Страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

303. Найти вторую производную функции:

1) $f(x) = \sin^2 x;$ 2) $f(x) = x^3 \sin x;$

3) $f(x) = x^4 + 3x^2 - x + 1;$ 4) $f(x) = x^4 - 3x^3 + 5x + 6;$

5) $f(x) = e^{\sin x};$ 6) $f(x) = \ln(x^2 + 1).$

1) f(x) = sin²x;

Для нахождения второй производной, сначала найдем первую производную функции. Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = (\sin^2 x)' = 2 \sin x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cos x$

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $, упростим выражение для первой производной:

$f'(x) = \sin(2x)$

Теперь найдем вторую производную, продифференцировав первую производную:

$f''(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2 \cos(2x)$

Ответ: $f''(x) = 2 \cos(2x)$

2) f(x) = x³sin x;

Находим первую производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^3)' \sin x + x^3 (\sin x)' = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

Находим вторую производную, снова применяя правило произведения к каждому слагаемому:

$f''(x) = (3x^2 \sin x + x^3 \cos x)' = (3x^2 \sin x)' + (x^3 \cos x)'$

$(3x^2 \sin x)' = (3x^2)' \sin x + 3x^2 (\sin x)' = 6x \sin x + 3x^2 \cos x$

$(x^3 \cos x)' = (x^3)' \cos x + x^3 (\cos x)' = 3x^2 \cos x + x^3 (-\sin x) = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x$

Складываем полученные выражения:

$f''(x) = (6x \sin x + 3x^2 \cos x) + (3x^2 \cos x - x^3 \sin x)$

Группируем подобные члены:

$f''(x) = (6x - x^3) \sin x + (3x^2 + 3x^2) \cos x = (6x - x^3) \sin x + 6x^2 \cos x$

Ответ: $f''(x) = (6x - x^3) \sin x + 6x^2 \cos x$

3) f(x) = x⁴ + 3x² - x + 1;

Находим первую производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = 4x^{4-1} + 3 \cdot 2x^{2-1} - 1 + 0 = 4x^3 + 6x - 1$

Находим вторую производную, дифференцируя первую производную:

$f''(x) = (4x^3 + 6x - 1)' = 4 \cdot 3x^{3-1} + 6 - 0 = 12x^2 + 6$

Ответ: $f''(x) = 12x^2 + 6$

4) f(x) = x⁴ - 3x³ + 5x + 6;

Находим первую производную, используя правило дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = 4x^{4-1} - 3 \cdot 3x^{3-1} + 5 + 0 = 4x^3 - 9x^2 + 5$

Находим вторую производную, дифференцируя первую производную:

$f''(x) = (4x^3 - 9x^2 + 5)' = 4 \cdot 3x^{3-1} - 9 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 12x^2 - 18x$

Ответ: $f''(x) = 12x^2 - 18x$

5) f(x) = e^{sin x};

Находим первую производную, используя цепное правило. Пусть $u = \sin x$:

$f'(x) = (e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cdot (\sin x)' = e^{\sin x} \cos x$

Находим вторую производную, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f''(x) = (e^{\sin x} \cos x)' = (e^{\sin x})' \cos x + e^{\sin x} (\cos x)'$

Мы уже знаем, что $(e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cos x$, а $(\cos x)' = -\sin x$. Подставляем:

$f''(x) = (e^{\sin x} \cos x) \cos x + e^{\sin x} (-\sin x) = e^{\sin x} \cos^2 x - e^{\sin x} \sin x$

Выносим общий множитель $e^{\sin x}$ за скобки:

$f''(x) = e^{\sin x} (\cos^2 x - \sin x)$

Ответ: $f''(x) = e^{\sin x}(\cos^2 x - \sin x)$

6) f(x) = ln(x² + 1).

Находим первую производную, используя цепное правило. Пусть $u = x^2 + 1$:

$f'(x) = (\ln(x^2+1))' = \frac{1}{x^2+1} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{x^2+1}$

Находим вторую производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f''(x) = \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)' = \frac{(2x)'(x^2+1) - 2x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}$

Вычисляем производные в числителе:

$f''(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2 - 4x^2}{(x^2+1)^2}$

Упрощаем выражение:

$f''(x) = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

Ответ: $f''(x) = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

304. Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз функции:

1) $f(x) = x^5 - 10x^2 + 3x + 1;$

2) $f(x) = x^4 - 6x^2 + 3x + 4.$

1) Для нахождения интервалов выпуклости функции $f(x) = x^5 - 10x^2 + 3x + 1$ необходимо исследовать знак ее второй производной. Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Сначала найдем первую, а затем вторую производную функции:
$f'(x) = (x^5 - 10x^2 + 3x + 1)' = 5x^4 - 20x + 3$
$f''(x) = (5x^4 - 20x + 3)' = 20x^3 - 20$

Найдем точки возможного перегиба, приравняв вторую производную к нулю:
$20x^3 - 20 = 0$
$20(x^3 - 1) = 0$
$x^3 = 1$
$x = 1$

Точка $x=1$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак $f''(x)$ на каждом из них. Если $f''(x) < 0$, функция выпукла вверх (вогнутая). Если $f''(x) > 0$, функция выпукла вниз (выпуклая).

• На интервале $(-\infty, 1)$, выбрав пробную точку $x=0$, получаем $f''(0) = 20(0)^3 - 20 = -20 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция выпукла вверх.

• На интервале $(1, +\infty)$, выбрав пробную точку $x=2$, получаем $f''(2) = 20(2)^3 - 20 = 20 \cdot 8 - 20 = 140 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на интервале $(-\infty, 1)$, выпукла вниз на интервале $(1, +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = x^4 - 6x^2 + 3x + 4$ проведем аналогичное исследование. Область определения — $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем производные:
$f'(x) = (x^4 - 6x^2 + 3x + 4)' = 4x^3 - 12x + 3$
$f''(x) = (4x^3 - 12x + 3)' = 12x^2 - 12$

Найдем точки возможного перегиба, приравняв вторую производную к нулю:
$12x^2 - 12 = 0$
$12(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$

Точки $x=-1$ и $x=1$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак $f''(x)$ на каждом из них.

• На интервале $(-\infty, -1)$, например при $x=-2$: $f''(-2) = 12((-2)^2 - 1) = 12(3) = 36 > 0$. Следовательно, функция выпукла вниз.

• На интервале $(-1, 1)$, например при $x=0$: $f''(0) = 12(0^2 - 1) = -12 < 0$. Следовательно, функция выпукла вверх.

• На интервале $(1, +\infty)$, например при $x=2$: $f''(2) = 12(2^2 - 1) = 12(3) = 36 > 0$. Следовательно, функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на интервале $(-1, 1)$, выпукла вниз на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$.

1) $f(x) = \cos x, -\pi < x < \pi;$

2) $f(x) = x^5 - 80x^2;$

3) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x;$

4) $f(x) = \sin x - \frac{1}{4} \sin 2x, -\pi < x < \pi.$

1) $f(x) = \cos x, -\pi < x < \pi$

Чтобы найти точки перегиба функции, необходимо найти ее вторую производную. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, являются кандидатами в точки перегиба. Если при переходе через такую точку знак второй производной меняется, то это точка перегиба.

1. Находим первую производную функции:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

2. Находим вторую производную:

$f''(x) = (-\sin x)' = -\cos x$

3. Приравниваем вторую производную к нулю, чтобы найти возможные точки перегиба:

$f''(x) = 0 \implies -\cos x = 0 \implies \cos x = 0$

На заданном интервале $(-\pi, \pi)$ решениями этого уравнения являются $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

4. Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые точки $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$ разбивают область определения $(-\pi, \pi)$: $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}, \pi)$.

• На интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ выберем точку $x = -\frac{2\pi}{3}$. $f''(-\frac{2\pi}{3}) = -\cos(-\frac{2\pi}{3}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} > 0$. График функции вогнут вверх.
• На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ выберем точку $x = 0$. $f''(0) = -\cos(0) = -1 < 0$. График функции вогнут вниз (выпуклый).
• На интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ выберем точку $x = \frac{2\pi}{3}$. $f''(\frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{2\pi}{3}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} > 0$. График функции вогнут вверх.

Так как в точках $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ вторая производная меняет знак, то это и есть точки перегиба. Найдем ординаты этих точек:

$f(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$

$f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Точки перегиба на графике: $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Ответ: $x_1 = -\frac{\pi}{2}$, $x_2 = \frac{\pi}{2}$.

2) $f(x) = x^5 - 80x^2$

1. Находим первую производную:

$f'(x) = (x^5 - 80x^2)' = 5x^4 - 160x$

2. Находим вторую производную:

$f''(x) = (5x^4 - 160x)' = 20x^3 - 160$

3. Приравниваем вторую производную к нулю:

$f''(x) = 0 \implies 20x^3 - 160 = 0 \implies 20x^3 = 160 \implies x^3 = 8 \implies x = 2$.

4. Проверяем знак второй производной на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$.

• На интервале $(-\infty, 2)$: возьмем $x=0$. $f''(0) = 20(0)^3 - 160 = -160 < 0$. График вогнут вниз.
• На интервале $(2, \infty)$: возьмем $x=3$. $f''(3) = 20(3)^3 - 160 = 20 \cdot 27 - 160 = 540 - 160 = 380 > 0$. График вогнут вверх.

Знак второй производной меняется при переходе через точку $x=2$, следовательно, это точка перегиба. Найдем ординату этой точки:

$f(2) = 2^5 - 80(2^2) = 32 - 80 \cdot 4 = 32 - 320 = -288$.

Точка перегиба на графике: $(2, -288)$.

Ответ: $x=2$.

3) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$

1. Находим первую производную:

$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + x)' = 3x^2 - 4x + 1$

2. Находим вторую производную:

$f''(x) = (3x^2 - 4x + 1)' = 6x - 4$

3. Приравниваем вторую производную к нулю:

$f''(x) = 0 \implies 6x - 4 = 0 \implies 6x = 4 \implies x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

4. Проверяем знак второй производной на интервалах $(-\infty, \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}, \infty)$.

• На интервале $(-\infty, \frac{2}{3})$: возьмем $x=0$. $f''(0) = 6(0) - 4 = -4 < 0$. График вогнут вниз.
• На интервале $(\frac{2}{3}, \infty)$: возьмем $x=1$. $f''(1) = 6(1) - 4 = 2 > 0$. График вогнут вверх.

Знак второй производной меняется при переходе через точку $x=\frac{2}{3}$, следовательно, это точка перегиба. Найдем ординату этой точки:

$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 2(\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{27} - 2(\frac{4}{9}) + \frac{2}{3} = \frac{8}{27} - \frac{24}{27} + \frac{18}{27} = \frac{8 - 24 + 18}{27} = \frac{2}{27}$.

Точка перегиба на графике: $(\frac{2}{3}, \frac{2}{27})$.

Ответ: $x=\frac{2}{3}$.

4) $f(x) = \sin x - \frac{1}{4} \sin 2x, -\pi < x < \pi$

1. Находим первую производную:

$f'(x) = (\sin x - \frac{1}{4} \sin 2x)' = \cos x - \frac{1}{4} \cos(2x) \cdot 2 = \cos x - \frac{1}{2}\cos 2x$

2. Находим вторую производную:

$f''(x) = (\cos x - \frac{1}{2}\cos 2x)' = -\sin x - \frac{1}{2}(-\sin(2x) \cdot 2) = -\sin x + \sin 2x$

3. Приравниваем вторую производную к нулю:

$f''(x) = 0 \implies \sin 2x - \sin x = 0$

Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x - \sin x = 0$

$\sin x (2\cos x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

$\sin x = 0 \quad$ или $\quad 2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$

На заданном интервале $(-\pi, \pi)$ находим решения:

Для $\sin x = 0$ решением является $x=0$.

Для $\cos x = \frac{1}{2}$ решениями являются $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

Получили три возможные точки перегиба: $x=0, x=-\frac{\pi}{3}, x=\frac{\pi}{3}$.

4. Проверяем знак второй производной $f''(x) = \sin x (2\cos x - 1)$ на интервалах $(-\pi, -\frac{\pi}{3})$, $(-\frac{\pi}{3}, 0)$, $(0, \frac{\pi}{3})$ и $(\frac{\pi}{3}, \pi)$.

• На интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{3})$: возьмем $x = -\frac{\pi}{2}$. $f''(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2})(2\cos(-\frac{\pi}{2}) - 1) = (-1)(0 - 1) = 1 > 0$. График вогнут вверх.
• На интервале $(-\frac{\pi}{3}, 0)$: возьмем $x = -\frac{\pi}{4}$. $\sin(-\frac{\pi}{4}) < 0$, $2\cos(-\frac{\pi}{4}) - 1 = \sqrt{2} - 1 > 0$. $f''(-\frac{\pi}{4}) < 0$. График вогнут вниз.
• На интервале $(0, \frac{\pi}{3})$: возьмем $x = \frac{\pi}{4}$. $\sin(\frac{\pi}{4}) > 0$, $2\cos(\frac{\pi}{4}) - 1 = \sqrt{2} - 1 > 0$. $f''(\frac{\pi}{4}) > 0$. График вогнут вверх.
• На интервале $(\frac{\pi}{3}, \pi)$: возьмем $x = \frac{\pi}{2}$. $f''(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2})(2\cos(\frac{\pi}{2}) - 1) = 1(0 - 1) = -1 < 0$. График вогнут вниз.

Знак второй производной меняется в каждой из точек $x=-\frac{\pi}{3}, x=0, x=\frac{\pi}{3}$, значит, все они являются точками перегиба. Найдем ординаты этих точек:

$f(-\frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{4}\sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8} = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$

$f(0) = \sin(0) - \frac{1}{4}\sin(0) = 0$

$f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{4}\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Точки перегиба на графике: $(-\frac{\pi}{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{8})$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{3}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$.

Ответ: $x_1 = -\frac{\pi}{3}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \frac{\pi}{3}$.

306. Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз функции:

1) $f(x) = (x^2 - 3x + 2)e^x$;

2) $f(x) = x^3 - 6x \ln x.$

1) Для нахождения интервалов выпуклости вверх и выпуклости вниз функции $f(x) = (x^2 - 3x + 2)e^x$ необходимо исследовать знак ее второй производной.

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как и многочлен, и показательная функция определены для всех действительных чисел.

Найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^2 - 3x + 2)'e^x + (x^2 - 3x + 2)(e^x)' = (2x - 3)e^x + (x^2 - 3x + 2)e^x$.

Вынесем $e^x$ за скобки и упростим выражение:

$f'(x) = (2x - 3 + x^2 - 3x + 2)e^x = (x^2 - x - 1)e^x$.

Теперь найдем вторую производную, снова применяя правило произведения:

$f''(x) = (x^2 - x - 1)'e^x + (x^2 - x - 1)(e^x)' = (2x - 1)e^x + (x^2 - x - 1)e^x$.

Упростим выражение для второй производной:

$f''(x) = (2x - 1 + x^2 - x - 1)e^x = (x^2 + x - 2)e^x$.

Приравняем вторую производную к нулю для нахождения возможных точек перегиба:

$f''(x) = 0 \Rightarrow (x^2 + x - 2)e^x = 0$.

Поскольку $e^x > 0$ для любого действительного $x$, то равенство возможно только если $x^2 + x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак $f''(x)$ на каждом из этих интервалов. Знак $f''(x)$ совпадает со знаком квадратного трехчлена $x^2 + x - 2$, который представляет собой параболу с ветвями вверх.

- На интервале $(-\infty, -2)$, $f''(x) > 0$. Следовательно, функция выпукла вниз.

- На интервале $(-2, 1)$, $f''(x) < 0$. Следовательно, функция выпукла вверх.

- На интервале $(1, +\infty)$, $f''(x) > 0$. Следовательно, функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на интервале $(-2, 1)$; выпукла вниз на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(1, +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 6x \ln x$.

Область определения функции задается условием для натурального логарифма: $x > 0$. Таким образом, $D(f) = (0, +\infty)$.

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (x^3)' - (6x \ln x)' = 3x^2 - ( (6x)'\ln x + 6x(\ln x)' ) = 3x^2 - (6\ln x + 6x \cdot \frac{1}{x}) = 3x^2 - 6\ln x - 6$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (3x^2 - 6\ln x - 6)' = 6x - 6 \cdot \frac{1}{x} = 6x - \frac{6}{x}$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

$f''(x) = 0 \Rightarrow 6x - \frac{6}{x} = 0$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{6x^2 - 6}{x} = 0$.

Так как $x \in (0, +\infty)$, то $x \neq 0$. Решаем уравнение $6x^2 - 6 = 0$, откуда $x^2 = 1$.

Учитывая область определения $x > 0$, получаем единственный корень $x = 1$.

Эта точка делит область определения $(0, +\infty)$ на два интервала: $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак $f''(x)$ на каждом из них.

- На интервале $(0, 1)$, выберем пробную точку $x=0.5$. $f''(0.5) = 6(0.5) - \frac{6}{0.5} = 3 - 12 = -9 < 0$. Следовательно, функция выпукла вверх.

- На интервале $(1, +\infty)$, выберем пробную точку $x=2$. $f''(2) = 6(2) - \frac{6}{2} = 12 - 3 = 9 > 0$. Следовательно, функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на интервале $(0, 1)$; выпукла вниз на интервале $(1, +\infty)$.

307. Найти точки перегиба функции:

1) $f(x) = 12x^3 - 24x^2 + x + 5;$

2) $f(x) = x^4 - 12x^3 + 48x^2 + 3;$

3) $f(x) = x^3 e^{-4x};$

4) $f(x) = x^2 \ln x.$

Для нахождения точек перегиба функции необходимо найти вторую производную функции, приравнять ее к нулю, найти корни полученного уравнения (это будут абсциссы возможных точек перегиба) и проверить, меняет ли вторая производная знак при переходе через эти точки. Если знак меняется, то точка является точкой перегиба.

1) $f(x) = 12x^3 - 24x^2 + x + 5$

1. Находим первую производную функции:
$f'(x) = (12x^3 - 24x^2 + x + 5)' = 36x^2 - 48x + 1$

2. Находим вторую производную функции:
$f''(x) = (36x^2 - 48x + 1)' = 72x - 48$

3. Приравниваем вторую производную к нулю для нахождения абсциссы возможной точки перегиба:
$72x - 48 = 0$
$72x = 48$
$x = \frac{48}{72} = \frac{2}{3}$

4. Проверим знак второй производной на интервалах $(-\infty; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; +\infty)$.
При $x < \frac{2}{3}$ (например, $x=0$), $f''(0) = 72 \cdot 0 - 48 = -48 < 0$. График функции вогнут вниз.
При $x > \frac{2}{3}$ (например, $x=1$), $f''(1) = 72 \cdot 1 - 48 = 24 > 0$. График функции вогнут вверх.
Так как при переходе через точку $x = \frac{2}{3}$ вторая производная меняет знак, эта точка является абсциссой точки перегиба.

5. Найдем ординату точки перегиба, подставив значение $x = \frac{2}{3}$ в исходную функцию:
$f(\frac{2}{3}) = 12(\frac{2}{3})^3 - 24(\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} + 5 = 12 \cdot \frac{8}{27} - 24 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} + 5 = \frac{32}{9} - \frac{96}{9} + \frac{6}{9} + \frac{45}{9} = \frac{32 - 96 + 6 + 45}{9} = \frac{-13}{9}$
Точка перегиба имеет координаты $(\frac{2}{3}, -\frac{13}{9})$.

Ответ: $(\frac{2}{3}, -\frac{13}{9})$

2) $f(x) = x^4 - 12x^3 + 48x^2 + 3$

1. Находим первую производную:
$f'(x) = (x^4 - 12x^3 + 48x^2 + 3)' = 4x^3 - 36x^2 + 96x$

2. Находим вторую производную:
$f''(x) = (4x^3 - 36x^2 + 96x)' = 12x^2 - 72x + 96$

3. Приравниваем вторую производную к нулю:
$12x^2 - 72x + 96 = 0$
Делим обе части на 12:
$x^2 - 6x + 8 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

4. Проверим знак второй производной на интервалах $(-\infty; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; +\infty)$. Вторая производная $f''(x) = 12(x-2)(x-4)$ является параболой с ветвями вверх.
При $x < 2$ (например, $x=0$), $f''(0) = 96 > 0$. График вогнут вверх.
При $2 < x < 4$ (например, $x=3$), $f''(3) = 12(3^2) - 72(3) + 96 = 108 - 216 + 96 = -12 < 0$. График вогнут вниз.
При $x > 4$ (например, $x=5$), $f''(5) = 12(5^2) - 72(5) + 96 = 300 - 360 + 96 = 36 > 0$. График вогнут вверх.
Знак меняется в обеих точках, значит, $x=2$ и $x=4$ являются абсциссами точек перегиба.

5. Найдем ординаты точек перегиба:
$f(2) = 2^4 - 12(2)^3 + 48(2)^2 + 3 = 16 - 12(8) + 48(4) + 3 = 16 - 96 + 192 + 3 = 115$
$f(4) = 4^4 - 12(4)^3 + 48(4)^2 + 3 = 256 - 12(64) + 48(16) + 3 = 256 - 768 + 768 + 3 = 259$
Точки перегиба: $(2, 115)$ и $(4, 259)$.

Ответ: $(2, 115)$, $(4, 259)$

3) $f(x) = x^3 e^{-4x}$

1. Находим первую производную, используя правило производной произведения:
$f'(x) = (x^3)'e^{-4x} + x^3(e^{-4x})' = 3x^2 e^{-4x} - 4x^3 e^{-4x} = e^{-4x}(3x^2 - 4x^3)$

2. Находим вторую производную:
$f''(x) = (e^{-4x}(3x^2 - 4x^3))' = (e^{-4x})'(3x^2 - 4x^3) + e^{-4x}(3x^2 - 4x^3)'$
$f''(x) = -4e^{-4x}(3x^2 - 4x^3) + e^{-4x}(6x - 12x^2) = e^{-4x}(-12x^2 + 16x^3 + 6x - 12x^2)$
$f''(x) = e^{-4x}(16x^3 - 24x^2 + 6x) = 2x e^{-4x}(8x^2 - 12x + 3)$

3. Приравниваем вторую производную к нулю. Так как $e^{-4x} > 0$ для любого $x$, то:
$2x(8x^2 - 12x + 3) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$ или $8x^2 - 12x + 3 = 0$.
Решаем квадратное уравнение: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 144 - 96 = 48 = 16 \cdot 3$
$x_{2,3} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{16} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{16} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{4}$
Абсциссы возможных точек перегиба: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{3 - \sqrt{3}}{4}$, $x_3 = \frac{3 + \sqrt{3}}{4}$.

4. Проверим знаки $f''(x)$ на интервалах. Знак $f''(x)$ совпадает со знаком выражения $x(8x^2 - 12x + 3)$.
- При $x < 0$, $f''(x) < 0$ (вогнута вниз).
- При $0 < x < \frac{3 - \sqrt{3}}{4}$, $f''(x) > 0$ (вогнута вверх).
- При $\frac{3 - \sqrt{3}}{4} < x < \frac{3 + \sqrt{3}}{4}$, $f''(x) < 0$ (вогнута вниз).
- При $x > \frac{3 + \sqrt{3}}{4}$, $f''(x) > 0$ (вогнута вверх).
Вторая производная меняет знак в каждой из трех точек.

5. Найдем ординаты точек перегиба:
$f(0) = 0^3 e^0 = 0$. Точка: $(0, 0)$.
$f(\frac{3 - \sqrt{3}}{4}) = (\frac{3 - \sqrt{3}}{4})^3 e^{-4(\frac{3 - \sqrt{3}}{4})} = (\frac{3 - \sqrt{3}}{4})^3 e^{\sqrt{3}-3}$.
$f(\frac{3 + \sqrt{3}}{4}) = (\frac{3 + \sqrt{3}}{4})^3 e^{-4(\frac{3 + \sqrt{3}}{4})} = (\frac{3 + \sqrt{3}}{4})^3 e^{-3-\sqrt{3}}$.

Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{3 - \sqrt{3}}{4}, (\frac{3 - \sqrt{3}}{4})^3 e^{\sqrt{3}-3})$, $(\frac{3 + \sqrt{3}}{4}, (\frac{3 + \sqrt{3}}{4})^3 e^{-3-\sqrt{3}})$

4) $f(x) = x^2 \ln x$

1. Область определения функции: $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным. $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Находим первую производную:
$f'(x) = (x^2)' \ln x + x^2 (\ln x)' = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$

3. Находим вторую производную:
$f''(x) = (2x \ln x + x)' = (2x)' \ln x + 2x (\ln x)' + 1 = 2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2 \ln x + 2 + 1 = 2 \ln x + 3$

4. Приравниваем вторую производную к нулю:
$2 \ln x + 3 = 0$
$2 \ln x = -3$
$\ln x = -\frac{3}{2}$
$x = e^{-3/2}$

5. Проверим знак второй производной на интервалах $(0; e^{-3/2})$ и $(e^{-3/2}; +\infty)$.
При $0 < x < e^{-3/2}$ (например, $x = e^{-2}$), $\ln x < -3/2$, поэтому $f''(x) = 2 \ln x + 3 < 0$. График вогнут вниз.
При $x > e^{-3/2}$ (например, $x=1$), $\ln x > -3/2$, поэтому $f''(x) = 2 \ln(1) + 3 = 3 > 0$. График вогнут вверх.
Так как знак меняется, $x = e^{-3/2}$ является абсциссой точки перегиба.

6. Найдем ординату точки перегиба:
$f(e^{-3/2}) = (e^{-3/2})^2 \ln(e^{-3/2}) = e^{-3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2e^3}$
Точка перегиба имеет координаты $(e^{-3/2}, -\frac{3}{2e^3})$.

Ответ: $(e^{-3/2}, -\frac{3}{2e^3})$