Номер 299, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 299, страница 121.

Условие.

299. Из всех прямоугольных параллелепипедов, вписанных в сферу радиуса $R$ и имеющих в основании квадрат, найти параллелепипед наибольшего объёма.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть сторона квадратного основания прямоугольного параллелепипеда равна $a$, а его высота равна $h$. Радиус описанной сферы равен $R$.

Для любого прямоугольного параллелепипеда, вписанного в сферу, его главная диагональ $d$ является диаметром сферы, то есть $d = 2R$. Квадрат главной диагонали связан с измерениями параллелепипеда ($l, w, h$) соотношением $d^2 = l^2 + w^2 + h^2$. В нашем случае основание является квадратом, поэтому $l=w=a$, и формула принимает вид:

$d^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2$

Подставляя $d = 2R$, получаем уравнение, связывающее размеры параллелепипеда и радиус сферы:

$(2R)^2 = 2a^2 + h^2 \implies 4R^2 = 2a^2 + h^2$

Объем $V$ параллелепипеда, который необходимо максимизировать, вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h = a^2h$

Чтобы найти максимум, выразим объем как функцию одной переменной. Из уравнения связи выразим $a^2$ через $h$:

$2a^2 = 4R^2 - h^2 \implies a^2 = \frac{4R^2 - h^2}{2}$

Подставим это выражение в формулу для объема:

$V(h) = \left( \frac{4R^2 - h^2}{2} \right) \cdot h = 2R^2h - \frac{1}{2}h^3$

По физическому смыслу, $h > 0$. Также должно выполняться условие $a^2 > 0$, что означает $4R^2 - h^2 > 0$, или $h < 2R$. Таким образом, мы ищем максимум функции $V(h)$ на интервале $h \in (0, 2R)$.

Для нахождения точки экстремума найдем производную функции $V(h)$ и приравняем ее к нулю:

$V'(h) = \frac{d}{dh}\left(2R^2h - \frac{1}{2}h^3\right) = 2R^2 - \frac{3}{2}h^2$

$V'(h) = 0 \implies 2R^2 - \frac{3}{2}h^2 = 0$

$\frac{3}{2}h^2 = 2R^2$

$h^2 = \frac{4R^2}{3}$

$h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}R}{3}$

Это значение $h$ принадлежит интервалу $(0, 2R)$. Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:

$V''(h) = \frac{d}{dh}\left(2R^2 - \frac{3}{2}h^2\right) = -3h$

Так как $h > 0$, вторая производная $V''(h)$ всегда отрицательна, что подтверждает, что в найденной точке достигается максимум функции объема.

Теперь найдем сторону основания $a$, соответствующую этому значению $h$:

$a^2 = \frac{4R^2 - h^2}{2} = \frac{4R^2 - \frac{4R^2}{3}}{2} = \frac{\frac{12R^2 - 4R^2}{3}}{2} = \frac{\frac{8R^2}{3}}{2} = \frac{4R^2}{3}$

$a = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}R}{3}$

Поскольку $a = h$, искомый параллелепипед с наибольшим объемом является кубом.

Ответ: Параллелепипед наибольшего объёма — это куб, ребро которого равно $\frac{2\sqrt{3}R}{3}$.