Номер 345, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 345, страница 136.

Условие.

345. Найти точки экстремума функции $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать знак производной в окрестности этих точек.

1. Находим область определения функции

Дана функция $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2}$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем корни знаменателя: $x^2 + 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$. Отсюда находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Находим производную функции

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x^2 - 3x + 2$, тогда $u'(x) = 2x - 3$.

Пусть $v(x) = x^2 + 3x + 2$, тогда $v'(x) = 2x + 3$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(2x - 3)(x^2 + 3x + 2) - (x^2 - 3x + 2)(2x + 3)}{(x^2 + 3x + 2)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$(2x - 3)(x^2 + 3x + 2) = 2x^3 + 6x^2 + 4x - 3x^2 - 9x - 6 = 2x^3 + 3x^2 - 5x - 6$

$(x^2 - 3x + 2)(2x + 3) = 2x^3 + 3x^2 - 6x^2 - 9x + 4x + 6 = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6$

Вычтем второе из первого:

$(2x^3 + 3x^2 - 5x - 6) - (2x^3 - 3x^2 - 5x + 6) = 2x^3 + 3x^2 - 5x - 6 - 2x^3 + 3x^2 + 5x - 6 = 6x^2 - 12$

Таким образом, производная равна:

$y' = \frac{6x^2 - 12}{(x^2 + 3x + 2)^2} = \frac{6(x^2 - 2)}{(x^2 + 3x + 2)^2}$

3. Находим критические точки

Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. В нашем случае производная существует во всей области определения функции. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$y' = 0 \implies \frac{6(x^2 - 2)}{(x^2 + 3x + 2)^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$6(x^2 - 2) = 0$

$x^2 - 2 = 0$

$x^2 = 2$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

Обе эти точки входят в область определения функции.

4. Исследуем знак производной

Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками. Точки, которые нужно отметить на числовой оси: $-2, -\sqrt{2}, -1, \sqrt{2}$.

Знак производной $y' = \frac{6(x^2 - 2)}{(x^2 + 3x + 2)^2}$ зависит только от знака числителя $6(x^2 - 2)$, так как знаменатель $(x^2 + 3x + 2)^2$ всегда положителен в области определения.

• При $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -\sqrt{2})$, например $x=-3$, $y' \sim (-3)^2-2 = 7 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-\sqrt{2}, -1)$, например $x=-1.2$, $y' \sim (-1.2)^2-2 = 1.44-2 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1, \sqrt{2})$, например $x=0$, $y' \sim 0^2-2 = -2 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (\sqrt{2}, +\infty)$, например $x=2$, $y' \sim 2^2-2 = 2 > 0$, функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума

На основе анализа знаков производной делаем выводы:

• В точке $x = -\sqrt{2}$ производная меняет знак с «+» на «-». Следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = \sqrt{2}$ производная меняет знак с «-» на «+». Следовательно, это точка локального минимума.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -\sqrt{2}$, точка минимума $x_{min} = \sqrt{2}$.