Номер 307, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба - номер 307, страница 126.

Условие.

307. Найти точки перегиба функции:

1) $f(x) = 12x^3 - 24x^2 + x + 5;$

2) $f(x) = x^4 - 12x^3 + 48x^2 + 3;$

3) $f(x) = x^3 e^{-4x};$

4) $f(x) = x^2 \ln x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения точек перегиба функции необходимо найти вторую производную функции, приравнять ее к нулю, найти корни полученного уравнения (это будут абсциссы возможных точек перегиба) и проверить, меняет ли вторая производная знак при переходе через эти точки. Если знак меняется, то точка является точкой перегиба.

1) $f(x) = 12x^3 - 24x^2 + x + 5$

1. Находим первую производную функции:
$f'(x) = (12x^3 - 24x^2 + x + 5)' = 36x^2 - 48x + 1$

2. Находим вторую производную функции:
$f''(x) = (36x^2 - 48x + 1)' = 72x - 48$

3. Приравниваем вторую производную к нулю для нахождения абсциссы возможной точки перегиба:
$72x - 48 = 0$
$72x = 48$
$x = \frac{48}{72} = \frac{2}{3}$

4. Проверим знак второй производной на интервалах $(-\infty; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; +\infty)$.
При $x < \frac{2}{3}$ (например, $x=0$), $f''(0) = 72 \cdot 0 - 48 = -48 < 0$. График функции вогнут вниз.
При $x > \frac{2}{3}$ (например, $x=1$), $f''(1) = 72 \cdot 1 - 48 = 24 > 0$. График функции вогнут вверх.
Так как при переходе через точку $x = \frac{2}{3}$ вторая производная меняет знак, эта точка является абсциссой точки перегиба.

5. Найдем ординату точки перегиба, подставив значение $x = \frac{2}{3}$ в исходную функцию:
$f(\frac{2}{3}) = 12(\frac{2}{3})^3 - 24(\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} + 5 = 12 \cdot \frac{8}{27} - 24 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} + 5 = \frac{32}{9} - \frac{96}{9} + \frac{6}{9} + \frac{45}{9} = \frac{32 - 96 + 6 + 45}{9} = \frac{-13}{9}$
Точка перегиба имеет координаты $(\frac{2}{3}, -\frac{13}{9})$.

Ответ: $(\frac{2}{3}, -\frac{13}{9})$

2) $f(x) = x^4 - 12x^3 + 48x^2 + 3$

1. Находим первую производную:
$f'(x) = (x^4 - 12x^3 + 48x^2 + 3)' = 4x^3 - 36x^2 + 96x$

2. Находим вторую производную:
$f''(x) = (4x^3 - 36x^2 + 96x)' = 12x^2 - 72x + 96$

3. Приравниваем вторую производную к нулю:
$12x^2 - 72x + 96 = 0$
Делим обе части на 12:
$x^2 - 6x + 8 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

4. Проверим знак второй производной на интервалах $(-\infty; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; +\infty)$. Вторая производная $f''(x) = 12(x-2)(x-4)$ является параболой с ветвями вверх.
При $x < 2$ (например, $x=0$), $f''(0) = 96 > 0$. График вогнут вверх.
При $2 < x < 4$ (например, $x=3$), $f''(3) = 12(3^2) - 72(3) + 96 = 108 - 216 + 96 = -12 < 0$. График вогнут вниз.
При $x > 4$ (например, $x=5$), $f''(5) = 12(5^2) - 72(5) + 96 = 300 - 360 + 96 = 36 > 0$. График вогнут вверх.
Знак меняется в обеих точках, значит, $x=2$ и $x=4$ являются абсциссами точек перегиба.

5. Найдем ординаты точек перегиба:
$f(2) = 2^4 - 12(2)^3 + 48(2)^2 + 3 = 16 - 12(8) + 48(4) + 3 = 16 - 96 + 192 + 3 = 115$
$f(4) = 4^4 - 12(4)^3 + 48(4)^2 + 3 = 256 - 12(64) + 48(16) + 3 = 256 - 768 + 768 + 3 = 259$
Точки перегиба: $(2, 115)$ и $(4, 259)$.

Ответ: $(2, 115)$, $(4, 259)$

3) $f(x) = x^3 e^{-4x}$

1. Находим первую производную, используя правило производной произведения:
$f'(x) = (x^3)'e^{-4x} + x^3(e^{-4x})' = 3x^2 e^{-4x} - 4x^3 e^{-4x} = e^{-4x}(3x^2 - 4x^3)$

2. Находим вторую производную:
$f''(x) = (e^{-4x}(3x^2 - 4x^3))' = (e^{-4x})'(3x^2 - 4x^3) + e^{-4x}(3x^2 - 4x^3)'$
$f''(x) = -4e^{-4x}(3x^2 - 4x^3) + e^{-4x}(6x - 12x^2) = e^{-4x}(-12x^2 + 16x^3 + 6x - 12x^2)$
$f''(x) = e^{-4x}(16x^3 - 24x^2 + 6x) = 2x e^{-4x}(8x^2 - 12x + 3)$

3. Приравниваем вторую производную к нулю. Так как $e^{-4x} > 0$ для любого $x$, то:
$2x(8x^2 - 12x + 3) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$ или $8x^2 - 12x + 3 = 0$.
Решаем квадратное уравнение: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 144 - 96 = 48 = 16 \cdot 3$
$x_{2,3} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{16} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{16} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{4}$
Абсциссы возможных точек перегиба: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{3 - \sqrt{3}}{4}$, $x_3 = \frac{3 + \sqrt{3}}{4}$.

4. Проверим знаки $f''(x)$ на интервалах. Знак $f''(x)$ совпадает со знаком выражения $x(8x^2 - 12x + 3)$.
- При $x < 0$, $f''(x) < 0$ (вогнута вниз).
- При $0 < x < \frac{3 - \sqrt{3}}{4}$, $f''(x) > 0$ (вогнута вверх).
- При $\frac{3 - \sqrt{3}}{4} < x < \frac{3 + \sqrt{3}}{4}$, $f''(x) < 0$ (вогнута вниз).
- При $x > \frac{3 + \sqrt{3}}{4}$, $f''(x) > 0$ (вогнута вверх).
Вторая производная меняет знак в каждой из трех точек.

5. Найдем ординаты точек перегиба:
$f(0) = 0^3 e^0 = 0$. Точка: $(0, 0)$.
$f(\frac{3 - \sqrt{3}}{4}) = (\frac{3 - \sqrt{3}}{4})^3 e^{-4(\frac{3 - \sqrt{3}}{4})} = (\frac{3 - \sqrt{3}}{4})^3 e^{\sqrt{3}-3}$.
$f(\frac{3 + \sqrt{3}}{4}) = (\frac{3 + \sqrt{3}}{4})^3 e^{-4(\frac{3 + \sqrt{3}}{4})} = (\frac{3 + \sqrt{3}}{4})^3 e^{-3-\sqrt{3}}$.

Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{3 - \sqrt{3}}{4}, (\frac{3 - \sqrt{3}}{4})^3 e^{\sqrt{3}-3})$, $(\frac{3 + \sqrt{3}}{4}, (\frac{3 + \sqrt{3}}{4})^3 e^{-3-\sqrt{3}})$

4) $f(x) = x^2 \ln x$

1. Область определения функции: $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным. $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Находим первую производную:
$f'(x) = (x^2)' \ln x + x^2 (\ln x)' = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$

3. Находим вторую производную:
$f''(x) = (2x \ln x + x)' = (2x)' \ln x + 2x (\ln x)' + 1 = 2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2 \ln x + 2 + 1 = 2 \ln x + 3$

4. Приравниваем вторую производную к нулю:
$2 \ln x + 3 = 0$
$2 \ln x = -3$
$\ln x = -\frac{3}{2}$
$x = e^{-3/2}$

5. Проверим знак второй производной на интервалах $(0; e^{-3/2})$ и $(e^{-3/2}; +\infty)$.
При $0 < x < e^{-3/2}$ (например, $x = e^{-2}$), $\ln x < -3/2$, поэтому $f''(x) = 2 \ln x + 3 < 0$. График вогнут вниз.
При $x > e^{-3/2}$ (например, $x=1$), $\ln x > -3/2$, поэтому $f''(x) = 2 \ln(1) + 3 = 3 > 0$. График вогнут вверх.
Так как знак меняется, $x = e^{-3/2}$ является абсциссой точки перегиба.

6. Найдем ординату точки перегиба:
$f(e^{-3/2}) = (e^{-3/2})^2 \ln(e^{-3/2}) = e^{-3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2e^3}$
Точка перегиба имеет координаты $(e^{-3/2}, -\frac{3}{2e^3})$.

Ответ: $(e^{-3/2}, -\frac{3}{2e^3})$