Номер 330, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 330, страница 134.

Условие.

330. Доказать, что функция $y = 1.8x^5 - 2\frac{1}{3}x^3 + 7x + 12.5$ возрастает на всей области определения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что функция возрастает на всей области определения, необходимо найти ее производную и доказать, что она неотрицательна (в данном случае — строго положительна) для всех значений x из области определения.

Заданная функция: $y = 1,8x^5 - 2\frac{1}{3}x^3 + 7x + 12,5$.

Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, так как это многочлен. То есть, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для удобства вычислений представим коэффициенты в виде обыкновенных дробей:
$1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$
$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
Таким образом, функция имеет вид: $y = \frac{9}{5}x^5 - \frac{7}{3}x^3 + 7x + 12,5$.

Найдем производную функции $y'$:
$y' = (\frac{9}{5}x^5 - \frac{7}{3}x^3 + 7x + 12,5)'$
$y' = \frac{9}{5} \cdot (x^5)' - \frac{7}{3} \cdot (x^3)' + 7 \cdot (x)' + (12,5)'$
$y' = \frac{9}{5} \cdot 5x^4 - \frac{7}{3} \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 + 0$
$y' = 9x^4 - 7x^2 + 7$

Теперь необходимо исследовать знак производной $y' = 9x^4 - 7x^2 + 7$. Если $y' > 0$ для всех x, то функция возрастает.

Выражение для производной является биквадратным. Сделаем замену переменной, пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
После замены получаем квадратичную функцию от переменной t:
$g(t) = 9t^2 - 7t + 7$

Рассмотрим эту квадратичную функцию $g(t)$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при старшей степени $a=9$ положителен. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $9t^2 - 7t + 7$:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 7 = 49 - 252 = -203$

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a > 0$, квадратный трехчлен $9t^2 - 7t + 7$ принимает только положительные значения при любых действительных значениях t.

Следовательно, $g(t) > 0$ для всех t. Так как $t=x^2$, то и производная $y' = 9x^4 - 7x^2 + 7$ строго больше нуля при всех действительных значениях x.

Поскольку производная функции $y'$ положительна на всей области определения, то функция $y(x)$ строго возрастает на всей области определения, то есть на интервале $(-\infty; +\infty)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Производная функции $y' = 9x^4 - 7x^2 + 7$. Это выражение положительно при всех $x \in R$, так как если сделать замену $t = x^2$, то полученный квадратный трехчлен $g(t)=9t^2 - 7t + 7$ имеет отрицательный дискриминант ($D=-203$) и положительный старший коэффициент ($a=9$). А раз производная функции всегда положительна, то сама функция возрастает на всей своей области определения.