Страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Построить график функции (308–309).

308. 1) $y = x^3 - 3x^2 + 4$;

2) $y = 2 + 3x - x^3$;

3) $y = -x^3 + 4x^2 - 4x$;

4) $y = x^3 + 6x^2 + 9x$.

1) $y = x^3 - 3x^2 + 4$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 4 = 4$. Точка пересечения $(0; 4)$.
- С осью OX: при $y=0$ имеем $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$. Можно заметить, что $x=-1$ является корнем: $(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$. Также $x=2$ является корнем: $2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$. Разложив многочлен на множители, получаем: $x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x-2)^2$. Таким образом, точки пересечения с осью OX: $(-1; 0)$ и $(2; 0)$. В точке $(2; 0)$ график касается оси абсцисс, так как корень $x=2$ имеет кратность 2.

3. Четность и периодичность.
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 4 = -x^3 - 3x^2 + 4$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Функция непериодическая.

4. Интервалы монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 3x^2 + 4)' = 3x^2 - 6x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x-2)=0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=2$.
Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
- На интервале $(-\infty; 0)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(0; 2)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
В точке $x=0$ происходит смена знака производной с «+» на «-», это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 4$. Координаты точки максимума $(0; 4)$.
В точке $x=2$ происходит смена знака производной с «-» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 0$. Координаты точки минимума $(2; 0)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$.
Найдем точки возможного перегиба: $6x - 6 = 0 \implies x=1$.
Определим знаки второй производной:
- На интервале $(-\infty; 1)$ вторая производная $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
- На интервале $(1; +\infty)$ вторая производная $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
В точке $x=1$ меняется направление выпуклости, значит, это точка перегиба. $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4 = 2$. Координаты точки перегиба $(1; 2)$.

Ответ: График функции $y = x^3 - 3x^2 + 4$ — кубическая парабола. Ключевые точки для построения: пересечение с осью OY в $(0; 4)$, пересечение с осью OX в $(-1; 0)$ и касание в $(2; 0)$. Локальный максимум в точке $(0; 4)$, локальный минимум в точке $(2; 0)$. Точка перегиба — $(1; 2)$. Функция возрастает на $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$ и убывает на $(0; 2)$.

2) $y = 2 + 3x - x^3$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция является многочленом.

2. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = 2 + 3 \cdot 0 - 0^3 = 2$. Точка пересечения $(0; 2)$.
- С осью OX: при $y=0$ имеем $-x^3 + 3x + 2 = 0$ или $x^3 - 3x - 2 = 0$. Подбором находим корни $x=-1$ (касание, так как $x=-1$ — корень кратности 2) и $x=2$. Разложение: $(x+1)^2(x-2)=0$. Точки пересечения: $(-1; 0)$ и $(2; 0)$.

3. Четность и периодичность.
$y(-x) = 2 + 3(-x) - (-x)^3 = 2 - 3x + x^3$. Функция общего вида. Непериодическая.

4. Интервалы монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $y' = (2 + 3x - x^3)' = 3 - 3x^2 = 3(1-x^2)$.
Критические точки: $3(1-x^2) = 0 \implies x_1=-1, x_2=1$.
- На $(-\infty; -1)$: $y' < 0$, функция убывает.
- На $(-1; 1)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- На $(1; +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает.
Точка $x=-1$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = 2 + 3(-1) - (-1)^3 = 0$. Точка минимума $(-1; 0)$.
Точка $x=1$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 2 + 3(1) - 1^3 = 4$. Точка максимума $(1; 4)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Вторая производная: $y'' = (3 - 3x^2)' = -6x$.
Точка возможного перегиба: $-6x = 0 \implies x=0$.
- На $(-\infty; 0)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).
- На $(0; +\infty)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
Точка $x=0$ — точка перегиба. $y(0)=2$. Координаты точки перегиба $(0; 2)$.

Ответ: График функции $y = 2 + 3x - x^3$ — кубическая парабола. Ключевые точки: пересечение с OY в $(0; 2)$, касание оси OX в $(-1; 0)$ и пересечение в $(2; 0)$. Локальный минимум в $(-1; 0)$, локальный максимум в $(1; 4)$. Точка перегиба — $(0; 2)$. Функция убывает на $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ и возрастает на $(-1; 1)$.

3) $y = -x^3 + 4x^2 - 4x$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Вынесем $-x$ за скобки: $y = -x(x^2 - 4x + 4) = -x(x-2)^2$.
- С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.
- С осью OX: при $y=0$, $-x(x-2)^2=0$. Корни $x=0$ и $x=2$ (касание). Точки: $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

3. Четность и периодичность.
$y(-x) = -(-x)^3 + 4(-x)^2 - 4(-x) = x^3 + 4x^2 + 4x$. Функция общего вида. Непериодическая.

4. Интервалы монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $y' = -3x^2 + 8x - 4$.
Критические точки: $-3x^2 + 8x - 4 = 0 \implies 3x^2 - 8x + 4 = 0$. Дискриминант $D = 64 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16$. Корни $x_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{6}$, т.е. $x_1 = 2/3$, $x_2=2$.
- На $(-\infty; 2/3)$: $y' < 0$, функция убывает.
- На $(2/3; 2)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- На $(2; +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает.
Точка $x=2/3$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(2/3) = -(2/3)^3 + 4(2/3)^2 - 4(2/3) = -8/27 + 16/9 - 8/3 = -32/27$. Точка минимума $(2/3; -32/27)$.
Точка $x=2$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(2) = -2(2-2)^2 = 0$. Точка максимума $(2; 0)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Вторая производная: $y'' = (-3x^2 + 8x - 4)' = -6x + 8$.
Точка возможного перегиба: $-6x + 8 = 0 \implies x=4/3$.
- На $(-\infty; 4/3)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- На $(4/3; +\infty)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
Точка $x=4/3$ — точка перегиба. $y(4/3) = -(4/3)(4/3-2)^2 = -4/3(-2/3)^2 = -16/27$. Точка перегиба $(4/3; -16/27)$.

Ответ: График функции $y = -x^3 + 4x^2 - 4x$ — кубическая парабола. Пересекает оси в точке $(0; 0)$ и касается оси OX в точке $(2; 0)$. Локальный минимум в $(2/3; -32/27)$, локальный максимум в $(2; 0)$. Точка перегиба — $(4/3; -16/27)$. Функция убывает на $(-\infty; 2/3) \cup (2; +\infty)$ и возрастает на $(2/3; 2)$.

4) $y = x^3 + 6x^2 + 9x$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Разложим на множители: $y = x(x^2 + 6x + 9) = x(x+3)^2$.
- С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.
- С осью OX: при $y=0$, $x(x+3)^2=0$. Корни $x=0$ и $x=-3$ (касание). Точки: $(0; 0)$ и $(-3; 0)$.

3. Четность и периодичность.
$y(-x) = (-x)^3 + 6(-x)^2 + 9(-x) = -x^3 + 6x^2 - 9x$. Функция общего вида. Непериодическая.

4. Интервалы монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $y' = 3x^2 + 12x + 9 = 3(x^2+4x+3) = 3(x+1)(x+3)$.
Критические точки: $x_1=-3, x_2=-1$.
- На $(-\infty; -3)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- На $(-3; -1)$: $y' < 0$, функция убывает.
- На $(-1; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
Точка $x=-3$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(-3) = -3(-3+3)^2 = 0$. Точка максимума $(-3; 0)$.
Точка $x=-1$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1+6-9=-4$. Точка минимума $(-1; -4)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Вторая производная: $y'' = (3x^2 + 12x + 9)' = 6x + 12$.
Точка возможного перегиба: $6x + 12 = 0 \implies x=-2$.
- На $(-\infty; -2)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- На $(-2; +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
Точка $x=-2$ — точка перегиба. $y(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 + 9(-2) = -8+24-18=-2$. Точка перегиба $(-2; -2)$.

Ответ: График функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x$ — кубическая парабола. Касается оси OX в точке $(-3; 0)$ и пересекает оси в начале координат $(0; 0)$. Локальный максимум в $(-3; 0)$, локальный минимум в $(-1; -4)$. Точка перегиба — $(-2; -2)$. Функция возрастает на $(-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$ и убывает на $(-3; -1)$.

309. 1) $y = x^4 - 2x^2 + 2;$

2) $y = \frac{1}{9} x^3 (x + 4);$

3) $y = \frac{1}{5} x^3 (8 - 3x);$

4) $y = 6x^4 - 4x^6.$

1) $y = x^4 - 2x^2 + 2$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (x^4 - 2x^2 + 2)' = 4x^3 - 4x$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале:

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x = -2$, $y'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1; 0)$, например $x = -0.5$, $y'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0; 1)$, например $x = 0.5$, $y'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$, $y'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 > 0$. Функция возрастает.

5. Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.
• Функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.

6. Точки экстремума:

• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$.
• В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 2 = 2$.
• В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$.

Ответ: функция возрастает на $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$; $x_{min} = -1$, $y_{min} = 1$; $x_{max} = 0$, $y_{max} = 2$; $x_{min} = 1$, $y_{min} = 1$.

2) $y = \frac{1}{9}x^3(x + 4)$

Раскроем скобки для удобства дифференцирования: $y = \frac{1}{9}x^4 + \frac{4}{9}x^3$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (\frac{1}{9}x^4 + \frac{4}{9}x^3)' = \frac{4}{9}x^3 + \frac{12}{9}x^2 = \frac{4}{9}x^3 + \frac{4}{3}x^2$.

3. Находим критические точки:

$\frac{4}{9}x^3 + \frac{4}{3}x^2 = 0$

$\frac{4}{9}x^2(x + 3) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.

4. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; +\infty)$. Определим знак производной:

• При $x \in (-\infty; -3)$, например $x = -4$, $y'(-4) = \frac{4}{9}(-4)^2(-4 + 3) = \frac{4}{9}(16)(-1) < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-3; 0)$, например $x = -1$, $y'(-1) = \frac{4}{9}(-1)^2(-1 + 3) = \frac{4}{9}(1)(2) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0; +\infty)$, например $x = 1$, $y'(1) = \frac{4}{9}(1)^2(1 + 3) = \frac{4}{9}(1)(4) > 0$. Функция возрастает.

5. Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$.
• Функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$.

6. Точки экстремума:

• В точке $x = -3$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-3) = \frac{1}{9}(-3)^3(-3 + 4) = \frac{1}{9}(-27)(1) = -3$.
• В точке $x = 0$ производная не меняет знак, поэтому $x=0$ не является точкой экстремума (это точка перегиба).

Ответ: функция возрастает на $[-3; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -3]$; $x_{min} = -3$, $y_{min} = -3$.

3) $y = \frac{1}{5}x^3(8 - 3x)$

Раскроем скобки: $y = \frac{8}{5}x^3 - \frac{3}{5}x^4$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (\frac{8}{5}x^3 - \frac{3}{5}x^4)' = \frac{24}{5}x^2 - \frac{12}{5}x^3$.

3. Находим критические точки:

$\frac{24}{5}x^2 - \frac{12}{5}x^3 = 0$

$\frac{12}{5}x^2(2 - x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

4. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$. Определим знак производной:

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x = -1$, $y'(-1) = \frac{12}{5}(-1)^2(2 - (-1)) = \frac{12}{5}(1)(3) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0; 2)$, например $x = 1$, $y'(1) = \frac{12}{5}(1)^2(2 - 1) = \frac{12}{5}(1)(1) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (2; +\infty)$, например $x = 3$, $y'(3) = \frac{12}{5}(3)^2(2 - 3) = \frac{12}{5}(9)(-1) < 0$. Функция убывает.

5. Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$.
• Функция убывает на промежутке $[2; +\infty)$.

6. Точки экстремума:

• В точке $x = 0$ производная не меняет знак, поэтому $x=0$ не является точкой экстремума (это точка перегиба).
• В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(2) = \frac{1}{5}(2)^3(8 - 3 \cdot 2) = \frac{8}{5}(8 - 6) = \frac{8}{5} \cdot 2 = \frac{16}{5} = 3.2$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty; 2]$, убывает на $[2; +\infty)$; $x_{max} = 2$, $y_{max} = 3.2$.

4) $y = 6x^4 - 4x^6$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (6x^4 - 4x^6)' = 24x^3 - 24x^5$.

3. Находим критические точки:

$24x^3 - 24x^5 = 0$

$24x^3(1 - x^2) = 0$

$24x^3(1 - x)(1 + x) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$. Определим знак производной:

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x = -2$, $y'(-2) = 24(-2)^3(1 - (-2)^2) = 24(-8)(-3) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-1; 0)$, например $x = -0.5$, $y'(-0.5) = 24(-0.5)^3(1 - (-0.5)^2) = 24(-0.125)(0.75) < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0; 1)$, например $x = 0.5$, $y'(0.5) = 24(0.5)^3(1 - 0.5^2) = 24(0.125)(0.75) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$, $y'(2) = 24(2)^3(1 - 2^2) = 24(8)(-3) < 0$. Функция убывает.

5. Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.
• Функция убывает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.

6. Точки экстремума:

• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = 6(-1)^4 - 4(-1)^6 = 6 - 4 = 2$.
• В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 6(0)^4 - 4(0)^6 = 0$.
• В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 6(1)^4 - 4(1)^6 = 6 - 4 = 2$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$, убывает на $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$; $x_{max} = -1$, $y_{max} = 2$; $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$; $x_{max} = 1$, $y_{max} = 2$.

310. Найти асимптоты графика функции:

1) $f(x) = \frac{x+1}{x}$;

2) $f(x) = \frac{x^2}{x+4}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 3}{x+2}$;

4) $f(x) = \frac{x^3}{(x+3)^2}$.

1) $f(x) = \frac{x+1}{x}$
Для нахождения асимптот графика функции исследуем ее поведение на границах области определения и на бесконечности.
Вертикальные асимптоты:
Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Вертикальная асимптота может существовать в точке разрыва $x=0$. Найдем односторонние пределы:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{x+1}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty$
$\lim_{x \to 0^+} \frac{x+1}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$
Поскольку пределы равны бесконечности, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты:
Найдем предел функции при $x \to \infty$ :
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+1}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(1 + 1/x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{1}{x}) = 1$.
Так как предел конечен и равен 1, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.
Наклонные асимптоты:
Поскольку существует горизонтальная асимптота, наклонных асимптот у графика функции нет.
Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=1$.

2) $f(x) = \frac{x^2}{x+4}$
Вертикальные асимптоты:
Знаменатель обращается в ноль при $x+4=0$, то есть при $x=-4$. При этом числитель $(-4)^2=16 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=-4$ является вертикальной асимптотой. Проверим односторонние пределы:
$\lim_{x \to -4^-} \frac{x^2}{x+4} = \frac{16}{0^-} = -\infty$
$\lim_{x \to -4^+} \frac{x^2}{x+4} = \frac{16}{0^+} = +\infty$
Горизонтальные асимптоты:
Степень числителя (2) больше степени знаменателя (1), поэтому горизонтальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты:
Поскольку степень числителя на единицу больше степени знаменателя, существует наклонная асимптота вида $y = kx + b$. Найдем коэффициенты $k$ и $b$:
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x+4)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2+4x} = 1$.
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2}{x+4} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(x+4)}{x+4} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x^2 - 4x}{x+4} = \lim_{x \to \infty} \frac{-4x}{x+4} = -4$.
Таким образом, прямая $y = x-4$ является наклонной асимптотой.
Ответ: вертикальная асимптота $x=-4$, наклонная асимптота $y=x-4$.

3) $f(x) = \frac{x^2-2x+3}{x+2}$
Вертикальные асимптоты:
Знаменатель обращается в ноль при $x+2=0$, то есть при $x=-2$. Значение числителя в этой точке: $(-2)^2 - 2(-2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты:
Степень числителя (2) больше степени знаменателя (1), поэтому горизонтальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты:
Ищем наклонную асимптоту вида $y = kx + b$, так как степень числителя на единицу больше степени знаменателя.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x+3}{x(x+2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x+3}{x^2+2x} = 1$.
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2-2x+3}{x+2} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x+3 - x(x+2)}{x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x+3 - x^2 - 2x}{x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-4x+3}{x+2} = -4$.
Таким образом, прямая $y = x-4$ является наклонной асимптотой.
Ответ: вертикальная асимптота $x=-2$, наклонная асимптота $y=x-4$.

4) $f(x) = \frac{x^3}{(x+3)^2}$
Вертикальные асимптоты:
Знаменатель $(x+3)^2$ обращается в ноль при $x=-3$. Значение числителя в этой точке: $(-3)^3 = -27 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=-3$ является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты:
Раскроем скобки в знаменателе: $f(x) = \frac{x^3}{x^2+6x+9}$. Степень числителя (3) больше степени знаменателя (2), поэтому горизонтальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты:
Так как степень числителя на единицу больше степени знаменателя ($3 = 2+1$), существует наклонная асимптота вида $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x(x+3)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^3+6x^2+9x} = 1$.
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^3}{(x+3)^2} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x(x^2+6x+9)}{x^2+6x+9} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x^3 - 6x^2 - 9x}{x^2+6x+9} = \lim_{x \to \infty} \frac{-6x^2-9x}{x^2+6x+9} = -6$.
Таким образом, прямая $y = x-6$ является наклонной асимптотой.
Ответ: вертикальная асимптота $x=-3$, наклонная асимптота $y=x-6$.

311. Найти асимптоты графика функции:

1) $f(x) = \frac{(x+3)^3}{(x-1)^2}$;

2) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 3}$.

1) Найдём асимптоты для функции $f(x) = \frac{(x+3)^3}{(x-1)^2}$.

Вертикальные асимптоты.
Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. Данная функция не определена, когда знаменатель равен нулю.
$(x-1)^2 = 0 \implies x = 1$.
Найдём односторонние пределы функции при $x \to 1$:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{(x+3)^3}{(x-1)^2}$
При $x \to 1$, числитель $(x+3)^3 \to (1+3)^3 = 64$.
Знаменатель $(x-1)^2 \to 0$, причем $(x-1)^2 > 0$ при $x \ne 1$.
Следовательно, $\lim_{x \to 1} \frac{(x+3)^3}{(x-1)^2} = \frac{64}{+0} = +\infty$.
Так как предел равен бесконечности, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.
Ищем асимптоты вида $y = kx+b$ при $x \to \pm\infty$.
Коэффициент $k$ находится по формуле:
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x+3)^3}{x(x-1)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 9x^2 + \dots}{x(x^2 - 2x + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 9x^2 + \dots}{x^3 - 2x^2 + \dots}$
Поскольку степени многочленов в числителе и знаменателе равны 3, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях:
$k = \frac{1}{1} = 1$.
Коэффициент $b$ находится по формуле:
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{(x+3)^3}{(x-1)^2} - x\right)$
Раскроем скобки и приведём к общему знаменателю:
$b = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^3 + 9x^2 + 27x + 27}{x^2 - 2x + 1} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x(x^2-2x+1)}{x^2 - 2x + 1}$
$b = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 2x^2 - x}{x^2 - 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{11x^2 + 26x + 27}{x^2 - 2x + 1}$
Степени многочленов в числителе и знаменателе равны 2, поэтому предел равен отношению коэффициентов при старших степенях:
$b = \frac{11}{1} = 11$.
Таким образом, прямая $y=x+11$ является наклонной асимптотой при $x \to \pm\infty$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1$, наклонная асимптота $y=x+11$.

2) Найдём асимптоты для функции $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 3}$.

Область определения.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 + 4x + 3 \ge 0$.
Найдём корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = -1$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, +\infty)$.

Вертикальные асимптоты.
Функция является непрерывной на всей своей области определения. Точек разрыва, где предел мог бы быть бесконечным, нет. Следовательно, вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты.
Ищем асимптоты вида $y = kx+b$. Поскольку область определения состоит из двух интервалов, идущих в $+\infty$ и $-\infty$, нужно рассмотреть два случая.

Случай 1: $x \to +\infty$
$k_1 = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^

Построить график функции (312–317).

312. 1) $y = 2 + 5x^3 - 3x^5;$

2) $y = 3x^5 - 5x^3;$

3) $y = 4x^5 - 5x^4;$

4) $y = (x-1)^3(x+1)^2.$

1) $y = 2 + 5x^3 - 3x^5$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения, четность.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Проверим функцию на четность: $y(-x) = 2 + 5(-x)^3 - 3(-x)^5 = 2 - 5x^3 + 3x^5$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: при $x=0$ имеем $y(0) = 2$. Точка пересечения — $(0, 2)$.
С осью Ox: при $y=0$ получаем уравнение $2 + 5x^3 - 3x^5 = 0$. Точное аналитическое решение затруднительно. Один корень найдем из анализа производной.

3. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $y' = (2 + 5x^3 - 3x^5)' = 15x^2 - 15x^4$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $15x^2 - 15x^4 = 0 \Rightarrow 15x^2(1 - x^2) = 0 \Rightarrow 15x^2(1-x)(1+x) = 0$.
Критические точки: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$.
Определим знаки производной на интервалах:
- на $(-\infty, -1)$ $y' < 0$, функция убывает;
- на $(-1, 1)$ $y' > 0$, функция возрастает (включая точку $x=0$);
- на $(1, +\infty)$ $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x=-1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума. $y(-1) = 2 + 5(-1)^3 - 3(-1)^5 = 2 - 5 + 3 = 0$. Точка минимума $(-1, 0)$. Это также точка пересечения с осью Ox.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума. $y(1) = 2 + 5(1)^3 - 3(1)^5 = 2 + 5 - 3 = 4$. Точка максимума $(1, 4)$.
В точке $x=0$ знак производной не меняется, экстремума нет.

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = (15x^2 - 15x^4)' = 30x - 60x^3 = 30x(1 - 2x^2)$.
Найдем точки, где $y''=0$: $x=0$, $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Определим знаки второй производной:
- на $(-\infty, -1/\sqrt{2})$ $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз);
- на $(-1/\sqrt{2}, 0)$ $y'' < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх);
- на $(0, 1/\sqrt{2})$ $y'' > 0$, график вогнутый;
- на $(1/\sqrt{2}, +\infty)$ $y'' < 0$, график выпуклый.
Точки $x=0, x=\pm 1/\sqrt{2}$ являются точками перегиба. Найдем их координаты: $y(0)=2$, $y(-1/\sqrt{2}) = 2 - \frac{7\sqrt{2}}{8} \approx 0.76$, $y(1/\sqrt{2}) = 2 + \frac{7\sqrt{2}}{8} \approx 3.24$.

5. Поведение на бесконечности.
$\lim_{x \to +\infty} (2 + 5x^3 - 3x^5) = -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (2 + 5x^3 - 3x^5) = +\infty$.
Асимптот нет.

Ответ: Для построения графика используются следующие ключевые характеристики:
- Точки пересечения с осями: $(0, 2)$ и $(-1, 0)$. Также есть корень $x \approx 1.4$.
- Локальный минимум в точке $(-1, 0)$.
- Локальный максимум в точке $(1, 4)$.
- Точки перегиба: $(-1/\sqrt{2}, 2 - 7\sqrt{2}/8) \approx (-0.71, 0.76)$, $(0, 2)$ и $(1/\sqrt{2}, 2 + 7\sqrt{2}/8) \approx (0.71, 3.24)$.
- Функция возрастает на $(-1, 1)$ и убывает на $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.
- Пределы на бесконечности: $\lim_{x \to -\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} y = -\infty$.

2) $y = 3x^5 - 5x^3$

1. Область определения, четность.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Проверка на четность: $y(-x) = 3(-x)^5 - 5(-x)^3 = -3x^5 + 5x^3 = -(3x^5 - 5x^3) = -y(x)$.
Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

2. Точки пересечения с осями координат.
При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.
При $y=0$, $3x^5 - 5x^3 = 0 \Rightarrow x^3(3x^2 - 5) = 0$.
Корни: $x=0$, $x=\pm\sqrt{5/3} \approx \pm 1.29$. Точки пересечения: $(0, 0)$, $(\sqrt{5/3}, 0)$, $(-\sqrt{5/3}, 0)$.

3. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $y' = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2(x^2 - 1) = 15x^2(x-1)(x+1)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=-1, x=0, x=1$.
Знаки производной:
- на $(-\infty, -1)$ $y' > 0$, функция возрастает;
- на $(-1, 1)$ $y' < 0$, функция убывает;
- на $(1, +\infty)$ $y' > 0$, функция возрастает.
В точке $x=-1$ — локальный максимум. $y(-1) = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 = -3 + 5 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
В точке $x=1$ — локальный минимум. $y(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 = 3 - 5 = -2$. Точка $(1, -2)$.
В точке $x=0$ экстремума нет.

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Вторая производная: $y'' = 60x^3 - 30x = 30x(2x^2 - 1)$.
Точки, где $y''=0$: $x=0, x = \pm 1/\sqrt{2}$.
Знаки второй производной:
- на $(-\infty, -1/\sqrt{2})$ $y'' < 0$, график выпуклый;
- на $(-1/\sqrt{2}, 0)$ $y'' > 0$, график вогнутый;
- на $(0, 1/\sqrt{2})$ $y'' < 0$, график выпуклый;
- на $(1/\sqrt{2}, +\infty)$ $y'' > 0$, график вогнутый.
Точки перегиба: $x=0$ (точка $(0,0)$), $x = -1/\sqrt{2}$ ($y(-1/\sqrt{2}) = 7\sqrt{2}/8 \approx 1.24$), $x = 1/\sqrt{2}$ ($y(1/\sqrt{2}) = -7\sqrt{2}/8 \approx -1.24$).

5. Поведение на бесконечности.
$\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

Ответ: Для построения графика используются следующие ключевые характеристики:
- Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
- Точки пересечения с осями: $(0, 0)$, $(\sqrt{5/3}, 0) \approx (1.29, 0)$, $(-\sqrt{5/3}, 0) \approx (-1.29, 0)$.
- Локальный максимум: $(-1, 2)$.
- Локальный минимум: $(1, -2)$.
- Точки перегиба: $(0, 0)$, $(-1/\sqrt{2}, 7\sqrt{2}/8) \approx (-0.71, 1.24)$ и $(1/\sqrt{2}, -7\sqrt{2}/8) \approx (0.71, -1.24)$.
- Функция возрастает на $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ и убывает на $(-1, 1)$.

3) $y = 4x^5 - 5x^4$

1. Область определения, четность.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Проверка на четность: $y(-x) = 4(-x)^5 - 5(-x)^4 = -4x^5 - 5x^4$. Функция общего вида.

2. Точки пересечения с осями координат.
$y = x^4(4x - 5)$.
При $x=0$, $y=0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
При $y=0$, $x^4(4x - 5)=0$. Корни: $x=0$ (кратность 4) и $x=5/4 = 1.25$.
Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(1.25, 0)$. В точке $(0,0)$ график касается оси Ox.

3. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $y' = 20x^4 - 20x^3 = 20x^3(x - 1)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=0, x=1$.
Знаки производной:
- на $(-\infty, 0)$ $y' > 0$, функция возрастает;
- на $(0, 1)$ $y' < 0$, функция убывает;
- на $(1, +\infty)$ $y' > 0$, функция возрастает.
В точке $x=0$ — локальный максимум. $y(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
В точке $x=1$ — локальный минимум. $y(1) = 4 - 5 = -1$. Точка $(1, -1)$.

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Вторая производная: $y'' = 80x^3 - 60x^2 = 20x^2(4x - 3)$.
Точки, где $y''=0$: $x=0, x=3/4 = 0.75$.
Знаки второй производной:
- на $(-\infty, 3/4)$ $y'' < 0$, график выпуклый (кроме точки $x=0$, где $y''=0$);
- на $(3/4, +\infty)$ $y'' > 0$, график вогнутый.
В точке $x=3/4$ знак $y''$ меняется, это точка перегиба. $y(3/4) = 4(3/4)^5 - 5(3/4)^4 = (3/4)^4(3-5) = -2(81/256) = -81/128 \approx -0.63$. Точка перегиба $(3/4, -81/128)$.
В точке $x=0$ знак $y''$ не меняется, перегиба нет.

5. Поведение на бесконечности.
$\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

Ответ: Для построения графика используются следующие ключевые характеристики:
- Точки пересечения с осями: $(0, 0)$ (касание) и $(1.25, 0)$.
- Локальный максимум: $(0, 0)$.
- Локальный минимум: $(1, -1)$.
- Точка перегиба: $(0.75, -81/128) \approx (0.75, -0.63)$.
- Функция возрастает на $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ и убывает на $(0, 1)$.
- График выпуклый на $(-\infty, 0.75)$ и вогнутый на $(0.75, \infty)$.

4) $y = (x-1)^3(x+1)^2$

1. Область определения, четность.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
$y(-x) = (-x-1)^3(-x+1)^2 = -(x+1)^3(x-1)^2$. Функция общего вида.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y(0) = (-1)^3(1)^2 = -1$. Точка $(0, -1)$.
С осью Ox: $y=0 \Rightarrow (x-1)^3(x+1)^2 = 0$.
Корни: $x=1$ (кратность 3) и $x=-1$ (кратность 2).
Точки пересечения: $(1, 0)$ (пересечение с перегибом) и $(-1, 0)$ (касание).

3. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $y' = 3(x-1)^2(x+1)^2 + (x-1)^3 \cdot 2(x+1) = (x-1)^2(x+1)[3(x+1)+2(x-1)] = (x-1)^2(x+1)(5x+1)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=1, x=-1, x=-1/5 = -0.2$.
Знаки производной определяются выражением $(x+1)(5x+1)$:
- на $(-\infty, -1)$ $y' > 0$, функция возрастает;
- на $(-1, -1/5)$ $y' < 0$, функция убывает;
- на $(-1/5, +\infty)$ $y' > 0$, функция возрастает (включая точку $x=1$).
В точке $x=-1$ — локальный максимум. $y(-1) = 0$. Точка $(-1, 0)$.
В точке $x=-1/5$ — локальный минимум. $y(-1/5) = (-6/5)^3(4/5)^2 = -216/125 \cdot 16/25 = -3456/3125 \approx -1.11$. Точка $(-0.2, -1.11)$.
В точке $x=1$ экстремума нет.

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Раскроем $y' = (x^2-2x+1)(5x^2+6x+1) = 5x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 4x + 1$.
Вторая производная: $y'' = 20x^3 - 12x^2 - 12x + 4 = 4(5x^3 - 3x^2 - 3x + 1)$.
Один из корней $y''=0$ — это $x=1$. Разделив многочлен на $(x-1)$, получим $y'' = 4(x-1)(5x^2+2x-1)$.
Другие корни из $5x^2+2x-1=0$: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{6}}{5}$.
Точки возможного перегиба: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{-1-\sqrt{6}}{5} \approx -0.69$, $x_3 = \frac{-1+\sqrt{6}}{5} \approx 0.29$.
Все три точки являются точками перегиба. $y(1)=0$, $y(x_2) \approx -0.46$, $y(x_3) \approx -0.60$.

5. Поведение на бесконечности.
Степень многочлена 5, старший коэффициент $1$.
$\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

Ответ: Для построения графика используются следующие ключевые характеристики:
- Точки пересечения с осями: $(0, -1)$, $(-1, 0)$ (касание), $(1, 0)$ (пересечение).
- Локальный максимум: $(-1, 0)$.
- Локальный минимум: $(-1/5, -3456/3125) \approx (-0.2, -1.11)$.
- Точки перегиба: $(1, 0)$, $(\frac{-1-\sqrt{6}}{5}, y(\dots)) \approx (-0.69, -0.46)$, $(\frac{-1+\sqrt{6}}{5}, y(\dots)) \approx (0.29, -0.60)$.
- Функция возрастает на $(-\infty, -1) \cup (-1/5, \infty)$ и убывает на $(-1, -1/5)$.

313. 1) $y = 3x + \frac{1}{3x}$;

2) $y = x - \frac{9}{x}$;

3) $y = \frac{4}{x} - x$;

4) $y = x - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

1) Дана функция $y = 3x + \frac{1}{3x}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде суммы степенных функций. Учтем, что $\frac{1}{x} = x^{-1}$.

$y = 3x + \frac{1}{3}x^{-1}$

Теперь применим правила дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, а константу можно выносить за знак производной. Также используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (3x + \frac{1}{3}x^{-1})' = (3x)' + (\frac{1}{3}x^{-1})' = 3 \cdot (x)' + \frac{1}{3} \cdot (x^{-1})'$

$y' = 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} + \frac{1}{3} \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = 3x^0 - \frac{1}{3}x^{-2}$

Так как $x^0 = 1$ и $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$, получаем окончательный вид производной:

$y' = 3 - \frac{1}{3x^2}$

Ответ: $y' = 3 - \frac{1}{3x^2}$.

2) Дана функция $y = x - \frac{9}{x}$.

Представим функцию в виде $y = x - 9x^{-1}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования разности и формулу производной степенной функции:

$y' = (x - 9x^{-1})' = (x)' - (9x^{-1})' = 1 - 9 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = 1 + 9x^{-2}$

Перепишем результат в виде дроби:

$y' = 1 + \frac{9}{x^2}$

Ответ: $y' = 1 + \frac{9}{x^2}$.

3) Дана функция $y = \frac{4}{x} - x$.

Представим функцию в виде $y = 4x^{-1} - x$.

Найдем производную:

$y' = (4x^{-1} - x)' = (4x^{-1})' - (x)' = 4 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} - 1 = -4x^{-2} - 1$

Перепишем результат в виде дроби:

$y' = - \frac{4}{x^2} - 1$

Ответ: $y' = -1 - \frac{4}{x^2}$.

4) Дана функция $y = x - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде разности степенных функций. Учтем, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$, следовательно, $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.

$y = x - x^{-1/2}$

Найдем производную, используя те же правила:

$y' = (x - x^{-1/2})' = (x)' - (x^{-1/2})' = 1 - (-\frac{1}{2})x^{-1/2 - 1} = 1 + \frac{1}{2}x^{-3/2}$

Перепишем результат, используя корень. Так как $x^{-3/2} = \frac{1}{x^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{x^3}} = \frac{1}{x\sqrt{x}}$, получаем:

$y' = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

314. 1) $y=-x^3+4x^2-3;$
2) $y=x^3-3x^2-x+3.$

1) $y = -x^3 + 4x^2 - 3$

Проведем полное исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: при $x=0$, $y = -0^3 + 4(0)^2 - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.
С осью Ox: при $y=0$, получаем уравнение $-x^3 + 4x^2 - 3 = 0$, или $x^3 - 4x^2 + 3 = 0$.
Проверкой делителей свободного члена находим корень $x=1$, так как $1^3 - 4(1)^2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.
Разделим многочлен $(x^3 - 4x^2 + 3)$ на двучлен $(x-1)$ (например, по схеме Горнера или "уголком") и получим: $(x-1)(x^2 - 3x - 3) = 0$.
Решим оставшееся квадратное уравнение $x^2 - 3x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-3) = 9 + 12 = 21$.
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Таким образом, точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$, $(\frac{3 - \sqrt{21}}{2}, 0)$ и $(\frac{3 + \sqrt{21}}{2}, 0)$.

3. Четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$: $y(-x) = -(-x)^3 + 4(-x)^2 - 3 = x^3 + 4x^2 - 3$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x) = x^3 - 4x^2 + 3$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную функции: $y' = (-x^3 + 4x^2 - 3)' = -3x^2 + 8x$.
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$-3x^2 + 8x = 0 \Rightarrow x(-3x + 8) = 0$.
Отсюда критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 8/3$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось:
- на интервале $(-\infty, 0)$: $y' < 0$, функция убывает.
- на интервале $(0, 8/3)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- на интервале $(8/3, +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = -3$.
В точке $x=8/3$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(8/3) = -(8/3)^3 + 4(8/3)^2 - 3 = -\frac{512}{27} + 4 \cdot \frac{64}{27} - 3 = \frac{-512+256}{27} - \frac{81}{27} = \frac{256-81}{27} = \frac{175}{27}$.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную функции: $y'' = (-3x^2 + 8x)' = -6x + 8$.
Найдем точки возможного перегиба, решив уравнение $y'' = 0$:
$-6x + 8 = 0 \Rightarrow x = 8/6 = 4/3$.
Определим знаки второй производной на интервалах:
- на интервале $(-\infty, 4/3)$: $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).
- на интервале $(4/3, +\infty)$: $y'' < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).
Поскольку в точке $x=4/3$ меняется направление выпуклости, это точка перегиба. Значение функции в этой точке: $y(4/3) = -(4/3)^3 + 4(4/3)^2 - 3 = -\frac{64}{27} + \frac{64}{9} - 3 = \frac{-64+192-81}{27} = \frac{47}{27}$.

Ответ:
Функция $y = -x^3 + 4x^2 - 3$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
Точки пересечения с осями координат: $(0, -3)$, $(1, 0)$, $(\frac{3 - \sqrt{21}}{2}, 0)$, $(\frac{3 + \sqrt{21}}{2}, 0)$.
Промежутки возрастания: $(0, 8/3)$.
Промежутки убывания: $(-\infty, 0) \cup (8/3, +\infty)$.
Точка локального минимума: $(0, -3)$.
Точка локального максимума: $(8/3, 175/27)$.
График функции вогнутый на $(-\infty, 4/3)$ и выпуклый на $(4/3, +\infty)$.
Точка перегиба: $(4/3, 47/27)$.

2) $y = x^3 - 3x^2 - x + 3$

Проведем полное исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: при $x=0$, $y = 0^3 - 3(0)^2 - 0 + 3 = 3$. Точка пересечения $(0, 3)$.
С осью Ox: при $y=0$, получаем уравнение $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$.
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$x^2(x-3) - (x-3) = 0$
$(x^2-1)(x-3) = 0$
$(x-1)(x+1)(x-3) = 0$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$.

3. Четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$: $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 - (-x) + 3 = -x^3 - 3x^2 + x + 3$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x) = -x^3 + 3x^2 + x - 3$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную функции: $y' = (x^3 - 3x^2 - x + 3)' = 3x^2 - 6x - 1$.
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $3x^2 - 6x - 1 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4(3)(-1) = 36 + 12 = 48$, $\sqrt{D} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
$x = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Критические точки: $x_1 = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$, $x_2 = 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Определим знаки производной на интервалах (парабола $y'=3x^2-6x-1$ с ветвями вверх):
- на интервале $(-\infty, 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3})$: $y' > 0$, функция возрастает.
- на интервале $(1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3})$: $y' < 0$, функция убывает.
- на интервале $(1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}, +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
Точка $x_1 = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}) = \frac{16\sqrt{3}}{9}$.
Точка $x_2 = 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}) = -\frac{16\sqrt{3}}{9}$.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную функции: $y'' = (3x^2 - 6x - 1)' = 6x - 6$.
Найдем точки возможного перегиба из условия $y'' = 0$:
$6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$.
Определим знаки второй производной:
- на интервале $(-\infty, 1)$: $y'' < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).
- на интервале $(1, +\infty)$: $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).
В точке $x=1$ меняется направление выпуклости, следовательно, это точка перегиба. Значение функции в этой точке: $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 - 1 + 3 = 0$.

Ответ:
Функция $y = x^3 - 3x^2 - x + 3$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
Точки пересечения с осями координат: $(0, 3)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$.
Промежутки возрастания: $(-\infty, 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}, +\infty)$.
Промежутки убывания: $(1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3})$.
Точка локального максимума: $(1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{16\sqrt{3}}{9})$.
Точка локального минимума: $(1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{16\sqrt{3}}{9})$.
График функции выпуклый на $(-\infty, 1)$ и вогнутый на $(1, +\infty)$.
Точка перегиба: $(1, 0)$.

315. 1) $y = \frac{x^2}{x-2}$;

2) $y = \frac{-x^2+3x-1}{x}$;

3) $y = \frac{x^2+x-1}{x^2-2x+1}$;

4) $y = \frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2}$;

5) $y = \frac{(x-1)^3}{(x-2)^2}$;

6) $y = \frac{x^3}{x^2-1}$.

Для нахождения асимптот графика функции будем использовать следующий алгоритм:

1. Находим область определения функции и точки разрыва.
2. Ищем вертикальные асимптоты в точках разрыва. Прямая $x=a$ является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов $\lim_{x \to a-0} f(x)$ или $\lim_{x \to a+0} f(x)$ равен $\infty$.
3. Ищем горизонтальные или наклонные асимптоты.
   • Если существует конечный предел $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$, то прямая $y=b$ — горизонтальная асимптота.
   • Если этот предел равен $\infty$, то ищем наклонную асимптоту вида $y=kx+b$, где коэффициенты находятся по формулам: $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx)$.

1) $y = \frac{x^2}{x-2}$

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$. Область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты. Исследуем поведение функции в точке разрыва $x=2$.
$\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2}{x-2} = \frac{4}{2-0-2} = \frac{4}{-0} = -\infty$
$\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2}{x-2} = \frac{4}{2+0-2} = \frac{4}{+0} = +\infty$
Поскольку пределы в точке $x=2$ равны бесконечности, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты. Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), поэтому ищем наклонную асимптоту вида $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x-2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2-2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{2}{x}} = 1$
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2}{x-2} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x^2 + 2x}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 - \frac{2}{x}} = 2$
Следовательно, прямая $y=x+2$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, наклонная асимптота $y=x+2$.

2) $y = \frac{-x^2+3x-1}{x}$

1. Область определения. $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты. Исследуем точку разрыва $x=0$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{-x^2+3x-1}{x} = \frac{-1}{-0} = +\infty$
$\lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2+3x-1}{x} = \frac{-1}{+0} = -\infty$
Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты. Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1). Ищем наклонную асимптоту $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2+3x-1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} (-1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}) = -1$
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{-x^2+3x-1}{x} - (-1)x) = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2+3x-1+x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x-1}{x} = \lim_{x \to \infty} (3 - \frac{1}{x}) = 3$
Прямая $y=-x+3$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=-x+3$.

3) $y = \frac{x^2+x-1}{x^2-2x+1}$

1. Область определения. Преобразуем знаменатель: $x^2-2x+1 = (x-1)^2$. Знаменатель равен нулю при $x=1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты. Исследуем точку разрыва $x=1$.
$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-1}{(x-1)^2} = \frac{1^2+1-1}{(1-1)^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty$
Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты. Степени числителя и знаменателя равны (2), значит ищем горизонтальную асимптоту.
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x-1}{x^2-2x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1} = 1$
Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1$, горизонтальная асимптота $y=1$.

4) $y = \frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2}$

1. Область определения. Знаменатель $(x-2)^2$ равен нулю при $x=2$. $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты. Исследуем точку разрыва $x=2$.
$\lim_{x \to 2} \frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2} = \frac{4+2-2(2^2)}{(2-2)^2} = \frac{6-8}{0^+} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$
Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты. Степени числителя и знаменателя равны (2), ищем горизонтальную асимптоту.
$\lim_{x \to \infty} \frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2x^2+x+4}{x^2-4x+4} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}} = \frac{-2}{1} = -2$
Прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная асимптота $y=-2$.

5) $y = \frac{(x-1)^3}{(x-2)^2}$

1. Область определения. Знаменатель $(x-2)^2$ равен нулю при $x=2$. $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты. Исследуем точку разрыва $x=2$.
$\lim_{x \to 2} \frac{(x-1)^3}{(x-2)^2} = \frac{(2-1)^3}{(2-2)^2} = \frac{1^3}{0^+} = \frac{1}{0^+} = +\infty$
Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты. Раскроем скобки: $y = \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^2 - 4x + 4}$. Степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), ищем наклонную асимптоту $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x-1)^3}{x(x-2)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3(1-\frac{1}{x})^3}{x \cdot x^2(1-\frac{2}{x})^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{(1-\frac{1}{x})^3}{(1-\frac{2}{x})^2} = 1$
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^2 - 4x + 4} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x(x^2 - 4x + 4)}{x^2 - 4x + 4}$
$b = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 + 4x^2 - 4x}{x^2 - 4x + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x - 1}{x^2 - 4x + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}} = 1$
Прямая $y=x+1$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, наклонная асимптота $y=x+1$.

6) $y = \frac{x^3}{x^2-1}$

1. Область определения. Знаменатель $x^2-1=(x-1)(x+1)$ равен нулю при $x=1$ и $x=-1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты. Исследуем точки разрыва $x=1$ и $x=-1$.
Для $x=1$:
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{x^2-1} = \frac{1}{-0} = -\infty$; $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{x^2-1} = \frac{1}{+0} = +\infty$. Прямая $x=1$ — вертикальная асимптота.
Для $x=-1$:
$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^3}{x^2-1} = \frac{-1}{+0} = -\infty$; $\lim_{x \to -1^+} \frac{x^3}{x^2-1} = \frac{-1}{-0} = +\infty$. Прямая $x=-1$ — вертикальная асимптота.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты. Степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), ищем наклонную асимптоту $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x(x^2-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^3-x} = 1$
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^3}{x^2-1} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x(x^2-1)}{x^2-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x^3 + x}{x^2-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2-1} = 0$
Прямая $y=x$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальные асимптоты $x=1$ и $x=-1$, наклонная асимптота $y=x$.

316. 1) $y=(x+3)\sqrt{x}$;

2) $y=\frac{(x+1)^3}{x^2}$;

3) $y=x^2 \ln x$;

4) $y=\frac{x^2}{(x+2)^3}$.

1) Для нахождения производной функции $y = (x+3)\sqrt{x}$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций $u(x) = x+3$ и $v(x) = \sqrt{x}$. Правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Сначала найдем производные каждой из функций:
$u'(x) = (x+3)' = 1$.
$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:
$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{x} + (x+3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{x+3}{2\sqrt{x}}$.
Приведем выражение к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:
$y' = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{x+3}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x + 3}{2\sqrt{x}} = \frac{3x+3}{2\sqrt{x}}$.
Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе:
$y' = \frac{3(x+1)}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{3(x+1)}{2\sqrt{x}}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{(x+1)^3}{x^2}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби). Пусть $u(x) = (x+1)^3$ и $v(x) = x^2$. Правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$. Для $u(x)$ применим правило дифференцирования сложной функции:
$u'(x) = ((x+1)^3)' = 3(x+1)^{3-1} \cdot (x+1)' = 3(x+1)^2 \cdot 1 = 3(x+1)^2$.
$v'(x) = (x^2)' = 2x$.
Подставим производные в формулу:
$y' = \frac{3(x+1)^2 \cdot x^2 - (x+1)^3 \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{3x^2(x+1)^2 - 2x(x+1)^3}{x^4}$.
Вынесем за скобки общий множитель $x(x+1)^2$ в числителе:
$y' = \frac{x(x+1)^2 [3x - 2(x+1)]}{x^4}$.
Сократим дробь на $x$ и упростим выражение в квадратных скобках:
$y' = \frac{(x+1)^2 (3x - 2x - 2)}{x^3} = \frac{(x+1)^2(x-2)}{x^3}$.

Ответ: $y' = \frac{(x-2)(x+1)^2}{x^3}$.

3) Для нахождения производной функции $y = x^2 \ln x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln x$. Правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$.
$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставим производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}$.
Упростим второе слагаемое:
$y' = 2x \ln x + x$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$y' = x(2\ln x + 1)$.

Ответ: $y' = x(2\ln x + 1)$.

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^2}{(x+2)^3}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного. Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = (x+2)^3$. Правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$. Для $v(x)$ применим правило дифференцирования сложной функции:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$.
$v'(x) = ((x+2)^3)' = 3(x+2)^{3-1} \cdot (x+2)' = 3(x+2)^2 \cdot 1 = 3(x+2)^2$.
Подставим производные в формулу:
$y' = \frac{2x \cdot (x+2)^3 - x^2 \cdot 3(x+2)^2}{((x+2)^3)^2} = \frac{2x(x+2)^3 - 3x^2(x+2)^2}{(x+2)^6}$.
Вынесем за скобки общий множитель $x(x+2)^2$ в числителе:
$y' = \frac{x(x+2)^2 [2(x+2) - 3x]}{(x+2)^6}$.
Сократим дробь на $(x+2)^2$ и упростим выражение в квадратных скобках:
$y' = \frac{x(2x + 4 - 3x)}{(x+2)^4} = \frac{x(4-x)}{(x+2)^4}$.

Ответ: $y' = \frac{x(4-x)}{(x+2)^4}$.

317.1) $y = x^3 - x^2 - x + 1$;

2) $y = x^3 - x^2 + x - 1$.

1) $y = x^3 - x^2 - x + 1$

Для решения задачи проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: при $x = 0$ имеем $y = 0^3 - 0^2 - 0 + 1 = 1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$.

- С осью OX: при $y = 0$ имеем $x^3 - x^2 - x + 1 = 0$. Разложим левую часть на множители методом группировки:

$x^2(x - 1) - (x - 1) = 0$

$(x^2 - 1)(x - 1) = 0$

$(x - 1)(x + 1)(x - 1) = 0$

$(x - 1)^2(x + 1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$ (корень кратности 2). Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. В точке $(1, 0)$ график касается оси OX.

3. Четность функции.

Найдем $y(-x)$: $y(-x) = (-x)^3 - (-x)^2 - (-x) + 1 = -x^3 - x^2 + x + 1$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

4. Асимптоты.

Поскольку функция является многочленом, она непрерывна на всей числовой прямой, поэтому вертикальных асимптот нет. Горизонтальных и наклонных асимптот также нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} y(x) = \pm\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную функции: $y' = (x^3 - x^2 - x + 1)' = 3x^2 - 2x - 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Корни: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:

- На интервале $(-\infty, -1/3)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-1/3, 1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

- На интервале $(1, \infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

Точка $x = -1/3$ является точкой локального максимума. $y_{max} = y(-1/3) = (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) + 1 = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{32}{27}$.

Точка $x = 1$ является точкой локального минимума. $y_{min} = y(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 0$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную функции: $y'' = (3x^2 - 2x - 1)' = 6x - 2$.

Найдем точку, в которой вторая производная равна нулю: $6x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1/3$.

- На интервале $(-\infty, 1/3)$ вторая производная $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

- На интервале $(1/3, \infty)$ вторая производная $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

Точка $x = 1/3$ является точкой перегиба. $y(1/3) = (\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 1 = \frac{16}{27}$. Точка перегиба: $(1/3, 16/27)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -1/3]$ и $[1, \infty)$, убывает на $[-1/3, 1]$. Точка максимума $(-1/3, 32/27)$, точка минимума $(1, 0)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 1/3)$ и выпуклый вниз на $(1/3, \infty)$. Точка перегиба $(1/3, 16/27)$. Пересечение с осями в точках $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

2) $y = x^3 - x^2 + x - 1$

Для решения задачи проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: при $x = 0$ имеем $y = 0^3 - 0^2 + 0 - 1 = -1$. Точка пересечения: $(0, -1)$.

- С осью OX: при $y = 0$ имеем $x^3 - x^2 + x - 1 = 0$. Разложим на множители:

$x^2(x - 1) + (x - 1) = 0$

$(x^2 + 1)(x - 1) = 0$

Уравнение $x^2 + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Единственный корень: $x = 1$. Точка пересечения: $(1, 0)$.

3. Четность функции.

Найдем $y(-x)$: $y(-x) = (-x)^3 - (-x)^2 + (-x) - 1 = -x^3 - x^2 - x - 1$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

4. Асимптоты.

Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет (так как это многочлен).

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (x^3 - x^2 + x - 1)' = 3x^2 - 2x + 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 2x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.

Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен (a=3 > 0), то парабола $y = 3x^2 - 2x + 1$ полностью лежит выше оси OX. Это означает, что $y' > 0$ для всех $x$.

Следовательно, функция строго возрастает на всей области определения $(-\infty, \infty)$. Локальных экстремумов нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 2x + 1)' = 6x - 2$.

Найдем точку, в которой вторая производная равна нулю: $6x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1/3$.

- На интервале $(-\infty, 1/3)$ вторая производная $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

- На интервале $(1/3, \infty)$ вторая производная $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

Точка $x = 1/3$ является точкой перегиба. $y(1/3) = (\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} - \frac{27}{27} = -\frac{20}{27}$. Точка перегиба: $(1/3, -20/27)$.

Ответ: Функция строго возрастает на всей числовой оси $(-\infty, \infty)$. Локальных экстремумов нет. График выпуклый вверх на $(-\infty, 1/3)$ и выпуклый вниз на $(1/3, \infty)$. Точка перегиба $(1/3, -20/27)$. Пересечение с осями в точках $(1, 0)$ и $(0, -1)$.

318. Сколько действительных корней имеет уравнение

$1 - 2x + 2x^3 - x^5 = 0$?

Для определения количества действительных корней уравнения $1 - 2x + 2x^3 - x^5 = 0$ можно использовать два подхода: исследование функции с помощью производной или алгебраические преобразования.

Способ 1: Исследование функции с помощью производной

Рассмотрим функцию $f(x) = -x^5 + 2x^3 - 2x + 1$. Количество действительных корней исходного уравнения равно количеству нулей этой функции.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^5 + 2x^3 - 2x + 1) = -5x^4 + 6x^2 - 2$$

2. Найдем точки экстремума (критические точки), решив уравнение $f'(x) = 0$:

$$-5x^4 + 6x^2 - 2 = 0$$

Умножим обе части на $-1$:

$$5x^4 - 6x^2 + 2 = 0$$

Это биквадратное уравнение. Выполним замену переменной $y = x^2$. Так как $x$ — действительное число, то $y \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$$5y^2 - 6y + 2 = 0$$

Вычислим дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 36 - 40 = -4$$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение $5y^2 - 6y + 2 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что у производной $f'(x)$ нет нулей, и, следовательно, у функции $f(x)$ нет точек экстремума.

3. Определим знак производной $f'(x)$ на всей числовой оси. Так как производная непрерывна и не обращается в ноль, она сохраняет свой знак. Для определения знака подставим любое значение, например $x=0$:

$$f'(0) = -5(0)^4 + 6(0)^2 - 2 = -2$$

Так как $f'(0) < 0$, то производная отрицательна для всех действительных $x$. Это значит, что функция $f(x)$ является строго убывающей на всей области определения $(-\infty, +\infty)$.

4. Проанализируем поведение функции на бесконечности:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (-x^5) = +\infty$$

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (-x^5) = -\infty$$

5. Сделаем вывод. Функция $f(x)$ непрерывна и строго убывает на интервале $(-\infty, +\infty)$, изменяя свои значения от $+\infty$ до $-\infty$. По теореме о промежуточном значении, непрерывная функция, принимающая значения разного знака, должна пересечь ось абсцисс хотя бы один раз. Так как функция строго монотонна, она может пересечь ось абсцисс только один раз. Следовательно, уравнение имеет единственный действительный корень.

Способ 2: Алгебраическое решение

1. Попробуем найти рациональные корни уравнения $1 - 2x + 2x^3 - x^5 = 0$. По теореме о рациональных корнях, если такой корень существует, он должен быть делителем свободного члена (который равен 1). Возможные кандидаты: $1$ и $-1$.

Проверим $x=1$:

$$1 - 2(1) + 2(1)^3 - (1)^5 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0$$

Равенство выполняется, следовательно, $x=1$ является корнем уравнения.

2. Раз $x=1$ — корень, то многочлен $-x^5 + 2x^3 - 2x + 1$ делится на $(x-1)$ без остатка. Выполним деление многочлена $x^5 - 2x^3 + 2x - 1$ на $(x-1)$ (для удобства мы умножили исходный многочлен на -1):

$$(x^5 - 2x^3 + 2x - 1) \div (x-1) = x^4 + x^3 - x^2 - x + 1$$

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$$-(x-1)(x^4 + x^3 - x^2 - x + 1) = 0$$

Один корень мы нашли: $x_1 = 1$. Теперь нужно определить, имеет ли действительные корни уравнение:

$$x^4 + x^3 - x^2 - x + 1 = 0$$

3. Это уравнение является возвратным. Заметим, что $x=0$ не является корнем, поэтому мы можем разделить обе части на $x^2$:

$$x^2 + x - 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x - \frac{1}{x}) - 1 = 0$$

Введем новую переменную $t = x - \frac{1}{x}$. Тогда $t^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда получаем $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$. Подставим это в уравнение:

$$(t^2 + 2) + t - 1 = 0$$

$$t^2 + t + 1 = 0$$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения относительно $t$:

$$D_t = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$$

Поскольку дискриминант $D_t < 0$, это уравнение не имеет действительных решений для $t$. Следовательно, и уравнение $x^4 + x^3 - x^2 - x + 1 = 0$ не имеет действительных корней.

4. Единственным действительным корнем исходного уравнения является $x=1$.

Ответ: уравнение имеет один действительный корень.