Номер 301, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 301, страница 121.

Условие.

301. На координатной плоскости даны точки B(3; 1) и C(5; 1). Рассматриваются трапеции, для которых отрезок BC является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы $y=(x-1)^2$, выделяемой условием $0 \le x \le 2$. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть трапеция имеет вершины $A, B, C, D$. По условию, одно из оснований — это отрезок $BC$ с координатами точек $B(3; 1)$ и $C(5; 1)$. Так как ординаты (y-координаты) этих точек равны, основание $BC$ параллельно оси абсцисс и лежит на прямой $y=1$. Длина этого основания $b_1 = |5 - 3| = 2$.

Вершины другого основания, назовем их $A$ и $D$, лежат на дуге параболы $y=(x-1)^2$ при условии $0 \le x \le 2$. Поскольку основания трапеции параллельны, основание $AD$ также должно быть параллельно оси абсцисс. Это означает, что ординаты точек $A(x_A, y_A)$ и $D(x_D, y_D)$ должны быть равны.

Пусть $y_A = y_D = y_0$. Так как обе точки лежат на параболе, имеем:$y_0 = (x_A - 1)^2$ и $y_0 = (x_D - 1)^2$.Следовательно, $(x_A - 1)^2 = (x_D - 1)^2$.Поскольку $A$ и $D$ — разные вершины, $x_A \ne x_D$. Тогда должно выполняться равенство $x_A - 1 = -(x_D - 1)$, что равносильно $x_A + x_D = 2$. Это означает, что основание $AD$ симметрично относительно оси симметрии параболы $x=1$.

Выразим площадь трапеции как функцию одной переменной. Пусть абсцисса точки $A$ равна $t$. Тогда абсцисса точки $D$ равна $2-t$. Без ограничения общности, пусть $t$ — меньшая из абсцисс, тогда $t \in [0, 1]$.Длина второго основания $b_2 = |x_D - x_A| = |(2-t) - t| = |2 - 2t|$. Так как $t \in [0, 1]$, то $2-2t \ge 0$, и $b_2 = 2 - 2t$.Ордината основания $AD$ равна $y_0 = (t-1)^2$.Высота трапеции $h$ — это расстояние между основаниями, то есть разность их ординат.$h = |1 - y_0| = |1 - (t-1)^2|$.На отрезке $x \in [0, 2]$ значения функции $y=(x-1)^2$ находятся в диапазоне $[0, 1]$, поэтому $1 - (t-1)^2 \ge 0$. Таким образом, $h = 1 - (t-1)^2$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$. Подставим найденные выражения:$S(t) = \frac{2 + (2 - 2t)}{2} \cdot (1 - (t-1)^2)$$S(t) = \frac{4 - 2t}{2} \cdot (1 - (t^2 - 2t + 1))$$S(t) = (2 - t) \cdot (1 - t^2 + 2t - 1)$$S(t) = (2 - t) \cdot (2t - t^2)$$S(t) = t(2 - t)^2$

Теперь необходимо найти максимальное значение функции $S(t) = t(2 - t)^2$ на отрезке $t \in [0, 1]$. Для этого найдем производную функции $S(t)$.$S(t) = t(4 - 4t + t^2) = 4t - 4t^2 + t^3$$S'(t) = \frac{d}{dt}(4t - 4t^2 + t^3) = 4 - 8t + 3t^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$3t^2 - 8t + 4 = 0$Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$Корни уравнения:$t_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$t_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Из найденных критических точек только $t = 2/3$ принадлежит рассматриваемому отрезку $[0, 1]$. Чтобы найти наибольшее значение функции на этом отрезке, вычислим ее значения в критической точке $t=2/3$ и на концах отрезка, $t=0$ и $t=1$.$S(0) = 0 \cdot (2-0)^2 = 0$$S(1) = 1 \cdot (2-1)^2 = 1$$S(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} \cdot (2 - \frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} \cdot (\frac{6-2}{3})^2 = \frac{2}{3} \cdot (\frac{4}{3})^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9} = \frac{32}{27}$

Сравнивая полученные значения $0$, $1$ и $\frac{32}{27}$, заключаем, что наибольшее значение равно $\frac{32}{27}$, так как $\frac{32}{27} = 1\frac{5}{27} > 1$.

Ответ: $\frac{32}{27}$.