Номер 308, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба - номер 308, страница 133.

Условие.

Построить график функции (308–309).

308. 1) $y = x^3 - 3x^2 + 4$;

2) $y = 2 + 3x - x^3$;

3) $y = -x^3 + 4x^2 - 4x$;

4) $y = x^3 + 6x^2 + 9x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = x^3 - 3x^2 + 4$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 4 = 4$. Точка пересечения $(0; 4)$.
- С осью OX: при $y=0$ имеем $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$. Можно заметить, что $x=-1$ является корнем: $(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$. Также $x=2$ является корнем: $2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$. Разложив многочлен на множители, получаем: $x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x-2)^2$. Таким образом, точки пересечения с осью OX: $(-1; 0)$ и $(2; 0)$. В точке $(2; 0)$ график касается оси абсцисс, так как корень $x=2$ имеет кратность 2.

3. Четность и периодичность.
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 4 = -x^3 - 3x^2 + 4$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Функция непериодическая.

4. Интервалы монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 3x^2 + 4)' = 3x^2 - 6x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x-2)=0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=2$.
Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
- На интервале $(-\infty; 0)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(0; 2)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
В точке $x=0$ происходит смена знака производной с «+» на «-», это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 4$. Координаты точки максимума $(0; 4)$.
В точке $x=2$ происходит смена знака производной с «-» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 0$. Координаты точки минимума $(2; 0)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$.
Найдем точки возможного перегиба: $6x - 6 = 0 \implies x=1$.
Определим знаки второй производной:
- На интервале $(-\infty; 1)$ вторая производная $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
- На интервале $(1; +\infty)$ вторая производная $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
В точке $x=1$ меняется направление выпуклости, значит, это точка перегиба. $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4 = 2$. Координаты точки перегиба $(1; 2)$.

Ответ: График функции $y = x^3 - 3x^2 + 4$ — кубическая парабола. Ключевые точки для построения: пересечение с осью OY в $(0; 4)$, пересечение с осью OX в $(-1; 0)$ и касание в $(2; 0)$. Локальный максимум в точке $(0; 4)$, локальный минимум в точке $(2; 0)$. Точка перегиба — $(1; 2)$. Функция возрастает на $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$ и убывает на $(0; 2)$.

---

2) $y = 2 + 3x - x^3$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция является многочленом.

2. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = 2 + 3 \cdot 0 - 0^3 = 2$. Точка пересечения $(0; 2)$.
- С осью OX: при $y=0$ имеем $-x^3 + 3x + 2 = 0$ или $x^3 - 3x - 2 = 0$. Подбором находим корни $x=-1$ (касание, так как $x=-1$ — корень кратности 2) и $x=2$. Разложение: $(x+1)^2(x-2)=0$. Точки пересечения: $(-1; 0)$ и $(2; 0)$.

3. Четность и периодичность.
$y(-x) = 2 + 3(-x) - (-x)^3 = 2 - 3x + x^3$. Функция общего вида. Непериодическая.

4. Интервалы монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $y' = (2 + 3x - x^3)' = 3 - 3x^2 = 3(1-x^2)$.
Критические точки: $3(1-x^2) = 0 \implies x_1=-1, x_2=1$.
- На $(-\infty; -1)$: $y' < 0$, функция убывает.
- На $(-1; 1)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- На $(1; +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает.
Точка $x=-1$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = 2 + 3(-1) - (-1)^3 = 0$. Точка минимума $(-1; 0)$.
Точка $x=1$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 2 + 3(1) - 1^3 = 4$. Точка максимума $(1; 4)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Вторая производная: $y'' = (3 - 3x^2)' = -6x$.
Точка возможного перегиба: $-6x = 0 \implies x=0$.
- На $(-\infty; 0)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).
- На $(0; +\infty)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
Точка $x=0$ — точка перегиба. $y(0)=2$. Координаты точки перегиба $(0; 2)$.

Ответ: График функции $y = 2 + 3x - x^3$ — кубическая парабола. Ключевые точки: пересечение с OY в $(0; 2)$, касание оси OX в $(-1; 0)$ и пересечение в $(2; 0)$. Локальный минимум в $(-1; 0)$, локальный максимум в $(1; 4)$. Точка перегиба — $(0; 2)$. Функция убывает на $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ и возрастает на $(-1; 1)$.

---

3) $y = -x^3 + 4x^2 - 4x$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Вынесем $-x$ за скобки: $y = -x(x^2 - 4x + 4) = -x(x-2)^2$.
- С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.
- С осью OX: при $y=0$, $-x(x-2)^2=0$. Корни $x=0$ и $x=2$ (касание). Точки: $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

3. Четность и периодичность.
$y(-x) = -(-x)^3 + 4(-x)^2 - 4(-x) = x^3 + 4x^2 + 4x$. Функция общего вида. Непериодическая.

4. Интервалы монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $y' = -3x^2 + 8x - 4$.
Критические точки: $-3x^2 + 8x - 4 = 0 \implies 3x^2 - 8x + 4 = 0$. Дискриминант $D = 64 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16$. Корни $x_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{6}$, т.е. $x_1 = 2/3$, $x_2=2$.
- На $(-\infty; 2/3)$: $y' < 0$, функция убывает.
- На $(2/3; 2)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- На $(2; +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает.
Точка $x=2/3$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(2/3) = -(2/3)^3 + 4(2/3)^2 - 4(2/3) = -8/27 + 16/9 - 8/3 = -32/27$. Точка минимума $(2/3; -32/27)$.
Точка $x=2$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(2) = -2(2-2)^2 = 0$. Точка максимума $(2; 0)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Вторая производная: $y'' = (-3x^2 + 8x - 4)' = -6x + 8$.
Точка возможного перегиба: $-6x + 8 = 0 \implies x=4/3$.
- На $(-\infty; 4/3)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- На $(4/3; +\infty)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
Точка $x=4/3$ — точка перегиба. $y(4/3) = -(4/3)(4/3-2)^2 = -4/3(-2/3)^2 = -16/27$. Точка перегиба $(4/3; -16/27)$.

Ответ: График функции $y = -x^3 + 4x^2 - 4x$ — кубическая парабола. Пересекает оси в точке $(0; 0)$ и касается оси OX в точке $(2; 0)$. Локальный минимум в $(2/3; -32/27)$, локальный максимум в $(2; 0)$. Точка перегиба — $(4/3; -16/27)$. Функция убывает на $(-\infty; 2/3) \cup (2; +\infty)$ и возрастает на $(2/3; 2)$.

---

4) $y = x^3 + 6x^2 + 9x$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Разложим на множители: $y = x(x^2 + 6x + 9) = x(x+3)^2$.
- С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.
- С осью OX: при $y=0$, $x(x+3)^2=0$. Корни $x=0$ и $x=-3$ (касание). Точки: $(0; 0)$ и $(-3; 0)$.

3. Четность и периодичность.
$y(-x) = (-x)^3 + 6(-x)^2 + 9(-x) = -x^3 + 6x^2 - 9x$. Функция общего вида. Непериодическая.

4. Интервалы монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $y' = 3x^2 + 12x + 9 = 3(x^2+4x+3) = 3(x+1)(x+3)$.
Критические точки: $x_1=-3, x_2=-1$.
- На $(-\infty; -3)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- На $(-3; -1)$: $y' < 0$, функция убывает.
- На $(-1; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
Точка $x=-3$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(-3) = -3(-3+3)^2 = 0$. Точка максимума $(-3; 0)$.
Точка $x=-1$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1+6-9=-4$. Точка минимума $(-1; -4)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Вторая производная: $y'' = (3x^2 + 12x + 9)' = 6x + 12$.
Точка возможного перегиба: $6x + 12 = 0 \implies x=-2$.
- На $(-\infty; -2)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- На $(-2; +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
Точка $x=-2$ — точка перегиба. $y(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 + 9(-2) = -8+24-18=-2$. Точка перегиба $(-2; -2)$.

Ответ: График функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x$ — кубическая парабола. Касается оси OX в точке $(-3; 0)$ и пересекает оси в начале координат $(0; 0)$. Локальный максимум в $(-3; 0)$, локальный минимум в $(-1; -4)$. Точка перегиба — $(-2; -2)$. Функция возрастает на $(-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$ и убывает на $(-3; -1)$.