Страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

297. Найти наибольшую площадь прямоугольника, одна из вершин которого лежит на оси $Ox$, вторая — на положительной полуоси $Oy$, третья — в точке $(0; 0)$, а четвёртая — на параболе $y=3-x^2$.

Пусть вершины прямоугольника имеют координаты $O(0, 0)$, $A(x, 0)$, $B(x, y)$ и $C(0, y)$.

Согласно условию, одна вершина находится в начале координат $O(0, 0)$. Вторая вершина лежит на оси $Ox$, пусть это будет точка $A(x, 0)$. Третья вершина лежит на положительной полуоси $Oy$, пусть это будет точка $C(0, y)$. Из этого следует, что $x > 0$ и $y > 0$, так как иначе площадь будет равна нулю или прямоугольник не будет находиться в первом квадранте. Четвёртая вершина $B$ будет иметь координаты $(x, y)$.

Эта четвёртая вершина $B(x, y)$ лежит на параболе $y = 3 - x^2$.

Площадь прямоугольника $S$ определяется как произведение его сторон, длины которых равны $x$ и $y$: $S = x \cdot y$

Поскольку точка $(x, y)$ лежит на параболе, мы можем выразить $y$ через $x$: $y = 3 - x^2$. Подставим это выражение в формулу для площади, чтобы получить функцию площади, зависящую только от переменной $x$: $S(x) = x(3 - x^2) = 3x - x^3$

Нам нужно найти наибольшее значение этой функции. Определим область допустимых значений для $x$. Так как $x$ - это сторона прямоугольника, $x > 0$. Также, поскольку вершина лежит на положительной полуоси $Oy$, должно выполняться условие $y > 0$. $3 - x^2 > 0$ $x^2 < 3$ $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Учитывая, что $x > 0$, получаем, что $x$ должен находиться в интервале $(0; \sqrt{3})$.

Чтобы найти наибольшее значение функции $S(x)$ на этом интервале, найдём её производную и приравняем к нулю для поиска критических точек: $S'(x) = (3x - x^3)' = 3 - 3x^2$

Приравняем производную к нулю: $3 - 3x^2 = 0$ $3(1 - x^2) = 0$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$

В наш интервал $(0; \sqrt{3})$ попадает только одна критическая точка: $x = 1$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, найдём вторую производную: $S''(x) = (3 - 3x^2)' = -6x$

При $x = 1$, значение второй производной $S''(1) = -6(1) = -6$. Так как $S''(1) < 0$, точка $x = 1$ является точкой максимума функции $S(x)$.

Теперь найдём наибольшую площадь, подставив значение $x = 1$ в функцию площади $S(x)$: $S_{max} = S(1) = 3(1) - (1)^3 = 3 - 1 = 2$

Ответ: 2

298. Из всех прямоугольников с периметром $p$ найти прямоугольник с наименьшей диагональю.

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр $P$ такого прямоугольника равен $2(a + b)$ и по условию он равен $p$. $2(a + b) = p$ Отсюда можно выразить одну сторону через другую: $a + b = \frac{p}{2}$ $b = \frac{p}{2} - a$ Поскольку длины сторон должны быть положительными числами, то $a > 0$ и $b > 0$. Условие $b > 0$ дает нам ограничение на $a$: $\frac{p}{2} - a > 0 \implies a < \frac{p}{2}$. Таким образом, $a$ находится в интервале $0 < a < \frac{p}{2}$.

Теперь выразим диагональ $d$ прямоугольника через его стороны. По теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$ $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ Чтобы найти прямоугольник с наименьшей диагональю, нужно найти минимум функции $d(a, b)$. Задача упрощается, если минимизировать не саму диагональ $d$, а ее квадрат $d^2$, поскольку функция $y=x^2$ монотонно возрастает для положительных $x$.

Подставим выражение для $b$ в формулу для $d^2$, чтобы получить функцию от одной переменной $a$: $f(a) = d^2 = a^2 + \left(\frac{p}{2} - a\right)^2$ Раскроем скобки и упростим выражение: $f(a) = a^2 + \left(\frac{p^2}{4} - 2 \cdot \frac{p}{2} \cdot a + a^2\right) = a^2 + \frac{p^2}{4} - pa + a^2 = 2a^2 - pa + \frac{p^2}{4}$

Полученная функция $f(a) = 2a^2 - pa + \frac{p^2}{4}$ является квадратичной функцией от $a$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ равен 2 (положительное число). Следовательно, эта функция имеет точку минимума в своей вершине. Координата вершины параболы вида $y = Ax^2+Bx+C$ находится по формуле $x = -\frac{B}{2A}$. Для нашей функции $A=2$ и $B=-p$. Найдем значение $a$, при котором $f(a)$ минимально: $a = -\frac{-p}{2 \cdot 2} = \frac{p}{4}$

Это значение для $a$ удовлетворяет ранее найденному ограничению $0 < a < \frac{p}{2}$. Теперь найдем длину второй стороны $b$: $b = \frac{p}{2} - a = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{2p - p}{4} = \frac{p}{4}$ Поскольку стороны $a$ и $b$ равны ($a=b=\frac{p}{4}$), то прямоугольник с наименьшей диагональю при заданном периметре является квадратом.

Ответ: Прямоугольник с наименьшей диагональю — это квадрат со стороной, равной $\frac{p}{4}$.

299. Из всех прямоугольных параллелепипедов, вписанных в сферу радиуса $R$ и имеющих в основании квадрат, найти параллелепипед наибольшего объёма.

Пусть сторона квадратного основания прямоугольного параллелепипеда равна $a$, а его высота равна $h$. Радиус описанной сферы равен $R$.

Для любого прямоугольного параллелепипеда, вписанного в сферу, его главная диагональ $d$ является диаметром сферы, то есть $d = 2R$. Квадрат главной диагонали связан с измерениями параллелепипеда ($l, w, h$) соотношением $d^2 = l^2 + w^2 + h^2$. В нашем случае основание является квадратом, поэтому $l=w=a$, и формула принимает вид:

$d^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2$

Подставляя $d = 2R$, получаем уравнение, связывающее размеры параллелепипеда и радиус сферы:

$(2R)^2 = 2a^2 + h^2 \implies 4R^2 = 2a^2 + h^2$

Объем $V$ параллелепипеда, который необходимо максимизировать, вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h = a^2h$

Чтобы найти максимум, выразим объем как функцию одной переменной. Из уравнения связи выразим $a^2$ через $h$:

$2a^2 = 4R^2 - h^2 \implies a^2 = \frac{4R^2 - h^2}{2}$

Подставим это выражение в формулу для объема:

$V(h) = \left( \frac{4R^2 - h^2}{2} \right) \cdot h = 2R^2h - \frac{1}{2}h^3$

По физическому смыслу, $h > 0$. Также должно выполняться условие $a^2 > 0$, что означает $4R^2 - h^2 > 0$, или $h < 2R$. Таким образом, мы ищем максимум функции $V(h)$ на интервале $h \in (0, 2R)$.

Для нахождения точки экстремума найдем производную функции $V(h)$ и приравняем ее к нулю:

$V'(h) = \frac{d}{dh}\left(2R^2h - \frac{1}{2}h^3\right) = 2R^2 - \frac{3}{2}h^2$

$V'(h) = 0 \implies 2R^2 - \frac{3}{2}h^2 = 0$

$\frac{3}{2}h^2 = 2R^2$

$h^2 = \frac{4R^2}{3}$

$h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}R}{3}$

Это значение $h$ принадлежит интервалу $(0, 2R)$. Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:

$V''(h) = \frac{d}{dh}\left(2R^2 - \frac{3}{2}h^2\right) = -3h$

Так как $h > 0$, вторая производная $V''(h)$ всегда отрицательна, что подтверждает, что в найденной точке достигается максимум функции объема.

Теперь найдем сторону основания $a$, соответствующую этому значению $h$:

$a^2 = \frac{4R^2 - h^2}{2} = \frac{4R^2 - \frac{4R^2}{3}}{2} = \frac{\frac{12R^2 - 4R^2}{3}}{2} = \frac{\frac{8R^2}{3}}{2} = \frac{4R^2}{3}$

$a = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}R}{3}$

Поскольку $a = h$, искомый параллелепипед с наибольшим объемом является кубом.

Ответ: Параллелепипед наибольшего объёма — это куб, ребро которого равно $\frac{2\sqrt{3}R}{3}$.

300. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точку $A(1; 2)$ и отсекающей от первого координатного угла треугольник наименьшей площади.

Пусть искомая прямая имеет угловой коэффициент $k$. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку $A(1; 2)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

$y - 2 = k(x - 1)$

Эта прямая отсекает от первого координатного угла прямоугольный треугольник. Найдем точки пересечения этой прямой с осями координат, чтобы определить длины катетов этого треугольника.

1. Пересечение с осью $Oy$ (осью ординат). При этом $x=0$.

$y - 2 = k(0 - 1)$

$y - 2 = -k$

$y = 2 - k$

Так как прямая отсекает треугольник от первого координатного угла, точка пересечения с осью $Oy$ должна иметь положительную ординату. Обозначим ее $b$.

$b = 2 - k > 0 \implies k < 2$

2. Пересечение с осью $Ox$ (осью абсцисс). При этом $y=0$.

$0 - 2 = k(x - 1)$

$-2 = kx - k$

$kx = k - 2$

$x = \frac{k-2}{k} = 1 - \frac{2}{k}$

Точка пересечения с осью $Ox$ также должна иметь положительную абсциссу. Обозначим ее $a$.

$a = 1 - \frac{2}{k} > 0$

Из условия $k < 2$ следует, что $k-2 < 0$. Чтобы дробь $\frac{k-2}{k}$ была положительной, необходимо, чтобы знаменатель $k$ также был отрицательным. Таким образом, угловой коэффициент должен быть $k < 0$.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла, равна половине произведения его катетов $a$ и $b$:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{2}{k}) \cdot (2 - k)$

Мы получили функцию площади $S(k)$, зависящую от углового коэффициента $k$. Раскроем скобки, чтобы упростить выражение:

$S(k) = \frac{1}{2} (2 - k - \frac{4}{k} + 2) = \frac{1}{2} (4 - k - \frac{4}{k}) = 2 - \frac{k}{2} - \frac{2}{k}$

Чтобы найти наименьшую площадь, нужно найти минимум функции $S(k)$ при $k < 0$. Для этого найдем производную функции $S(k)$ по переменной $k$ и приравняем ее к нулю.

$S'(k) = (2 - \frac{k}{2} - \frac{2}{k})' = 0 - \frac{1}{2} - 2(-1)k^{-2} = -\frac{1}{2} + \frac{2}{k^2}$

Приравняем производную к нулю:

$S'(k) = 0$

$-\frac{1}{2} + \frac{2}{k^2} = 0$

$\frac{2}{k^2} = \frac{1}{2}$

$k^2 = 4$

$k = \pm 2$

Согласно ранее полученному условию, угловой коэффициент должен быть отрицательным ($k < 0$). Следовательно, выбираем значение $k = -2$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную:

$S''(k) = (-\frac{1}{2} + 2k^{-2})' = -4k^{-3} = -\frac{4}{k^3}$

При $k = -2$, вторая производная $S''(-2) = -\frac{4}{(-2)^3} = -\frac{4}{-8} = \frac{1}{2} > 0$, что подтверждает, что при $k=-2$ функция площади $S(k)$ имеет минимум.

Ответ: -2

301. На координатной плоскости даны точки B(3; 1) и C(5; 1). Рассматриваются трапеции, для которых отрезок BC является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы $y=(x-1)^2$, выделяемой условием $0 \le x \le 2$. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Пусть трапеция имеет вершины $A, B, C, D$. По условию, одно из оснований — это отрезок $BC$ с координатами точек $B(3; 1)$ и $C(5; 1)$. Так как ординаты (y-координаты) этих точек равны, основание $BC$ параллельно оси абсцисс и лежит на прямой $y=1$. Длина этого основания $b_1 = |5 - 3| = 2$.

Вершины другого основания, назовем их $A$ и $D$, лежат на дуге параболы $y=(x-1)^2$ при условии $0 \le x \le 2$. Поскольку основания трапеции параллельны, основание $AD$ также должно быть параллельно оси абсцисс. Это означает, что ординаты точек $A(x_A, y_A)$ и $D(x_D, y_D)$ должны быть равны.

Пусть $y_A = y_D = y_0$. Так как обе точки лежат на параболе, имеем:$y_0 = (x_A - 1)^2$ и $y_0 = (x_D - 1)^2$.Следовательно, $(x_A - 1)^2 = (x_D - 1)^2$.Поскольку $A$ и $D$ — разные вершины, $x_A \ne x_D$. Тогда должно выполняться равенство $x_A - 1 = -(x_D - 1)$, что равносильно $x_A + x_D = 2$. Это означает, что основание $AD$ симметрично относительно оси симметрии параболы $x=1$.

Выразим площадь трапеции как функцию одной переменной. Пусть абсцисса точки $A$ равна $t$. Тогда абсцисса точки $D$ равна $2-t$. Без ограничения общности, пусть $t$ — меньшая из абсцисс, тогда $t \in [0, 1]$.Длина второго основания $b_2 = |x_D - x_A| = |(2-t) - t| = |2 - 2t|$. Так как $t \in [0, 1]$, то $2-2t \ge 0$, и $b_2 = 2 - 2t$.Ордината основания $AD$ равна $y_0 = (t-1)^2$.Высота трапеции $h$ — это расстояние между основаниями, то есть разность их ординат.$h = |1 - y_0| = |1 - (t-1)^2|$.На отрезке $x \in [0, 2]$ значения функции $y=(x-1)^2$ находятся в диапазоне $[0, 1]$, поэтому $1 - (t-1)^2 \ge 0$. Таким образом, $h = 1 - (t-1)^2$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$. Подставим найденные выражения:$S(t) = \frac{2 + (2 - 2t)}{2} \cdot (1 - (t-1)^2)$$S(t) = \frac{4 - 2t}{2} \cdot (1 - (t^2 - 2t + 1))$$S(t) = (2 - t) \cdot (1 - t^2 + 2t - 1)$$S(t) = (2 - t) \cdot (2t - t^2)$$S(t) = t(2 - t)^2$

Теперь необходимо найти максимальное значение функции $S(t) = t(2 - t)^2$ на отрезке $t \in [0, 1]$. Для этого найдем производную функции $S(t)$.$S(t) = t(4 - 4t + t^2) = 4t - 4t^2 + t^3$$S'(t) = \frac{d}{dt}(4t - 4t^2 + t^3) = 4 - 8t + 3t^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$3t^2 - 8t + 4 = 0$Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$Корни уравнения:$t_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$t_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Из найденных критических точек только $t = 2/3$ принадлежит рассматриваемому отрезку $[0, 1]$. Чтобы найти наибольшее значение функции на этом отрезке, вычислим ее значения в критической точке $t=2/3$ и на концах отрезка, $t=0$ и $t=1$.$S(0) = 0 \cdot (2-0)^2 = 0$$S(1) = 1 \cdot (2-1)^2 = 1$$S(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} \cdot (2 - \frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} \cdot (\frac{6-2}{3})^2 = \frac{2}{3} \cdot (\frac{4}{3})^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9} = \frac{32}{27}$

Сравнивая полученные значения $0$, $1$ и $\frac{32}{27}$, заключаем, что наибольшее значение равно $\frac{32}{27}$, так как $\frac{32}{27} = 1\frac{5}{27} > 1$.

Ответ: $\frac{32}{27}$.

302. Рассматриваются всевозможные параболы, касающиеся оси $Ox$ и прямой $y = \frac{x}{2} - 3$ и такие, что их ветви направлены вниз. Найти уравнение той параболы, для которой сумма расстояний от начала координат до точек пересечения параболы с осями координат является наименьшей.

Пусть уравнение искомой параболы имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. По условию, ветви параболы направлены вниз, следовательно, коэффициент $a < 0$.

Парабола касается оси $Ox$. Это означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно один корень. Следовательно, дискриминант этого квадратного уравнения равен нулю: $D = b^2 - 4ac = 0$. Параболу, касающуюся оси $Ox$ в точке $(x_0, 0)$, удобнее записать в виде $y = a(x - x_0)^2$. Здесь $(x_0, 0)$ — вершина параболы.

Теперь используем второе условие касания: парабола $y = a(x - x_0)^2$ касается прямой $y = \frac{x}{2} - 3$. Это означает, что система уравнений $$ \begin{cases} y = a(x - x_0)^2 \\ y = \frac{x}{2} - 3 \end{cases} $$ должна иметь единственное решение. Приравняем правые части: $a(x - x_0)^2 = \frac{x}{2} - 3$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду относительно $x$: $a(x^2 - 2x_0x + x_0^2) = \frac{x}{2} - 3$ $ax^2 - 2ax_0x + ax_0^2 - \frac{x}{2} + 3 = 0$ $ax^2 - (2ax_0 + \frac{1}{2})x + (ax_0^2 + 3) = 0$

Для того чтобы это квадратное уравнение имело единственный корень, его дискриминант $D_1$ должен быть равен нулю: $D_1 = \left(2ax_0 + \frac{1}{2}\right)^2 - 4a(ax_0^2 + 3) = 0$ $4a^2x_0^2 + 2ax_0 + \frac{1}{4} - 4a^2x_0^2 - 12a = 0$ $2ax_0 - 12a + \frac{1}{4} = 0$ $a(2x_0 - 12) = -\frac{1}{4}$ $a = -\frac{1}{4(2x_0 - 12)} = \frac{1}{8(6 - x_0)}$

Поскольку $a < 0$, знаменатель $8(6 - x_0)$ должен быть отрицательным, что означает $6 - x_0 < 0$, или $x_0 > 6$.

Теперь найдем точки пересечения параболы с осями координат. 1. Пересечение с осью $Ox$: это точка касания (вершина), ее координаты $(x_0, 0)$. 2. Пересечение с осью $Oy$: для этого подставим $x=0$ в уравнение параболы: $y = a(0 - x_0)^2 = ax_0^2$. Координаты точки $(0, ax_0^2)$.

Сумма расстояний $S$ от начала координат до этих точек равна: $S = \sqrt{(x_0-0)^2 + (0-0)^2} + \sqrt{(0-0)^2 + (ax_0^2-0)^2} = |x_0| + |ax_0^2|$. Так как $x_0 > 6$, то $|x_0| = x_0$. Так как $a < 0$ и $x_0^2 > 0$, то $ax_0^2 < 0$, и $|ax_0^2| = -ax_0^2$. Таким образом, сумма расстояний $S(x_0) = x_0 - ax_0^2$.

Подставим выражение для $a$ через $x_0$: $S(x_0) = x_0 - \frac{1}{8(6 - x_0)} \cdot x_0^2 = x_0 + \frac{x_0^2}{8(x_0 - 6)}$

Нам нужно найти наименьшее значение функции $S(x_0)$ на интервале $x_0 > 6$. Для этого найдем производную $S'(x_0)$ и приравняем ее к нулю. $S'(x_0) = \left(x_0 + \frac{1}{8} \frac{x_0^2}{x_0 - 6}\right)' = 1 + \frac{1}{8} \frac{2x_0(x_0 - 6) - x_0^2 \cdot 1}{(x_0 - 6)^2}$ $S'(x_0) = 1 + \frac{1}{8} \frac{2x_0^2 - 12x_0 - x_0^2}{(x_0 - 6)^2} = 1 + \frac{x_0^2 - 12x_0}{8(x_0 - 6)^2}$

Приравняем производную к нулю: $1 + \frac{x_0^2 - 12x_0}{8(x_0 - 6)^2} = 0$ $8(x_0 - 6)^2 + x_0^2 - 12x_0 = 0$ $8(x_0^2 - 12x_0 + 36) + x_0^2 - 12x_0 = 0$ $8x_0^2 - 96x_0 + 288 + x_0^2 - 12x_0 = 0$ $9x_0^2 - 108x_0 + 288 = 0$

Разделим уравнение на 9: $x_0^2 - 12x_0 + 32 = 0$ По теореме Виета находим корни: $x_0 = 4$ и $x_0 = 8$.

Учитывая ограничение $x_0 > 6$, выбираем корень $x_0 = 8$. Проверим, что это точка минимума. Производная $S'(x_0) = \frac{9x_0^2 - 108x_0 + 288}{8(x_0-6)^2}$. Знаменатель положителен. Числитель — парабола с ветвями вверх и корнями 4 и 8. При переходе через точку $x_0=8$ слева направо (в области $x_0>6$) знак производной меняется с "-" на "+", следовательно, $x_0=8$ является точкой минимума.

Теперь найдем параметр $a$ для $x_0 = 8$: $a = \frac{1}{8(6 - x_0)} = \frac{1}{8(6 - 8)} = \frac{1}{8(-2)} = -\frac{1}{16}$.

Таким образом, уравнение искомой параболы: $y = a(x - x_0)^2 = -\frac{1}{16}(x - 8)^2$. Можно также записать его в стандартном виде: $y = -\frac{1}{16}(x^2 - 16x + 64) = -\frac{1}{16}x^2 + x - 4$.

Ответ: $y = -\frac{1}{16}(x-8)^2$ или $y = -\frac{1}{16}x^2 + x - 4$.