Номер 297, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 297, страница 121.

Условие.

297. Найти наибольшую площадь прямоугольника, одна из вершин которого лежит на оси $Ox$, вторая — на положительной полуоси $Oy$, третья — в точке $(0; 0)$, а четвёртая — на параболе $y=3-x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть вершины прямоугольника имеют координаты $O(0, 0)$, $A(x, 0)$, $B(x, y)$ и $C(0, y)$.

Согласно условию, одна вершина находится в начале координат $O(0, 0)$. Вторая вершина лежит на оси $Ox$, пусть это будет точка $A(x, 0)$. Третья вершина лежит на положительной полуоси $Oy$, пусть это будет точка $C(0, y)$. Из этого следует, что $x > 0$ и $y > 0$, так как иначе площадь будет равна нулю или прямоугольник не будет находиться в первом квадранте. Четвёртая вершина $B$ будет иметь координаты $(x, y)$.

Эта четвёртая вершина $B(x, y)$ лежит на параболе $y = 3 - x^2$.

Площадь прямоугольника $S$ определяется как произведение его сторон, длины которых равны $x$ и $y$: $S = x \cdot y$

Поскольку точка $(x, y)$ лежит на параболе, мы можем выразить $y$ через $x$: $y = 3 - x^2$. Подставим это выражение в формулу для площади, чтобы получить функцию площади, зависящую только от переменной $x$: $S(x) = x(3 - x^2) = 3x - x^3$

Нам нужно найти наибольшее значение этой функции. Определим область допустимых значений для $x$. Так как $x$ - это сторона прямоугольника, $x > 0$. Также, поскольку вершина лежит на положительной полуоси $Oy$, должно выполняться условие $y > 0$. $3 - x^2 > 0$ $x^2 < 3$ $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Учитывая, что $x > 0$, получаем, что $x$ должен находиться в интервале $(0; \sqrt{3})$.

Чтобы найти наибольшее значение функции $S(x)$ на этом интервале, найдём её производную и приравняем к нулю для поиска критических точек: $S'(x) = (3x - x^3)' = 3 - 3x^2$

Приравняем производную к нулю: $3 - 3x^2 = 0$ $3(1 - x^2) = 0$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$

В наш интервал $(0; \sqrt{3})$ попадает только одна критическая точка: $x = 1$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, найдём вторую производную: $S''(x) = (3 - 3x^2)' = -6x$

При $x = 1$, значение второй производной $S''(1) = -6(1) = -6$. Так как $S''(1) < 0$, точка $x = 1$ является точкой максимума функции $S(x)$.

Теперь найдём наибольшую площадь, подставив значение $x = 1$ в функцию площади $S(x)$: $S_{max} = S(1) = 3(1) - (1)^3 = 3 - 1 = 2$

Ответ: 2