит отрезку $[-3; -2]$.

4. Так как в интервале $(-3; -2)$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка. Вычисляем значения функции в точках $x = -3$ и $x = -2$.

$f(-3) = (-3)^3 + 9(-3)^2 + 15(-3) = -27 + 81 - 45 = 9$.

$f(-2) = (-2)^3 + 9(-2)^2 + 15(-2) = -8 + 36 - 30 = -2$.

5. Сравниваем полученные значения {$9, -2$}.

Наибольшее значение: $9$.

Наименьшее значение: $-2$.

Ответ: наибольшее значение $9$, наименьшее значение $-2$.

4) $f(x) = x + 9x + 13x$ на отрезке $[-3; -2]$.

$f(x) = x^2 - \frac{1}{x}$ на отрезке $[1; 2]$;

2) $f(x) = x - \sqrt{x}$ на отрезке $[0; 4]$.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2 - \frac{1}{x}$ на отрезке $[1; 2]$ необходимо исследовать её на этом отрезке.
Первый шаг — найти производную функции. Запишем функцию в виде $f(x) = x^2 - x^{-1}$.
$f'(x) = (x^2 - x^{-1})' = 2x - (-1)x^{-2} = 2x + \frac{1}{x^2}$.
Далее, найдем критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Приравняем производную к нулю:
$2x + \frac{1}{x^2} = 0$.
Умножим обе части на $x^2$ (это допустимо, так как $x=0$ не входит в область определения функции и, тем более, в отрезок $[1; 2]$):
$2x^3 + 1 = 0$
$x^3 = -\frac{1}{2}$
$x = \sqrt[3]{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
Полученная точка является отрицательным числом, следовательно, она не принадлежит отрезку $[1; 2]$.
Производная $f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2}$ существует во всех точках отрезка $[1; 2]$ (она не определена только при $x=0$).
Таким образом, критических точек внутри отрезка $[1; 2]$ нет.
В этом случае наибольшее и наименьшее значения функции достигаются на концах отрезка.
Вычислим значения функции в точках $x=1$ и $x=2$:
$f(1) = 1^2 - \frac{1}{1} = 1 - 1 = 0$.
$f(2) = 2^2 - \frac{1}{2} = 4 - 0.5 = 3.5$.
Сравнивая полученные значения, заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно 0, а наибольшее — 3.5.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[1; 2]$ равно $0$, наибольшее значение равно $3.5$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x - \sqrt{x}$ на отрезке $[0; 4]$, найдем её производную.
$f'(x) = (x - \sqrt{x})' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Далее, найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:
$1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0$
$1 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$2\sqrt{x} = 1$
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$
$x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
Эта точка $x = \frac{1}{4}$ принадлежит отрезку $[0; 4]$, поэтому мы должны её учесть.
Производная $f'(x)$ не определена при $x=0$, так как знаменатель обращается в ноль. Точка $x=0$ является концом заданного отрезка.
Теперь необходимо вычислить значения функции в найденной критической точке $x = \frac{1}{4}$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=4$.
$f(0) = 0 - \sqrt{0} = 0$.
$f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} = -0.25$.
$f(4) = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.
Сравним полученные значения: $0$, $-0.25$ и $2$.
Наименьшее из этих значений равно $-0.25$, а наибольшее равно $2$.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0; 4]$ равно $-0.25$, наибольшее значение равно $2$.

283. 1) $f(x)=2\sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; 2\pi];$

2) $f(x)=2\cos x - \cos 2x$ на отрезке $[0; \pi].$

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; 2\pi]$, необходимо найти значения функции в критических точках и на концах отрезка, а затем сравнить их.

Шаг 1: Находим производную функции.

$f'(x) = (2\sin x + \cos 2x)' = 2\cos x - 2\sin 2x$.

Шаг 2: Находим критические точки, приравняв производную к нулю.

$2\cos x - 2\sin 2x = 0$

$\cos x - \sin 2x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$\cos x - 2\sin x \cos x = 0$

$\cos x (1 - 2\sin x) = 0$

Это уравнение дает два случая:

а) $\cos x = 0$, откуда на отрезке $[0; 2\pi]$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.

б) $1 - 2\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$, откуда на отрезке $[0; 2\pi]$ получаем $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

Шаг 3: Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка ($0$ и $2\pi$).

• $f(0) = 2\sin(0) + \cos(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
• $f(2\pi) = 2\sin(2\pi) + \cos(4\pi) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
• $f(\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$
• $f(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 + \cos(\pi) = 2 - 1 = 1$
• $f(\frac{5\pi}{6}) = 2\sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$
• $f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot (-1) + \cos(3\pi) = -2 - 1 = -3$

Шаг 4: Сравниваем полученные значения.

Максимальное значение среди $\{1, 1.5, -3\}$ равно $1.5$.

Минимальное значение среди $\{1, 1.5, -3\}$ равно $-3$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $f_{max} = 1.5$, наименьшее значение функции $f_{min} = -3$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\cos x - \cos 2x$ на отрезке $[0; \pi]$, применим тот же алгоритм.

Шаг 1: Находим производную функции.

$f'(x) = (2\cos x - \cos 2x)' = -2\sin x - (-\sin 2x \cdot 2) = -2\sin x + 2\sin 2x$.

Шаг 2: Находим критические точки.

$-2\sin x + 2\sin 2x = 0$

$\sin 2x - \sin x = 0$

Используем формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x - \sin x = 0$

$\sin x (2\cos x - 1) = 0$

Это уравнение дает два случая:

а) $\sin x = 0$, откуда на отрезке $[0; \pi]$ получаем $x = 0$ и $x = \pi$. Эти точки являются концами отрезка.

б) $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$, откуда на отрезке $[0; \pi]$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$.

Шаг 3: Вычисляем значения функции в критической точке $\frac{\pi}{3}$ и на концах отрезка $0$ и $\pi$.

• $f(0) = 2\cos(0) - \cos(0) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
• $f(\pi) = 2\cos(\pi) - \cos(2\pi) = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$
• $f(\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} - \cos(\frac{2\pi}{3}) = 1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + 0.5 = 1.5$

Шаг 4: Сравниваем полученные значения.

Максимальное значение среди $\{1, -3, 1.5\}$ равно $1.5$.

Минимальное значение среди $\{1, -3, 1.5\}$ равно $-3$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $f_{max} = 1.5$, наименьшее значение функции $f_{min} = -3$.

284. Найти наибольшее значение функции:

1) $x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 1$ на отрезке $[-1; 2];$

2) $1 - x^4 - x^6$ на интервале $(-3; 3);$

3) $\frac{2}{x} - x^2$ на промежутке $x < 0;$

4) $\frac{x}{4} + \frac{4}{x}$ на промежутке $x < 0.$

1) Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 1$ на отрезке $[-1; 2]$, необходимо найти ее производную, приравнять к нулю для определения критических точек, а затем сравнить значения функции в этих точках (если они принадлежат отрезку) и на концах отрезка.

Шаг 1: Находим производную функции.

$f'(x) = (x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 1)' = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.

Шаг 2: Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $5x^2$ за скобки:

$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 3$.

Шаг 3: Проверяем, какие из критических точек принадлежат отрезку $[-1; 2]$.

Точки $x=0$ и $x=1$ принадлежат отрезку $[-1; 2]$. Точка $x=3$ не принадлежит этому отрезку.

Шаг 4: Вычисляем значения функции в отобранных критических точках и на концах отрезка.

• $f(-1) = (-1)^5 - 5(-1)^4 + 5(-1)^3 + 1 = -1 - 5(1) + 5(-1) + 1 = -1 - 5 - 5 + 1 = -10$
• $f(0) = 0^5 - 5 \cdot 0^4 + 5 \cdot 0^3 + 1 = 1$
• $f(1) = 1^5 - 5 \cdot 1^4 + 5 \cdot 1^3 + 1 = 1 - 5 + 5 + 1 = 2$
• $f(2) = 2^5 - 5 \cdot 2^4 + 5 \cdot 2^3 + 1 = 32 - 5 \cdot 16 + 5 \cdot 8 + 1 = 32 - 80 + 40 + 1 = -7$

Шаг 5: Сравниваем полученные значения: $-10, 1, 2, -7$.

Наибольшее из этих значений равно 2.

Ответ: 2.

2) Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = 1 - x^4 - x^6$ на интервале $(-3; 3)$, найдем ее производную и исследуем на экстремумы.

Шаг 1: Находим производную.

$f'(x) = (1 - x^4 - x^6)' = -4x^3 - 6x^5$.

Шаг 2: Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$-4x^3 - 6x^5 = 0$

$-2x^3(2 + 3x^2) = 0$

Выражение $2 + 3x^2$ всегда положительно при любом действительном $x$. Следовательно, единственная критическая точка получается из уравнения $-2x^3 = 0$, что дает $x=0$. Эта точка принадлежит интервалу $(-3; 3)$.

Шаг 3: Исследуем знак производной.

При $x < 0$, $x^3 < 0$, поэтому $f'(x) = -2x^3(2 + 3x^2) > 0$. Функция возрастает.

При $x > 0$, $x^3 > 0$, поэтому $f'(x) = -2x^3(2 + 3x^2) < 0$. Функция убывает.

Поскольку при переходе через точку $x=0$ производная меняет знак с «+» на «−», эта точка является точкой максимума. Так как это единственная критическая точка, то в ней функция достигает своего наибольшего значения.

Шаг 4: Вычисляем значение функции в точке максимума.

$f(0) = 1 - 0^4 - 0^6 = 1$.

Ответ: 1.

3) Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \frac{2}{x} - x^2$ на промежутке $x < 0$, найдем ее производную и исследуем на экстремумы.

Шаг 1: Находим производную.

$f'(x) = (\frac{2}{x} - x^2)' = (2x^{-1} - x^2)' = -2x^{-2} - 2x = -\frac{2}{x^2} - 2x$.

Шаг 2: Находим критические точки на промежутке $x < 0$, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$-\frac{2}{x^2} - 2x = 0$

$-\frac{2}{x^2} = 2x$

$-2 = 2x^3$

$x^3 = -1$

$x = -1$.

Эта точка принадлежит заданному промежутку $x < 0$.

Шаг 3: Исследуем знак производной. $f'(x) = \frac{-2-2x^3}{x^2}$. Знаменатель $x^2$ всегда положителен.

При $x < -1$ (например, $x=-2$), числитель $-2-2(-2)^3 = -2+16 = 14 > 0$. Значит, $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$), числитель $-2-2(-0.5)^3 = -2+0.25 = -1.75 < 0$. Значит, $f'(x) < 0$ и функция убывает.

Следовательно, в точке $x=-1$ функция достигает максимума, который является наибольшим значением на промежутке $x < 0$.

Шаг 4: Вычисляем значение функции в этой точке.

$f(-1) = \frac{2}{-1} - (-1)^2 = -2 - 1 = -3$.

Ответ: -3.

4) Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$ на промежутке $x < 0$, найдем ее производную и исследуем на экстремумы.

Шаг 1: Находим производную.

$f'(x) = (\frac{x}{4} + \frac{4}{x})' = \frac{1}{4} - \frac{4}{x^2}$.

Шаг 2: Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$\frac{1}{4} - \frac{4}{x^2} = 0$

$\frac{1}{4} = \frac{4}{x^2}$

$x^2 = 16$

$x = \pm 4$.

Заданному промежутку $x < 0$ принадлежит только точка $x = -4$.

Шаг 3: Исследуем знак производной. $f'(x) = \frac{x^2-16}{4x^2}$. Знаменатель $4x^2$ всегда положителен.

При $x < -4$ (например, $x=-5$), числитель $(-5)^2-16 = 25-16 = 9 > 0$. Значит, $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

При $-4 < x < 0$ (например, $x=-2$), числитель $(-2)^2-16 = 4-16 = -12 < 0$. Значит, $f'(x) < 0$ и функция убывает.

Следовательно, в точке $x=-4$ функция достигает максимума, который является наибольшим значением на промежутке $x < 0$.

Шаг 4: Вычисляем значение функции в этой точке.

$f(-4) = \frac{-4}{4} + \frac{4}{-4} = -1 - 1 = -2$.

Ответ: -2.