Номер 327, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 327, страница 134.

Условие.

327. Из всех равнобедренных треугольников с периметром p найти треугольник с наибольшей площадью.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны $a$, а основание равно $b$. Периметр $P$ этого треугольника задан и равен $p$.

Периметр треугольника определяется формулой:$P = 2a + b$По условию $P = p$, следовательно:$2a + b = p$Отсюда можно выразить боковую сторону $a$ через основание $b$:$2a = p - b$$a = \frac{p - b}{2}$

Для существования треугольника необходимо выполнение неравенства треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей.$a + a > b \Rightarrow 2a > b$Подставив выражение для $2a$, получим:$p - b > b \Rightarrow p > 2b \Rightarrow b < \frac{p}{2}$Также стороны должны быть положительными, то есть $a > 0$ и $b > 0$. Из $a = \frac{p-b}{2} > 0$ следует, что $p - b > 0$, то есть $b < p$. Условие $b < \frac{p}{2}$ является более строгим, поэтому областью определения для $b$ будет интервал $0 < b < \frac{p}{2}$.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Проведем высоту $h$ к основанию $b$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{b}{2}$.По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и половиной основания:$a^2 = h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2$Отсюда выразим высоту $h$:$h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$Подставим выражение для $a$:$h = \sqrt{\left(\frac{p - b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{p^2 - 2pb + b^2}{4} - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{p^2 - 2pb}{4}} = \frac{\sqrt{p^2 - 2pb}}{2}$

Теперь запишем формулу для площади $S$ как функцию от переменной $b$:$S(b) = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} b \cdot \frac{\sqrt{p^2 - 2pb}}{2} = \frac{b}{4}\sqrt{p^2 - 2pb}$

Чтобы найти значение $b$, при котором площадь максимальна, нужно исследовать функцию $S(b)$ на максимум. Так как площадь $S$ является неотрицательной величиной, её максимум будет достигаться при том же значении $b$, что и максимум её квадрата $S^2(b)$. Это упрощает вычисления, так как избавляет от квадратного корня.Рассмотрим функцию $f(b) = S^2(b)$:$f(b) = \left(\frac{b}{4}\sqrt{p^2 - 2pb}\right)^2 = \frac{b^2}{16}(p^2 - 2pb) = \frac{p^2b^2 - 2pb^3}{16}$

Найдем производную функции $f(b)$ по переменной $b$:$f'(b) = \frac{1}{16}(2p^2b - 6pb^2)$Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$f'(b) = 0$$\frac{1}{16}(2p^2b - 6pb^2) = 0$$2p^2b - 6pb^2 = 0$$2pb(p - 3b) = 0$Это уравнение имеет два решения: $b = 0$ и $p - 3b = 0$.Решение $b = 0$ соответствует вырожденному треугольнику с нулевой площадью, что является минимумом.Второе решение:$p - 3b = 0 \Rightarrow 3b = p \Rightarrow b = \frac{p}{3}$Эта точка $b = \frac{p}{3}$ принадлежит области определения $0 < b < \frac{p}{2}$, так как $0 < \frac{p}{3} < \frac{p}{2}$.

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:$f''(b) = \frac{d}{db}\left(\frac{1}{16}(2p^2b - 6pb^2)\right) = \frac{1}{16}(2p^2 - 12pb)$Подставим значение $b = \frac{p}{3}$ во вторую производную:$f''\left(\frac{p}{3}\right) = \frac{1}{16}\left(2p^2 - 12p\left(\frac{p}{3}\right)\right) = \frac{1}{16}(2p^2 - 4p^2) = \frac{-2p^2}{16} = -\frac{p^2}{8}$Так как периметр $p > 0$, то $p^2 > 0$, и следовательно $f''\left(\frac{p}{3}\right) < 0$. Это означает, что при $b = \frac{p}{3}$ функция $f(b)$, а значит и площадь $S(b)$, достигает своего максимума.

Найдем длину боковой стороны $a$:$a = \frac{p - b}{2} = \frac{p - \frac{p}{3}}{2} = \frac{\frac{2p}{3}}{2} = \frac{p}{3}$Таким образом, все стороны треугольника равны:$a = b = \frac{p}{3}$Следовательно, равнобедренный треугольник с наибольшей площадью при заданном периметре является равносторонним.

Ответ: Треугольник с наибольшей площадью — равносторонний треугольник со стороной $a = \frac{p}{3}$.