Номер 298, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 298, страница 121.

Условие.

298. Из всех прямоугольников с периметром $p$ найти прямоугольник с наименьшей диагональю.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр $P$ такого прямоугольника равен $2(a + b)$ и по условию он равен $p$. $2(a + b) = p$ Отсюда можно выразить одну сторону через другую: $a + b = \frac{p}{2}$ $b = \frac{p}{2} - a$ Поскольку длины сторон должны быть положительными числами, то $a > 0$ и $b > 0$. Условие $b > 0$ дает нам ограничение на $a$: $\frac{p}{2} - a > 0 \implies a < \frac{p}{2}$. Таким образом, $a$ находится в интервале $0 < a < \frac{p}{2}$.

Теперь выразим диагональ $d$ прямоугольника через его стороны. По теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$ $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ Чтобы найти прямоугольник с наименьшей диагональю, нужно найти минимум функции $d(a, b)$. Задача упрощается, если минимизировать не саму диагональ $d$, а ее квадрат $d^2$, поскольку функция $y=x^2$ монотонно возрастает для положительных $x$.

Подставим выражение для $b$ в формулу для $d^2$, чтобы получить функцию от одной переменной $a$: $f(a) = d^2 = a^2 + \left(\frac{p}{2} - a\right)^2$ Раскроем скобки и упростим выражение: $f(a) = a^2 + \left(\frac{p^2}{4} - 2 \cdot \frac{p}{2} \cdot a + a^2\right) = a^2 + \frac{p^2}{4} - pa + a^2 = 2a^2 - pa + \frac{p^2}{4}$

Полученная функция $f(a) = 2a^2 - pa + \frac{p^2}{4}$ является квадратичной функцией от $a$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ равен 2 (положительное число). Следовательно, эта функция имеет точку минимума в своей вершине. Координата вершины параболы вида $y = Ax^2+Bx+C$ находится по формуле $x = -\frac{B}{2A}$. Для нашей функции $A=2$ и $B=-p$. Найдем значение $a$, при котором $f(a)$ минимально: $a = -\frac{-p}{2 \cdot 2} = \frac{p}{4}$

Это значение для $a$ удовлетворяет ранее найденному ограничению $0 < a < \frac{p}{2}$. Теперь найдем длину второй стороны $b$: $b = \frac{p}{2} - a = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{2p - p}{4} = \frac{p}{4}$ Поскольку стороны $a$ и $b$ равны ($a=b=\frac{p}{4}$), то прямоугольник с наименьшей диагональю при заданном периметре является квадратом.

Ответ: Прямоугольник с наименьшей диагональю — это квадрат со стороной, равной $\frac{p}{4}$.