Номер 335, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе III - номер 335, страница 135.

Условие.

335. Найти наибольшее значение функции:

1) $x^3\sqrt{5 - 3x^2}$ на интервале $(0; \sqrt{\frac{5}{3}})$;

2) $x\sqrt{1 - x^2}$ на интервале $(0; 1).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы найти наибольшее значение функции $f(x) = x^3\sqrt{5 - 3x^2}$ на интервале $(0; \sqrt{5/3})$, мы найдем ее критические точки.

Область определения функции задается условием $5 - 3x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 5/3$, или $-\sqrt{5/3} \le x \le \sqrt{5/3}$. Заданный интервал $(0; \sqrt{5/3})$ входит в область определения.

На интервале $(0; \sqrt{5/3})$ функция $f(x)$ принимает положительные значения. Следовательно, точка максимума функции $f(x)$ совпадает с точкой максимума функции $g(x) = (f(x))^2$. Этот прием позволяет упростить вычисление производной.

$g(x) = (x^3\sqrt{5 - 3x^2})^2 = x^6(5 - 3x^2) = 5x^6 - 3x^8$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (5x^6 - 3x^8)' = 30x^5 - 24x^7 = 6x^5(5 - 4x^2)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$6x^5(5 - 4x^2) = 0$.

Решениями уравнения являются $x = 0$ и $5 - 4x^2 = 0$. Из второго уравнения получаем $x^2 = 5/4$, откуда $x = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Выберем критические точки, принадлежащие заданному интервалу $(0; \sqrt{5/3})$.

Точка $x=0$ не входит в открытый интервал. Точка $x = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ также не входит в интервал, так как она отрицательна.

Проверим, входит ли точка $x = \frac{\sqrt{5}}{2}$ в интервал. Сравним квадраты: $(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5}{4}$ и $(\sqrt{5/3})^2 = \frac{5}{3}$. Так как $4 > 3$, то $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$, и, следовательно, $\frac{5}{4} < \frac{5}{3}$. Значит, $\frac{\sqrt{5}}{2} < \sqrt{5/3}$, и точка $x = \frac{\sqrt{5}}{2}$ принадлежит интервалу $(0; \sqrt{5/3})$.

Определим знак производной $g'(x) = 6x^5(5 - 4x^2)$ на интервалах, на которые точка $x = \frac{\sqrt{5}}{2}$ делит интервал $(0; \sqrt{5/3})$.

При $x \in (0; \frac{\sqrt{5}}{2})$, имеем $x^2 < 5/4$, поэтому $5-4x^2 > 0$. Так как $6x^5 > 0$, то $g'(x) > 0$, и функция возрастает.

При $x \in (\frac{\sqrt{5}}{2}; \sqrt{5/3})$, имеем $x^2 > 5/4$, поэтому $5-4x^2 < 0$. Так как $6x^5 > 0$, то $g'(x) < 0$, и функция убывает.

Следовательно, в точке $x = \frac{\sqrt{5}}{2}$ функция $f(x)$ достигает своего наибольшего значения на данном интервале.

Вычислим это значение:

$f(\frac{\sqrt{5}}{2}) = (\frac{\sqrt{5}}{2})^3 \sqrt{5 - 3(\frac{\sqrt{5}}{2})^2} = \frac{5\sqrt{5}}{8} \sqrt{5 - 3 \cdot \frac{5}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{8} \sqrt{5 - \frac{15}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{8} \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{8} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{25}{16}$.

Ответ: $\frac{25}{16}$.

2)

Чтобы найти наибольшее значение функции $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$ на интервале $(0; 1)$, найдем ее критические точки.

Область определения функции задается условием $1 - x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 1$, или $-1 \le x \le 1$. Заданный интервал $(0; 1)$ входит в область определения.

На интервале $(0; 1)$ функция $f(x)$ принимает положительные значения. Следовательно, точка максимума функции $f(x)$ совпадает с точкой максимума функции $g(x) = (f(x))^2$.

$g(x) = (x\sqrt{1 - x^2})^2 = x^2(1 - x^2) = x^2 - x^4$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (x^2 - x^4)' = 2x - 4x^3 = 2x(1 - 2x^2)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$2x(1 - 2x^2) = 0$.

Решениями уравнения являются $x = 0$ и $1 - 2x^2 = 0$. Из второго уравнения получаем $x^2 = 1/2$, откуда $x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выберем критические точки, принадлежащие заданному интервалу $(0; 1)$.

Точка $x=0$ не входит в открытый интервал. Точка $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ также не входит в интервал.

Точка $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ принадлежит интервалу $(0; 1)$, так как $0 < \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 < 1$.

Определим знак производной $g'(x) = 2x(1 - 2x^2)$ на интервалах, на которые точка $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ делит интервал $(0; 1)$.

При $x \in (0; \frac{\sqrt{2}}{2})$, имеем $x^2 < 1/2$, поэтому $1-2x^2 > 0$. Так как $2x > 0$, то $g'(x) > 0$, и функция возрастает.

При $x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}; 1)$, имеем $x^2 > 1/2$, поэтому $1-2x^2 < 0$. Так как $2x > 0$, то $g'(x) < 0$, и функция убывает.

Следовательно, в точке $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ функция $f(x)$ достигает своего наибольшего значения на данном интервале.

Вычислим это значение:

$f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.