Номер 303, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба - номер 303, страница 126.

Условие.

303. Найти вторую производную функции:

1) $f(x) = \sin^2 x;$ 2) $f(x) = x^3 \sin x;$

3) $f(x) = x^4 + 3x^2 - x + 1;$ 4) $f(x) = x^4 - 3x^3 + 5x + 6;$

5) $f(x) = e^{\sin x};$ 6) $f(x) = \ln(x^2 + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) f(x) = sin²x;

Для нахождения второй производной, сначала найдем первую производную функции. Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = (\sin^2 x)' = 2 \sin x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cos x$

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $, упростим выражение для первой производной:

$f'(x) = \sin(2x)$

Теперь найдем вторую производную, продифференцировав первую производную:

$f''(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2 \cos(2x)$

Ответ: $f''(x) = 2 \cos(2x)$

2) f(x) = x³sin x;

Находим первую производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^3)' \sin x + x^3 (\sin x)' = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

Находим вторую производную, снова применяя правило произведения к каждому слагаемому:

$f''(x) = (3x^2 \sin x + x^3 \cos x)' = (3x^2 \sin x)' + (x^3 \cos x)'$

$(3x^2 \sin x)' = (3x^2)' \sin x + 3x^2 (\sin x)' = 6x \sin x + 3x^2 \cos x$

$(x^3 \cos x)' = (x^3)' \cos x + x^3 (\cos x)' = 3x^2 \cos x + x^3 (-\sin x) = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x$

Складываем полученные выражения:

$f''(x) = (6x \sin x + 3x^2 \cos x) + (3x^2 \cos x - x^3 \sin x)$

Группируем подобные члены:

$f''(x) = (6x - x^3) \sin x + (3x^2 + 3x^2) \cos x = (6x - x^3) \sin x + 6x^2 \cos x$

Ответ: $f''(x) = (6x - x^3) \sin x + 6x^2 \cos x$

3) f(x) = x⁴ + 3x² - x + 1;

Находим первую производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = 4x^{4-1} + 3 \cdot 2x^{2-1} - 1 + 0 = 4x^3 + 6x - 1$

Находим вторую производную, дифференцируя первую производную:

$f''(x) = (4x^3 + 6x - 1)' = 4 \cdot 3x^{3-1} + 6 - 0 = 12x^2 + 6$

Ответ: $f''(x) = 12x^2 + 6$

4) f(x) = x⁴ - 3x³ + 5x + 6;

Находим первую производную, используя правило дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = 4x^{4-1} - 3 \cdot 3x^{3-1} + 5 + 0 = 4x^3 - 9x^2 + 5$

Находим вторую производную, дифференцируя первую производную:

$f''(x) = (4x^3 - 9x^2 + 5)' = 4 \cdot 3x^{3-1} - 9 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 12x^2 - 18x$

Ответ: $f''(x) = 12x^2 - 18x$

5) f(x) = e^{sin x};

Находим первую производную, используя цепное правило. Пусть $u = \sin x$:

$f'(x) = (e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cdot (\sin x)' = e^{\sin x} \cos x$

Находим вторую производную, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f''(x) = (e^{\sin x} \cos x)' = (e^{\sin x})' \cos x + e^{\sin x} (\cos x)'$

Мы уже знаем, что $(e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cos x$, а $(\cos x)' = -\sin x$. Подставляем:

$f''(x) = (e^{\sin x} \cos x) \cos x + e^{\sin x} (-\sin x) = e^{\sin x} \cos^2 x - e^{\sin x} \sin x$

Выносим общий множитель $e^{\sin x}$ за скобки:

$f''(x) = e^{\sin x} (\cos^2 x - \sin x)$

Ответ: $f''(x) = e^{\sin x}(\cos^2 x - \sin x)$

6) f(x) = ln(x² + 1).

Находим первую производную, используя цепное правило. Пусть $u = x^2 + 1$:

$f'(x) = (\ln(x^2+1))' = \frac{1}{x^2+1} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{x^2+1}$

Находим вторую производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f''(x) = \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)' = \frac{(2x)'(x^2+1) - 2x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}$

Вычисляем производные в числителе:

$f''(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2 - 4x^2}{(x^2+1)^2}$

Упрощаем выражение:

$f''(x) = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

Ответ: $f''(x) = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$