Номер 297, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 297, страница 121.
№297 (с. 121)
Условие. №297 (с. 121)
скриншот условия

297. Найти наибольшую площадь прямоугольника, одна из вершин которого лежит на оси $Ox$, вторая — на положительной полуоси $Oy$, третья — в точке $(0; 0)$, а четвёртая — на параболе $y=3-x^2$.
Решение 1. №297 (с. 121)

Решение 2. №297 (с. 121)

Решение 3. №297 (с. 121)
Пусть вершины прямоугольника имеют координаты $O(0, 0)$, $A(x, 0)$, $B(x, y)$ и $C(0, y)$.
Согласно условию, одна вершина находится в начале координат $O(0, 0)$. Вторая вершина лежит на оси $Ox$, пусть это будет точка $A(x, 0)$. Третья вершина лежит на положительной полуоси $Oy$, пусть это будет точка $C(0, y)$. Из этого следует, что $x > 0$ и $y > 0$, так как иначе площадь будет равна нулю или прямоугольник не будет находиться в первом квадранте. Четвёртая вершина $B$ будет иметь координаты $(x, y)$.
Эта четвёртая вершина $B(x, y)$ лежит на параболе $y = 3 - x^2$.
Площадь прямоугольника $S$ определяется как произведение его сторон, длины которых равны $x$ и $y$: $S = x \cdot y$
Поскольку точка $(x, y)$ лежит на параболе, мы можем выразить $y$ через $x$: $y = 3 - x^2$. Подставим это выражение в формулу для площади, чтобы получить функцию площади, зависящую только от переменной $x$: $S(x) = x(3 - x^2) = 3x - x^3$
Нам нужно найти наибольшее значение этой функции. Определим область допустимых значений для $x$. Так как $x$ - это сторона прямоугольника, $x > 0$. Также, поскольку вершина лежит на положительной полуоси $Oy$, должно выполняться условие $y > 0$. $3 - x^2 > 0$ $x^2 < 3$ $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$
Учитывая, что $x > 0$, получаем, что $x$ должен находиться в интервале $(0; \sqrt{3})$.
Чтобы найти наибольшее значение функции $S(x)$ на этом интервале, найдём её производную и приравняем к нулю для поиска критических точек: $S'(x) = (3x - x^3)' = 3 - 3x^2$
Приравняем производную к нулю: $3 - 3x^2 = 0$ $3(1 - x^2) = 0$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$
В наш интервал $(0; \sqrt{3})$ попадает только одна критическая точка: $x = 1$.
Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, найдём вторую производную: $S''(x) = (3 - 3x^2)' = -6x$
При $x = 1$, значение второй производной $S''(1) = -6(1) = -6$. Так как $S''(1) < 0$, точка $x = 1$ является точкой максимума функции $S(x)$.
Теперь найдём наибольшую площадь, подставив значение $x = 1$ в функцию площади $S(x)$: $S_{max} = S(1) = 3(1) - (1)^3 = 3 - 1 = 2$
Ответ: 2
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 297 расположенного на странице 121 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №297 (с. 121), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.