Номер 318, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 318, страница 133.

Условие.

318. Сколько действительных корней имеет уравнение

$1 - 2x + 2x^3 - x^5 = 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для определения количества действительных корней уравнения $1 - 2x + 2x^3 - x^5 = 0$ можно использовать два подхода: исследование функции с помощью производной или алгебраические преобразования.

Способ 1: Исследование функции с помощью производной

Рассмотрим функцию $f(x) = -x^5 + 2x^3 - 2x + 1$. Количество действительных корней исходного уравнения равно количеству нулей этой функции.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^5 + 2x^3 - 2x + 1) = -5x^4 + 6x^2 - 2$$

2. Найдем точки экстремума (критические точки), решив уравнение $f'(x) = 0$:

$$-5x^4 + 6x^2 - 2 = 0$$

Умножим обе части на $-1$:

$$5x^4 - 6x^2 + 2 = 0$$

Это биквадратное уравнение. Выполним замену переменной $y = x^2$. Так как $x$ — действительное число, то $y \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$$5y^2 - 6y + 2 = 0$$

Вычислим дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 36 - 40 = -4$$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение $5y^2 - 6y + 2 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что у производной $f'(x)$ нет нулей, и, следовательно, у функции $f(x)$ нет точек экстремума.

3. Определим знак производной $f'(x)$ на всей числовой оси. Так как производная непрерывна и не обращается в ноль, она сохраняет свой знак. Для определения знака подставим любое значение, например $x=0$:

$$f'(0) = -5(0)^4 + 6(0)^2 - 2 = -2$$

Так как $f'(0) < 0$, то производная отрицательна для всех действительных $x$. Это значит, что функция $f(x)$ является строго убывающей на всей области определения $(-\infty, +\infty)$.

4. Проанализируем поведение функции на бесконечности:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (-x^5) = +\infty$$

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (-x^5) = -\infty$$

5. Сделаем вывод. Функция $f(x)$ непрерывна и строго убывает на интервале $(-\infty, +\infty)$, изменяя свои значения от $+\infty$ до $-\infty$. По теореме о промежуточном значении, непрерывная функция, принимающая значения разного знака, должна пересечь ось абсцисс хотя бы один раз. Так как функция строго монотонна, она может пересечь ось абсцисс только один раз. Следовательно, уравнение имеет единственный действительный корень.

Способ 2: Алгебраическое решение

1. Попробуем найти рациональные корни уравнения $1 - 2x + 2x^3 - x^5 = 0$. По теореме о рациональных корнях, если такой корень существует, он должен быть делителем свободного члена (который равен 1). Возможные кандидаты: $1$ и $-1$.

Проверим $x=1$:

$$1 - 2(1) + 2(1)^3 - (1)^5 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0$$

Равенство выполняется, следовательно, $x=1$ является корнем уравнения.

2. Раз $x=1$ — корень, то многочлен $-x^5 + 2x^3 - 2x + 1$ делится на $(x-1)$ без остатка. Выполним деление многочлена $x^5 - 2x^3 + 2x - 1$ на $(x-1)$ (для удобства мы умножили исходный многочлен на -1):

$$(x^5 - 2x^3 + 2x - 1) \div (x-1) = x^4 + x^3 - x^2 - x + 1$$

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$$-(x-1)(x^4 + x^3 - x^2 - x + 1) = 0$$

Один корень мы нашли: $x_1 = 1$. Теперь нужно определить, имеет ли действительные корни уравнение:

$$x^4 + x^3 - x^2 - x + 1 = 0$$

3. Это уравнение является возвратным. Заметим, что $x=0$ не является корнем, поэтому мы можем разделить обе части на $x^2$:

$$x^2 + x - 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x - \frac{1}{x}) - 1 = 0$$

Введем новую переменную $t = x - \frac{1}{x}$. Тогда $t^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда получаем $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$. Подставим это в уравнение:

$$(t^2 + 2) + t - 1 = 0$$

$$t^2 + t + 1 = 0$$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения относительно $t$:

$$D_t = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$$

Поскольку дискриминант $D_t < 0$, это уравнение не имеет действительных решений для $t$. Следовательно, и уравнение $x^4 + x^3 - x^2 - x + 1 = 0$ не имеет действительных корней.

4. Единственным действительным корнем исходного уравнения является $x=1$.

Ответ: уравнение имеет один действительный корень.