Номер 295, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 295, страница 120.

Условие.

295. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x)=\frac{x^4+1}{x^2+1}$ на отрезке [-1; 1];

2) $f(x)=|x^2+2x-3|+\frac{3}{2}\ln x$ на отрезке $[\frac{1}{2}; 2].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{x^4+1}{x^2+1}$ на отрезке $[-1; 1]$ воспользуемся стандартным алгоритмом.

Сначала найдем производную функции. Для удобства преобразуем функцию:

$f(x) = \frac{x^4-1+2}{x^2+1} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)+2}{x^2+1} = x^2-1 + \frac{2}{x^2+1}$.

Теперь находим производную:

$f'(x) = (x^2-1 + \frac{2}{x^2+1})' = 2x - \frac{2 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = 2x - \frac{4x}{(x^2+1)^2} = 2x\left(1 - \frac{2}{(x^2+1)^2}\right) = \frac{2x((x^2+1)^2 - 2)}{(x^2+1)^2}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$f'(x) = 0 \implies 2x((x^2+1)^2 - 2) = 0$.

Отсюда получаем два случая:

1. $2x = 0 \implies x_1 = 0$.

2. $(x^2+1)^2 - 2 = 0 \implies (x^2+1)^2 = 2 \implies x^2+1 = \sqrt{2}$ (так как $x^2+1>0$).

$x^2 = \sqrt{2}-1$. Отсюда $x_{2,3} = \pm\sqrt{\sqrt{2}-1}$.

Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку $[-1; 1]$.

$x_1 = 0 \in [-1; 1]$.

Так как $1 < \sqrt{2} < 2$, то $0 < \sqrt{2}-1 < 1$, и следовательно $0 < \sqrt{\sqrt{2}-1} < 1$. Значит, точки $x_2 = \sqrt{\sqrt{2}-1}$ и $x_3 = -\sqrt{\sqrt{2}-1}$ также принадлежат отрезку $[-1; 1]$.

Теперь вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: $x=-1, x=1, x=0, x=\pm\sqrt{\sqrt{2}-1}$.

Заметим, что функция $f(x)$ является четной, так как $f(-x) = \frac{(-x)^4+1}{(-x)^2+1} = \frac{x^4+1}{x^2+1} = f(x)$. Поэтому $f(-1)=f(1)$ и $f(-\sqrt{\sqrt{2}-1}) = f(\sqrt{\sqrt{2}-1})$.

• $f(1) = \frac{1^4+1}{1^2+1} = \frac{2}{2} = 1$.
• $f(0) = \frac{0^4+1}{0^2+1} = \frac{1}{1} = 1$.
• Для $x = \pm\sqrt{\sqrt{2}-1}$, имеем $x^2 = \sqrt{2}-1$. Подставим в преобразованное выражение для $f(x)$:
  $f(\pm\sqrt{\sqrt{2}-1}) = (\sqrt{2}-1) - 1 + \frac{2}{(\sqrt{2}-1)+1} = \sqrt{2}-2 + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}-2+\sqrt{2} = 2\sqrt{2}-2$.

Сравним полученные значения: $1$ и $2\sqrt{2}-2$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $2\sqrt{2}-2 \approx 2 \cdot 1.414 - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$.

Очевидно, что $2\sqrt{2}-2 < 1$.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно 1, а наименьшее равно $2\sqrt{2}-2$.

Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $2\sqrt{2}-2$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = |x^2+2x-3| + \frac{3}{2}\ln x$ на отрезке $[\frac{1}{2}; 2]$.

Сначала раскроем модуль. Для этого найдем корни выражения под модулем: $x^2+2x-3 = 0$.

Корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=-3$. Выражение $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$ отрицательно при $x \in (-3; 1)$ и положительно при $x \in (-\infty; -3) \cup (1; \infty)$.

Наш отрезок $[\frac{1}{2}; 2]$ содержит точку $x=1$. Поэтому мы должны рассмотреть два подинтервала:

• На отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$: $x^2+2x-3 \le 0$, поэтому $|x^2+2x-3| = -(x^2+2x-3) = -x^2-2x+3$.
  $f(x) = -x^2-2x+3 + \frac{3}{2}\ln x$.
• На отрезке $[1; 2]$: $x^2+2x-3 \ge 0$, поэтому $|x^2+2x-3| = x^2+2x-3$.
  $f(x) = x^2+2x-3 + \frac{3}{2}\ln x$.

Найдем производную функции на каждом из подинтервалов.

Для $x \in (\frac{1}{2}; 1)$:

$f'(x) = (-x^2-2x+3 + \frac{3}{2}\ln x)' = -2x-2+\frac{3}{2x} = \frac{-4x^2-4x+3}{2x}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-4x^2-4x+3=0$, или $4x^2+4x-3=0$.

Корни этого уравнения: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-4(4)(-3)}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{8} = \frac{-4 \pm 8}{8}$.

$x_1 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$.

Интервалу $(\frac{1}{2}; 1)$ ни один из корней не принадлежит. Проверим знак производной на этом интервале, например, в точке $x=0.75$. $f'(0.75) = -2(0.75)-2+\frac{3}{2(0.75)} = -1.5-2+2 = -1.5 < 0$. Значит, функция убывает на всем отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$.

Для $x \in (1; 2)$:

$f'(x) = (x^2+2x-3 + \frac{3}{2}\ln x)' = 2x+2+\frac{3}{2x}$.

На интервале $(1; 2)$ все слагаемые $2x$, $2$ и $\frac{3}{2x}$ положительны, следовательно $f'(x) > 0$. Значит, функция возрастает на всем отрезке $[1; 2]$.

Точка $x=1$ является точкой излома (производная в ней не существует), а также точкой локального минимума, так как до нее функция убывала, а после нее — возрастает.

Наибольшее и наименьшее значения функции могут достигаться в точках $x=\frac{1}{2}$, $x=1$ и $x=2$. Вычислим значения функции в этих точках.

• $f(\frac{1}{2}) = |(\frac{1}{2})^2+2(\frac{1}{2})-3| + \frac{3}{2}\ln(\frac{1}{2}) = |\frac{1}{4}+1-3| + \frac{3}{2}(-\ln 2) = |-\frac{7}{4}| - \frac{3}{2}\ln 2 = \frac{7}{4} - \frac{3}{2}\ln 2$.
• $f(1) = |1^2+2(1)-3| + \frac{3}{2}\ln(1) = |0| + 0 = 0$.
• $f(2) = |2^2+2(2)-3| + \frac{3}{2}\ln(2) = |4+4-3| + \frac{3}{2}\ln 2 = |5| + \frac{3}{2}\ln 2 = 5 + \frac{3}{2}\ln 2$.

Сравним полученные значения: $0$, $\frac{7}{4} - \frac{3}{2}\ln 2$ и $5 + \frac{3}{2}\ln 2$.

Так как $\ln 2 > 0$, очевидно, что $0$ является наименьшим значением. Для определения наибольшего значения сравним $f(\frac{1}{2})$ и $f(2)$.
$f(2) - f(\frac{1}{2}) = (5 + \frac{3}{2}\ln 2) - (\frac{7}{4} - \frac{3}{2}\ln 2) = 5 - \frac{7}{4} + 3\ln 2 = \frac{13}{4} + 3\ln 2 > 0$.
Следовательно, $f(2)$ является наибольшим значением.

Ответ: наибольшее значение $5 + \frac{3}{2}\ln 2$, наименьшее значение $0$.