Номер 302, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 302, страница 121.

Условие.

302. Рассматриваются всевозможные параболы, касающиеся оси $Ox$ и прямой $y = \frac{x}{2} - 3$ и такие, что их ветви направлены вниз. Найти уравнение той параболы, для которой сумма расстояний от начала координат до точек пересечения параболы с осями координат является наименьшей.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть уравнение искомой параболы имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. По условию, ветви параболы направлены вниз, следовательно, коэффициент $a < 0$.

Парабола касается оси $Ox$. Это означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно один корень. Следовательно, дискриминант этого квадратного уравнения равен нулю: $D = b^2 - 4ac = 0$. Параболу, касающуюся оси $Ox$ в точке $(x_0, 0)$, удобнее записать в виде $y = a(x - x_0)^2$. Здесь $(x_0, 0)$ — вершина параболы.

Теперь используем второе условие касания: парабола $y = a(x - x_0)^2$ касается прямой $y = \frac{x}{2} - 3$. Это означает, что система уравнений $$ \begin{cases} y = a(x - x_0)^2 \\ y = \frac{x}{2} - 3 \end{cases} $$ должна иметь единственное решение. Приравняем правые части: $a(x - x_0)^2 = \frac{x}{2} - 3$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду относительно $x$: $a(x^2 - 2x_0x + x_0^2) = \frac{x}{2} - 3$ $ax^2 - 2ax_0x + ax_0^2 - \frac{x}{2} + 3 = 0$ $ax^2 - (2ax_0 + \frac{1}{2})x + (ax_0^2 + 3) = 0$

Для того чтобы это квадратное уравнение имело единственный корень, его дискриминант $D_1$ должен быть равен нулю: $D_1 = \left(2ax_0 + \frac{1}{2}\right)^2 - 4a(ax_0^2 + 3) = 0$ $4a^2x_0^2 + 2ax_0 + \frac{1}{4} - 4a^2x_0^2 - 12a = 0$ $2ax_0 - 12a + \frac{1}{4} = 0$ $a(2x_0 - 12) = -\frac{1}{4}$ $a = -\frac{1}{4(2x_0 - 12)} = \frac{1}{8(6 - x_0)}$

Поскольку $a < 0$, знаменатель $8(6 - x_0)$ должен быть отрицательным, что означает $6 - x_0 < 0$, или $x_0 > 6$.

Теперь найдем точки пересечения параболы с осями координат. 1. Пересечение с осью $Ox$: это точка касания (вершина), ее координаты $(x_0, 0)$. 2. Пересечение с осью $Oy$: для этого подставим $x=0$ в уравнение параболы: $y = a(0 - x_0)^2 = ax_0^2$. Координаты точки $(0, ax_0^2)$.

Сумма расстояний $S$ от начала координат до этих точек равна: $S = \sqrt{(x_0-0)^2 + (0-0)^2} + \sqrt{(0-0)^2 + (ax_0^2-0)^2} = |x_0| + |ax_0^2|$. Так как $x_0 > 6$, то $|x_0| = x_0$. Так как $a < 0$ и $x_0^2 > 0$, то $ax_0^2 < 0$, и $|ax_0^2| = -ax_0^2$. Таким образом, сумма расстояний $S(x_0) = x_0 - ax_0^2$.

Подставим выражение для $a$ через $x_0$: $S(x_0) = x_0 - \frac{1}{8(6 - x_0)} \cdot x_0^2 = x_0 + \frac{x_0^2}{8(x_0 - 6)}$

Нам нужно найти наименьшее значение функции $S(x_0)$ на интервале $x_0 > 6$. Для этого найдем производную $S'(x_0)$ и приравняем ее к нулю. $S'(x_0) = \left(x_0 + \frac{1}{8} \frac{x_0^2}{x_0 - 6}\right)' = 1 + \frac{1}{8} \frac{2x_0(x_0 - 6) - x_0^2 \cdot 1}{(x_0 - 6)^2}$ $S'(x_0) = 1 + \frac{1}{8} \frac{2x_0^2 - 12x_0 - x_0^2}{(x_0 - 6)^2} = 1 + \frac{x_0^2 - 12x_0}{8(x_0 - 6)^2}$

Приравняем производную к нулю: $1 + \frac{x_0^2 - 12x_0}{8(x_0 - 6)^2} = 0$ $8(x_0 - 6)^2 + x_0^2 - 12x_0 = 0$ $8(x_0^2 - 12x_0 + 36) + x_0^2 - 12x_0 = 0$ $8x_0^2 - 96x_0 + 288 + x_0^2 - 12x_0 = 0$ $9x_0^2 - 108x_0 + 288 = 0$

Разделим уравнение на 9: $x_0^2 - 12x_0 + 32 = 0$ По теореме Виета находим корни: $x_0 = 4$ и $x_0 = 8$.

Учитывая ограничение $x_0 > 6$, выбираем корень $x_0 = 8$. Проверим, что это точка минимума. Производная $S'(x_0) = \frac{9x_0^2 - 108x_0 + 288}{8(x_0-6)^2}$. Знаменатель положителен. Числитель — парабола с ветвями вверх и корнями 4 и 8. При переходе через точку $x_0=8$ слева направо (в области $x_0>6$) знак производной меняется с "-" на "+", следовательно, $x_0=8$ является точкой минимума.

Теперь найдем параметр $a$ для $x_0 = 8$: $a = \frac{1}{8(6 - x_0)} = \frac{1}{8(6 - 8)} = \frac{1}{8(-2)} = -\frac{1}{16}$.

Таким образом, уравнение искомой параболы: $y = a(x - x_0)^2 = -\frac{1}{16}(x - 8)^2$. Можно также записать его в стандартном виде: $y = -\frac{1}{16}(x^2 - 16x + 64) = -\frac{1}{16}x^2 + x - 4$.

Ответ: $y = -\frac{1}{16}(x-8)^2$ или $y = -\frac{1}{16}x^2 + x - 4$.