Номер 324, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 324, страница 134.

Условие.

324. Построить график функции:

1) $y = 3x^2 - 6x + 5$ на отрезке $[0; 3];

2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3$ на отрезке $[-1; 3].

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = 3x^2 - 6x + 5$ на отрезке $[0; 3]$

Для построения графика данной функции на заданном отрезке проведем ее исследование.

1. Функция $y = 3x^2 - 6x + 5$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Найдем ординату вершины, подставив значение $x_v = 1$ в уравнение функции:
$y_v = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 3 - 6 + 5 = 2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 2)$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; 3]$, так как $0 \le 1 \le 3$. В этой точке функция достигает своего наименьшего значения на всей числовой оси, а значит и на отрезке $[0; 3]$.

3. Найдем значения функции на концах отрезка $[0; 3]$:
При $x = 0$: $y(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 5 = 5$. Получаем точку $(0, 5)$.
При $x = 3$: $y(3) = 3(3)^2 - 6(3) + 5 = 3 \cdot 9 - 18 + 5 = 27 - 18 + 5 = 14$. Получаем точку $(3, 14)$.

4. Для более точного построения графика можно найти еще одну точку, например, при $x = 2$:
$y(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 5 = 12 - 12 + 5 = 5$. Получаем точку $(2, 5)$. Эта точка симметрична точке $(0, 5)$ относительно оси симметрии параболы $x=1$.

5. Для построения графика отметим на координатной плоскости точки: $(0, 5)$, $(1, 2)$ (вершина), $(2, 5)$ и $(3, 14)$. Соединим их плавной кривой, получив часть параболы, ограниченную отрезком $[0; 3]$.

Ответ: График функции $y = 3x^2 - 6x + 5$ на отрезке $[0; 3]$ представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(1, 2)$, начинающуюся в точке $(0, 5)$ и заканчивающуюся в точке $(3, 14)$.

2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3$ на отрезке $[-1; 3]$

Для построения графика этой функции исследуем ее с помощью производной.

1. Найдем производную функции $y'$:
$y' = (\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{2}{3} \cdot 3x^2 = x^3 - 2x^2$.

2. Найдем критические (стационарные) точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \Rightarrow x^3 - 2x^2 = 0$
$x^2(x - 2) = 0$
Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Обе точки принадлежат заданному отрезку $[-1; 3]$.

3. Определим знаки производной на интервалах, на которые отрезок $[-1; 3]$ разбивается критическими точками, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции:
На интервале $[-1, 0)$: $y'(-0.5) = (-0.5)^2(-0.5-2) = 0.25 \cdot (-2.5) < 0$, следовательно, функция убывает.
На интервале $(0, 2)$: $y'(1) = 1^2(1-2) = -1 < 0$, следовательно, функция убывает.
На интервале $(2, 3]$: $y'(2.5) = (2.5)^2(2.5-2) > 0$, следовательно, функция возрастает.

Так как при переходе через точку $x=2$ производная меняет знак с «–» на «+», то $x=2$ является точкой локального минимума. В точке $x=0$ производная не меняет знак, значит, в этой точке экстремума нет, это точка перегиба с горизонтальной касательной.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
При $x = -1$: $y(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{2}{3}(-1)^3 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3+8}{12} = \frac{11}{12}$. Точка $(-1, \frac{11}{12})$.
При $x = 0$: $y(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - \frac{2}{3}(0)^3 = 0$. Точка $(0, 0)$.
При $x = 2$: $y(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - \frac{2}{3}(2)^3 = \frac{16}{4} - \frac{16}{3} = 4 - \frac{16}{3} = \frac{12-16}{3} = -\frac{4}{3}$. Точка минимума $(2, -\frac{4}{3})$.
При $x = 3$: $y(3) = \frac{1}{4}(3)^4 - \frac{2}{3}(3)^3 = \frac{81}{4} - \frac{2 \cdot 27}{3} = \frac{81}{4} - 18 = \frac{81-72}{4} = \frac{9}{4}$. Точка $(3, \frac{9}{4})$.

5. Для построения графика отметим на координатной плоскости вычисленные точки: $(-1, \frac{11}{12}) \approx (-1, 0.92)$, $(0, 0)$, $(2, -\frac{4}{3}) \approx (2, -1.33)$ и $(3, \frac{9}{4}) = (3, 2.25)$. Соединим эти точки плавной кривой, учитывая характер поведения функции: убывание на отрезке $[-1, 2]$ и возрастание на отрезке $[2, 3]$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3$ на отрезке $[-1; 3]$ представляет собой кривую, которая начинается в точке $(-1, \frac{11}{12})$, убывает, проходя через точку перегиба $(0, 0)$, достигает своего минимума в точке $(2, -\frac{4}{3})$, а затем возрастает до точки $(3, \frac{9}{4})$.