Номер 350, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 350, страница 137.

Условие.

350. Прочность балки на изгиб пропорциональна ширине и квадрату высоты балки. Для изготовления из цилиндрического бревна балки прямоугольного сечения максимальной прочности торец бревна размечают так, как показано на рисунке 85: диаметр AC делят точками M и N на три равные части, $MB \perp AC$ и $ND \perp AC$. Верна ли такая разметка для изготовления максимально прочной балки?

Рис. 85

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы определить, верна ли предложенная разметка для изготовления балки максимальной прочности, необходимо сначала найти теоретические размеры балки, обеспечивающие эту максимальную прочность, а затем сравнить их с размерами, получаемыми по предложенной схеме.

По условию, прочность балки $P$ на изгиб пропорциональна ее ширине $w$ и квадрату высоты $h$. Это можно записать в виде формулы: $P = k \cdot w \cdot h^2$, где $k$ — некоторый постоянный коэффициент. Для достижения максимальной прочности необходимо максимизировать величину $S = w \cdot h^2$.

Балка вырезается из цилиндрического бревна, поэтому ее прямоугольное сечение вписано в круг, являющийся торцом бревна. Пусть диаметр этого круга равен $d$. Тогда ширина $w$ и высота $h$ прямоугольного сечения связаны теоремой Пифагора, так как диагональ прямоугольника равна диаметру круга:

$w^2 + h^2 = d^2$

1. Нахождение оптимальных размеров балки для максимальной прочности

Мы хотим максимизировать функцию $S = w \cdot h^2$ при условии $w^2 + h^2 = d^2$. Выразим $h^2$ из условия и подставим в функцию $S$:

$h^2 = d^2 - w^2$

$S(w) = w(d^2 - w^2) = d^2w - w^3$

Для нахождения максимума этой функции найдем ее производную по $w$ и приравняем к нулю. Область определения для ширины $w$ — это $(0, d)$.

$S'(w) = \frac{dS}{dw} = d^2 - 3w^2$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$d^2 - 3w^2 = 0 \implies 3w^2 = d^2 \implies w^2 = \frac{d^2}{3}$

Поскольку ширина $w$ должна быть положительной, получаем:

$w_{opt} = \frac{d}{\sqrt{3}}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную: $S''(w) = -6w$. Так как $w>0$, вторая производная отрицательна, что подтверждает наличие максимума.

Теперь найдем соответствующую оптимальную высоту $h_{opt}$:

$h_{opt}^2 = d^2 - w_{opt}^2 = d^2 - \frac{d^2}{3} = \frac{2d^2}{3}$

$h_{opt} = \sqrt{\frac{2d^2}{3}} = d\sqrt{\frac{2}{3}}$

Итак, максимальная прочность достигается при размерах балки $w = \frac{d}{\sqrt{3}}$ и $h = d\sqrt{\frac{2}{3}}$.

2. Анализ размеров балки согласно предложенной разметке

Согласно условию, диаметр $AC$ (длиной $d$) делится на три равные части точками $M$ и $N$. Это означает, что $AM = MN = NC = \frac{d}{3}$.

Пусть центр круга $O$ является началом координат, а диаметр $AC$ лежит на оси Ox. Тогда радиус круга $R = d/2$. Координаты точек $M$ и $N$ можно найти как $x_M = -R + \frac{2R}{3} = -\frac{R}{3}$ и $x_N = \frac{R}{3}$.

Прямоугольное сечение балки строится так, что его вертикальные стороны проходят через точки $M$ и $N$. Ширина балки $w_{constr}$ будет равна расстоянию между этими точками:

$w_{constr} = MN = \frac{d}{3}$

Вершины прямоугольника лежат на окружности. Найдем высоту балки. Ее половина, например, отрезок $BM$, является катетом в прямоугольном треугольнике $OMB$, где $OB$ — радиус $R$, а $OM$ — расстояние от центра до точки $M$, равное $R/3 = d/6$. По теореме Пифагора:

$BM^2 = OB^2 - OM^2 = R^2 - (\frac{R}{3})^2 = R^2 - \frac{R^2}{9} = \frac{8R^2}{9}$

Полная высота балки $h_{constr}$ равна $2 \cdot BM$:

$h_{constr} = 2 \cdot \sqrt{\frac{8R^2}{9}} = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}R}{3} = \frac{4\sqrt{2}R}{3}$

Подставив $R = d/2$, получим:

$h_{constr} = \frac{4\sqrt{2}(d/2)}{3} = \frac{2\sqrt{2}d}{3}$

3. Сравнение и вывод

Теперь сравним размеры, полученные двумя способами.

Оптимальные размеры: $w_{opt} = \frac{d}{\sqrt{3}} \approx 0.577d$, $h_{opt} = d\sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.816d$.

Размеры по разметке: $w_{constr} = \frac{d}{3} \approx 0.333d$, $h_{constr} = \frac{2\sqrt{2}d}{3} \approx 0.943d$.

Как видно, $w_{constr} \ne w_{opt}$ и $h_{constr} \ne h_{opt}$. Размеры, полученные по предложенной схеме, не совпадают с оптимальными.

Чтобы окончательно убедиться, сравним значения прочностной характеристики $S = w h^2$ для обоих случаев.

Для оптимальной балки:

$S_{opt} = w_{opt} \cdot h_{opt}^2 = \frac{d}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2d^2}{3} = \frac{2d^3}{3\sqrt{3}} \approx \frac{2d^3}{3 \cdot 1.732} \approx 0.385d^3$

Для балки, полученной по разметке:

$S_{constr} = w_{constr} \cdot h_{constr}^2 = \frac{d}{3} \cdot \left(\frac{2\sqrt{2}d}{3}\right)^2 = \frac{d}{3} \cdot \frac{8d^2}{9} = \frac{8d^3}{27} \approx 0.296d^3$

Поскольку $S_{constr} < S_{opt}$, предложенный способ разметки не позволяет изготовить балку максимальной прочности.

Ответ: Нет, данная разметка не является верной для изготовления балки максимальной прочности, поскольку получаемые размеры не обеспечивают максимум функции прочности $P \sim w h^2$.