Номер 342, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе III - номер 342, страница 136.

Условие.

Рис. 83

Рис. 84

Обозначая $BK=x$, найти такое значение $x$, при котором площадь треугольника наименьшая.

342. Из квадратного листа картона со стороной $a$ (рис. 83) надо сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по углам квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой должна быть высота коробки, чтобы её объём был наибольшим?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть сторона исходного квадратного листа картона равна $a$. Согласно условию, для изготовления коробки по углам листа вырезают одинаковые квадраты. Обозначим сторону вырезанного квадрата как $x$.

После того как квадраты вырезаны, образовавшиеся края загибают вверх. Высота полученной коробки будет равна стороне вырезанного квадрата, то есть $h = x$.

Основанием коробки будет квадрат, поскольку исходный лист был квадратным. Длина стороны этого основания будет равна первоначальной длине стороны листа $a$ минус две длины сторон вырезанных квадратов (по одной с каждой стороны). Таким образом, длина и ширина основания коробки равны $l = w = a - 2x$.

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда (коробки) вычисляется по формуле $V = \text{длина} \cdot \text{ширина} \cdot \text{высота}$. Для нашей коробки объём будет функцией от $x$:
$V(x) = (a - 2x) \cdot (a - 2x) \cdot x = (a - 2x)^2 x$.

Нам необходимо найти значение $x$, при котором объём $V(x)$ будет максимальным.

Сначала определим область допустимых значений для переменной $x$. Так как $x$ представляет собой длину, она должна быть положительной: $x > 0$. Кроме того, длина стороны основания коробки также должна быть положительной: $a - 2x > 0$, что означает $a > 2x$, или $x < \frac{a}{2}$. Следовательно, $x$ должен находиться в интервале $(0; \frac{a}{2})$.

Для нахождения экстремумов функции $V(x)$ найдем её производную по $x$. Для удобства дифференцирования раскроем скобки в выражении для объёма:
$V(x) = (a^2 - 4ax + 4x^2)x = a^2x - 4ax^2 + 4x^3$.

Теперь вычислим производную $V'(x)$:
$V'(x) = \frac{d}{dx}(a^2x - 4ax^2 + 4x^3) = a^2 - 8ax + 12x^2$.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
$12x^2 - 8ax + a^2 = 0$.

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-(-8a) \pm \sqrt{(-8a)^2 - 4 \cdot 12 \cdot a^2}}{2 \cdot 12} = \frac{8a \pm \sqrt{64a^2 - 48a^2}}{24} = \frac{8a \pm \sqrt{16a^2}}{24} = \frac{8a \pm 4a}{24}$.

Это дает нам два возможных значения для $x$:
$x_1 = \frac{8a + 4a}{24} = \frac{12a}{24} = \frac{a}{2}$.
$x_2 = \frac{8a - 4a}{24} = \frac{4a}{24} = \frac{a}{6}$.

Теперь нужно проверить, какие из этих значений входят в нашу область допустимых значений $(0; \frac{a}{2})$.
Корень $x_1 = \frac{a}{2}$ является граничной точкой интервала. При этом значении $x$ объём коробки равен нулю ($V(\frac{a}{2}) = (a - 2\frac{a}{2})^2 \frac{a}{2} = 0$), что очевидно не является максимумом.
Корень $x_2 = \frac{a}{6}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{a}{6} < \frac{a}{2}$ (так как $a > 0$), поэтому он является кандидатом на точку максимума.

Для проверки того, что $x = \frac{a}{6}$ действительно является точкой максимума, используем тест второй производной. Найдем вторую производную $V''(x)$:
$V''(x) = \frac{d}{dx}(12x^2 - 8ax + a^2) = 24x - 8a$.

Вычислим значение второй производной в точке $x = \frac{a}{6}$:
$V''(\frac{a}{6}) = 24(\frac{a}{6}) - 8a = 4a - 8a = -4a$.

Поскольку сторона листа картона $a$ является положительной величиной ($a > 0$), то $V''(\frac{a}{6}) = -4a < 0$. Отрицательное значение второй производной в критической точке указывает на то, что это точка локального максимума.

Следовательно, объём коробки будет наибольшим, когда высота коробки $x$ равна $\frac{a}{6}$.

Ответ: Высота коробки должна быть равна $\frac{a}{6}$.