Страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

349. Полевой стан расположен в 9 км от ближайшей к нему точки шоссе. От этой точки до посёлка 15 км. Велосипедист должен из посёлка доехать до полевого стана. На каком расстоянии от посёлка после движения по шоссе ему следует свернуть в поле и ехать по прямой до полевого стана, чтобы время в пути было наименьшим? Известно, что скорость велосипедиста по шоссе 10 км/ч, а по полю — 8 км/ч.

Для решения задачи необходимо найти такое расстояние, при котором общее время в пути велосипедиста будет минимальным. Для этого составим функцию, описывающую зависимость времени от точки съезда с шоссе, и найдем ее минимум.

Введем систему координат. Пусть шоссе совпадает с осью Ox, посёлок находится в точке П с координатой $x=0$. Ближайшая к полевому стану точка на шоссе, назовем ее Н, имеет координату $x=15$. Полевой стан, точка С, находится на расстоянии 9 км от шоссе, поэтому его координаты будут $(15, 9)$.

Пусть велосипедист съезжает с шоссе в точке Т, проехав от посёлка расстояние $x$. Координаты точки Т будут $(x, 0)$. Диапазон возможных значений для $x$ — от 0 до 15 км, то есть $x \in [0, 15]$.

Путь велосипедиста состоит из двух участков:

1. Движение по шоссе от точки П(0,0) до точки Т(x,0). Длина этого участка равна $x$ км.
2. Движение по полю от точки Т(x,0) до точки С(15,9). Длина этого участка — это расстояние между двумя точками, которое находится по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ $d_{ТС} = \sqrt{(15-x)^2 + (9-0)^2} = \sqrt{(15-x)^2 + 81}$ км.

Время в пути вычисляется по формуле $t = S/v$.

Время движения по шоссе ($v_{шоссе} = 10$ км/ч):

$t_{шоссе} = \frac{x}{10}$ ч.

Время движения по полю ($v_{поле} = 8$ км/ч):

$t_{поле} = \frac{\sqrt{(15-x)^2 + 81}}{8}$ ч.

Общее время в пути $T(x)$ является суммой времени движения по шоссе и по полю:

$T(x) = \frac{x}{10} + \frac{\sqrt{(15-x)^2 + 81}}{8}$

Для нахождения минимального времени найдем производную функции $T(x)$ по $x$ и приравняем ее к нулю.

$T'(x) = \left(\frac{x}{10} + \frac{\sqrt{(15-x)^2 + 81}}{8}\right)'$

$T'(x) = \frac{1}{10} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2\sqrt{(15-x)^2 + 81}} \cdot (2(15-x) \cdot (-1))$

$T'(x) = \frac{1}{10} - \frac{15-x}{8\sqrt{(15-x)^2 + 81}}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$T'(x) = 0 \implies \frac{1}{10} = \frac{15-x}{8\sqrt{(15-x)^2 + 81}}$

Возведем обе части в квадрат, учитывая, что $15-x$ должно быть положительным (так как левая часть положительна), т.е. $x<15$.

$8\sqrt{(15-x)^2 + 81} = 10(15-x)$

$64((15-x)^2 + 81) = 100(15-x)^2$

$64(15-x)^2 + 64 \cdot 81 = 100(15-x)^2$

$64 \cdot 81 = 100(15-x)^2 - 64(15-x)^2$

$5184 = 36(15-x)^2$

$(15-x)^2 = \frac{5184}{36} = 144$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$15-x = \pm 12$

Рассмотрим два случая:

1. $15 - x = 12 \implies x = 15 - 12 = 3$
2. $15 - x = -12 \implies x = 15 + 12 = 27$

Решение $x = 27$ не принадлежит отрезку $[0, 15]$, поэтому мы его отбрасываем. Единственная критическая точка на рассматриваемом интервале — $x=3$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, проверим знак производной $T'(x)$ на интервалах $(0, 3)$ и $(3, 15)$.

• При $x<3$ (например, $x=0$), $T'(0) = \frac{1}{10} - \frac{15}{8\sqrt{15^2+81}} = \frac{1}{10} - \frac{15}{8\sqrt{306}} \approx 0.1 - 0.107 < 0$, функция убывает.
• При $x>3$ (например, $x=15$), $T'(15) = \frac{1}{10} - \frac{0}{8\sqrt{0+81}} = \frac{1}{10} > 0$, функция возрастает.

Так как производная меняет знак с "-" на "+" в точке $x=3$, эта точка является точкой минимума. Следовательно, наименьшее время в пути будет достигнуто, если велосипедист свернет с шоссе, проехав 3 км от посёлка.

Ответ: Велосипедисту следует свернуть в поле на расстоянии 3 км от посёлка.

350. Прочность балки на изгиб пропорциональна ширине и квадрату высоты балки. Для изготовления из цилиндрического бревна балки прямоугольного сечения максимальной прочности торец бревна размечают так, как показано на рисунке 85: диаметр AC делят точками M и N на три равные части, $MB \perp AC$ и $ND \perp AC$. Верна ли такая разметка для изготовления максимально прочной балки?

Рис. 85

Для того чтобы определить, верна ли предложенная разметка для изготовления балки максимальной прочности, необходимо сначала найти теоретические размеры балки, обеспечивающие эту максимальную прочность, а затем сравнить их с размерами, получаемыми по предложенной схеме.

По условию, прочность балки $P$ на изгиб пропорциональна ее ширине $w$ и квадрату высоты $h$. Это можно записать в виде формулы: $P = k \cdot w \cdot h^2$, где $k$ — некоторый постоянный коэффициент. Для достижения максимальной прочности необходимо максимизировать величину $S = w \cdot h^2$.

Балка вырезается из цилиндрического бревна, поэтому ее прямоугольное сечение вписано в круг, являющийся торцом бревна. Пусть диаметр этого круга равен $d$. Тогда ширина $w$ и высота $h$ прямоугольного сечения связаны теоремой Пифагора, так как диагональ прямоугольника равна диаметру круга:

$w^2 + h^2 = d^2$

1. Нахождение оптимальных размеров балки для максимальной прочности

Мы хотим максимизировать функцию $S = w \cdot h^2$ при условии $w^2 + h^2 = d^2$. Выразим $h^2$ из условия и подставим в функцию $S$:

$h^2 = d^2 - w^2$

$S(w) = w(d^2 - w^2) = d^2w - w^3$

Для нахождения максимума этой функции найдем ее производную по $w$ и приравняем к нулю. Область определения для ширины $w$ — это $(0, d)$.

$S'(w) = \frac{dS}{dw} = d^2 - 3w^2$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$d^2 - 3w^2 = 0 \implies 3w^2 = d^2 \implies w^2 = \frac{d^2}{3}$

Поскольку ширина $w$ должна быть положительной, получаем:

$w_{opt} = \frac{d}{\sqrt{3}}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную: $S''(w) = -6w$. Так как $w>0$, вторая производная отрицательна, что подтверждает наличие максимума.

Теперь найдем соответствующую оптимальную высоту $h_{opt}$:

$h_{opt}^2 = d^2 - w_{opt}^2 = d^2 - \frac{d^2}{3} = \frac{2d^2}{3}$

$h_{opt} = \sqrt{\frac{2d^2}{3}} = d\sqrt{\frac{2}{3}}$

Итак, максимальная прочность достигается при размерах балки $w = \frac{d}{\sqrt{3}}$ и $h = d\sqrt{\frac{2}{3}}$.

2. Анализ размеров балки согласно предложенной разметке

Согласно условию, диаметр $AC$ (длиной $d$) делится на три равные части точками $M$ и $N$. Это означает, что $AM = MN = NC = \frac{d}{3}$.

Пусть центр круга $O$ является началом координат, а диаметр $AC$ лежит на оси Ox. Тогда радиус круга $R = d/2$. Координаты точек $M$ и $N$ можно найти как $x_M = -R + \frac{2R}{3} = -\frac{R}{3}$ и $x_N = \frac{R}{3}$.

Прямоугольное сечение балки строится так, что его вертикальные стороны проходят через точки $M$ и $N$. Ширина балки $w_{constr}$ будет равна расстоянию между этими точками:

$w_{constr} = MN = \frac{d}{3}$

Вершины прямоугольника лежат на окружности. Найдем высоту балки. Ее половина, например, отрезок $BM$, является катетом в прямоугольном треугольнике $OMB$, где $OB$ — радиус $R$, а $OM$ — расстояние от центра до точки $M$, равное $R/3 = d/6$. По теореме Пифагора:

$BM^2 = OB^2 - OM^2 = R^2 - (\frac{R}{3})^2 = R^2 - \frac{R^2}{9} = \frac{8R^2}{9}$

Полная высота балки $h_{constr}$ равна $2 \cdot BM$:

$h_{constr} = 2 \cdot \sqrt{\frac{8R^2}{9}} = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}R}{3} = \frac{4\sqrt{2}R}{3}$

Подставив $R = d/2$, получим:

$h_{constr} = \frac{4\sqrt{2}(d/2)}{3} = \frac{2\sqrt{2}d}{3}$

3. Сравнение и вывод

Теперь сравним размеры, полученные двумя способами.

Оптимальные размеры: $w_{opt} = \frac{d}{\sqrt{3}} \approx 0.577d$, $h_{opt} = d\sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.816d$.

Размеры по разметке: $w_{constr} = \frac{d}{3} \approx 0.333d$, $h_{constr} = \frac{2\sqrt{2}d}{3} \approx 0.943d$.

Как видно, $w_{constr} \ne w_{opt}$ и $h_{constr} \ne h_{opt}$. Размеры, полученные по предложенной схеме, не совпадают с оптимальными.

Чтобы окончательно убедиться, сравним значения прочностной характеристики $S = w h^2$ для обоих случаев.

Для оптимальной балки:

$S_{opt} = w_{opt} \cdot h_{opt}^2 = \frac{d}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2d^2}{3} = \frac{2d^3}{3\sqrt{3}} \approx \frac{2d^3}{3 \cdot 1.732} \approx 0.385d^3$

Для балки, полученной по разметке:

$S_{constr} = w_{constr} \cdot h_{constr}^2 = \frac{d}{3} \cdot \left(\frac{2\sqrt{2}d}{3}\right)^2 = \frac{d}{3} \cdot \frac{8d^2}{9} = \frac{8d^3}{27} \approx 0.296d^3$

Поскольку $S_{constr} < S_{opt}$, предложенный способ разметки не позволяет изготовить балку максимальной прочности.

Ответ: Нет, данная разметка не является верной для изготовления балки максимальной прочности, поскольку получаемые размеры не обеспечивают максимум функции прочности $P \sim w h^2$.

351. Два автомобиля едут с одинаковыми скоростями $v$ по пересекающимся под прямым углом дорогами. Каким будет наименьшее расстояние между автомобилями, если в начале движения они находились на расстояниях $a$ и $b$ соответственно от места пересечения дорог?

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть дороги, по которым движутся автомобили, совпадают с осями координат Ox и Oy. Пересечение дорог будет находиться в начале координат, в точке (0, 0).

Пусть в начальный момент времени $t=0$ первый автомобиль находится на оси Ox на расстоянии a от перекрестка, а второй — на оси Oy на расстоянии b от перекрестка. Предположим, что оба автомобиля движутся по направлению к перекрестку. Скорость каждого автомобиля по модулю равна $v$.

В произвольный момент времени t положение первого автомобиля можно описать координатой $x_1(t) = a - vt$, а положение второго — координатой $y_2(t) = b - vt$. (Мы можем выбрать положительные направления осей так, чтобы начальные координаты были $a > 0$ и $b > 0$, а скорости были направлены в сторону уменьшения координат).

Расстояние d между автомобилями в момент времени t определяется по теореме Пифагора. Для удобства будем работать с квадратом расстояния $d^2$:

$d^2(t) = (x_1(t))^2 + (y_2(t))^2 = (a - vt)^2 + (b - vt)^2$

Чтобы найти наименьшее расстояние, необходимо найти минимум функции $d(t)$, что равносильно нахождению минимума функции $d^2(t)$. Раскроем скобки в выражении для $d^2(t)$:

$d^2(t) = a^2 - 2avt + v^2t^2 + b^2 - 2bvt + v^2t^2 = 2v^2t^2 - 2v(a+b)t + a^2 + b^2$

Это выражение является квадратичной функцией относительно времени t. Чтобы найти ее минимум, возьмем производную по t и приравняем ее к нулю:

$\frac{d(d^2)}{dt} = 4v^2t - 2v(a+b)$

Приравнивая производную к нулю, найдем момент времени $t_{min}$, когда расстояние будет минимальным:

$4v^2t_{min} - 2v(a+b) = 0$

$4v^2t_{min} = 2v(a+b)$

$t_{min} = \frac{2v(a+b)}{4v^2} = \frac{a+b}{2v}$

Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно проверить знак второй производной: $\frac{d^2(d^2)}{dt^2} = 4v^2$. Так как скорость $v > 0$, вторая производная положительна, следовательно, в найденной точке действительно достигается минимум.

Теперь подставим найденное значение $t_{min}$ в выражение для квадрата расстояния, чтобы найти его минимальное значение:

$d_{min}^2 = (a - v \cdot \frac{a+b}{2v})^2 + (b - v \cdot \frac{a+b}{2v})^2$

$d_{min}^2 = (a - \frac{a+b}{2})^2 + (b - \frac{a+b}{2})^2$

$d_{min}^2 = (\frac{2a - a - b}{2})^2 + (\frac{2b - a - b}{2})^2$

$d_{min}^2 = (\frac{a - b}{2})^2 + (\frac{b - a}{2})^2$

Поскольку $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$, получаем:

$d_{min}^2 = \frac{(a-b)^2}{4} + \frac{(a-b)^2}{4} = \frac{2(a-b)^2}{4} = \frac{(a-b)^2}{2}$

Искомое наименьшее расстояние $d_{min}$ равно квадратному корню из этого выражения:

$d_{min} = \sqrt{\frac{(a-b)^2}{2}} = \frac{\sqrt{(a-b)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$

Результат можно также записать в виде $d_{min} = \frac{|a-b|\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Наименьшее расстояние между автомобилями будет равно $\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$.

1. Какая функция называется возрастающей (убывающей)?

Возрастающая функция

Функция $y = f(x)$ называется возрастающей (или строго возрастающей) на некотором промежутке, если для любых двух произвольных значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Проще говоря, при увеличении аргумента $x$ значение функции $f(x)$ также увеличивается. График такой функции при движении слева направо всегда «поднимается вверх». Если функция дифференцируема на некотором интервале, то достаточным условием её возрастания является положительность её производной ($f'(x) > 0$) на всем этом интервале.

Ответ: Функция называется возрастающей на промежутке, если для любых двух точек из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Формально: для любых $x_1, x_2$ из данного промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

Убывающая функция

Функция $y = f(x)$ называется убывающей (или строго убывающей) на некотором промежутке, если для любых двух произвольных значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Проще говоря, при увеличении аргумента $x$ значение функции $f(x)$ уменьшается. График такой функции при движении слева направо всегда «опускается вниз». Если функция дифференцируема на некотором интервале, то достаточным условием её убывания является отрицательность её производной ($f'(x) < 0$) на всем этом интервале.

Ответ: Функция называется убывающей на промежутке, если для любых двух точек из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Формально: для любых $x_1, x_2$ из данного промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

2. Сформулировать достаточное условие возрастания (убывания) функции.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции, также известное как признак монотонности функции, связывает знак производной функции на некотором промежутке с характером её монотонности на этом промежутке. Теорема формулируется для функции, которая непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале.

Достаточное условие возрастания функции

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и её производная $f'(x)$ положительна для всех $x$ из интервала $(a, b)$, то функция $f(x)$ строго возрастает на отрезке $[a, b]$.

Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[a, b]$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется строгое неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Геометрический смысл этого условия заключается в том, что касательная к графику функции в каждой точке интервала $(a, b)$ образует острый угол с положительным направлением оси $Ox$, то есть график функции "идёт вверх".

Доказательство этого утверждения основывается на теореме Лагранжа о среднем значении. Согласно этой теореме, для любых $x_1, x_2 \in [a, b]$ ($x_1 < x_2$) существует точка $c \in (x_1, x_2)$ такая, что $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c)$. Поскольку $x_2 - x_1 > 0$ и по условию $f'(c) > 0$, то и числитель $f(x_2) - f(x_1)$ должен быть больше нуля, откуда следует $f(x_2) > f(x_1)$.

Замечание: Если производная неотрицательна ($f'(x) \ge 0$) на интервале $(a, b)$ и равна нулю лишь в отдельных точках, то функция является возрастающей (нестрого) на отрезке $[a, b]$.

Ответ: Если функция непрерывна на отрезке, а ее производная положительна во всех внутренних точках этого отрезка ($f'(x) > 0$), то функция строго возрастает на данном отрезке.

Достаточное условие убывания функции

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и её производная $f'(x)$ отрицательна для всех $x$ из интервала $(a, b)$, то функция $f(x)$ строго убывает на отрезке $[a, b]$.

Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[a, b]$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется строгое неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Геометрический смысл этого условия заключается в том, что касательная к графику функции в каждой точке интервала $(a, b)$ образует тупой угол с положительным направлением оси $Ox$, то есть график функции "идёт вниз".

Доказательство аналогично предыдущему пункту и также использует теорему Лагранжа. Из условия $f'(c) < 0$ и $x_2 - x_1 > 0$ следует, что $f(x_2) - f(x_1) < 0$, то есть $f(x_2) < f(x_1)$.

Замечание: Если производная неположительна ($f'(x) \le 0$) на интервале $(a, b)$ и равна нулю лишь в отдельных точках, то функция является убывающей (нестрого) на отрезке $[a, b]$.

Ответ: Если функция непрерывна на отрезке, а ее производная отрицательна во всех внутренних точках этого отрезка ($f'(x) < 0$), то функция строго убывает на данном отрезке.

3. Сформулировать определение точки максимума (минимума) функции.

Точка максимума
Точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой локального максимума (или просто точкой максимума), если существует такая окрестность этой точки, например, интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ при некотором $\delta > 0$, что для всех точек $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$. Иными словами, значение функции в точке $x_0$ является наибольшим по сравнению со значениями функции во всех достаточно близких к ней точках. Само значение $y_{max} = f(x_0)$ называется максимумом функции.
Ответ: Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность $U(x_0)$ точки $x_0$, что для любого $x \in U(x_0)$ выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

Точка минимума
Точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой локального минимума (или просто точкой минимума), если существует такая окрестность этой точки, например, интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ при некотором $\delta > 0$, что для всех точек $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. Иными словами, значение функции в точке $x_0$ является наименьшим по сравнению со значениями функции во всех достаточно близких к ней точках. Само значение $y_{min} = f(x_0)$ называется минимумом функции.
Ответ: Точка $x_0$ называется точкой минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность $U(x_0)$ точки $x_0$, что для любого $x \in U(x_0)$ выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.

4. Сформулировать теорему Ферма.

Поскольку название "теорема Ферма" может относиться к нескольким различным утверждениям в математике, приведем формулировки наиболее известных из них.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)

Эта теорема является фундаментальным результатом в дифференциальном исчислении и устанавливает связь между производной функции и ее точками локального экстремума.

Формулировка:
Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и дифференцируема в этой точке. Если $x_0$ является точкой локального экстремума (то есть локального максимума или локального минимума) функции $f(x)$, то ее производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Пояснение:
Теорема дает необходимое, но не достаточное условие экстремума. Это означает, что если в точке $x_0$ есть экстремум и существует производная, то она обязательно будет равна нулю. Однако обратное неверно: если производная равна нулю в некоторой точке, это не гарантирует наличие экстремума в этой точке. Например, для функции $f(x) = x^3$ производная $f'(x) = 3x^2$ обращается в ноль при $x=0$, но в этой точке функция не имеет экстремума, а имеет точку перегиба. Геометрически теорема означает, что касательная к графику функции в точке локального экстремума параллельна оси абсцисс.

Ответ: Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и имеет в этой точке локальный экстремум, то $f'(x_0) = 0$.

Малая теорема Ферма

Это одна из ключевых теорем элементарной теории чисел, которая широко используется в криптографии и алгоритмах.

Формулировка 1:
Если $p$ — простое число, и $a$ — целое число, не делящееся на $p$, то число $a^{p-1} - 1$ делится на $p$. В терминах сравнений по модулю это записывается так: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

Формулировка 2 (эквивалентная):
Если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$ число $a^p - a$ делится на $p$. В терминах сравнений по модулю: $a^p \equiv a \pmod{p}$.

Пояснение:
Например, пусть $p=7$ (простое число) и $a=2$ (не делится на 7). Согласно теореме, $2^{7-1} - 1 = 2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$ должно делиться на 7. Действительно, $63 = 7 \cdot 9$. Вторая формулировка удобна тем, что верна для всех целых $a$, включая кратные $p$. Если $a$ делится на $p$, то $a \equiv 0 \pmod{p}$, и очевидно, что $a^p \equiv 0 \pmod{p}$, так что $a^p \equiv a \pmod{p}$ выполняется и в этом случае.

Ответ: Если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

Великая теорема Ферма (или Последняя теорема Ферма)

Это одна из самых знаменитых теорем в истории математики, сформулированная Пьером де Ферма в 1637 году и доказанная лишь в 1994 году Эндрю Уайлсом.

Формулировка:
Для любого натурального числа $n > 2$ уравнение $a^n + b^n = c^n$ не имеет решений в натуральных (или целых ненулевых) числах $a, b, c$.

Пояснение:
При $n=2$ уравнение $a^2 + b^2 = c^2$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах, известных как пифагоровы тройки (например, $3^2 + 4^2 = 5^2$). Теорема Ферма утверждает, что для кубов ($n=3$), четвертых степеней ($n=4$) и так далее, таких троек чисел не существует. Сам Ферма оставил на полях книги "Арифметика" Диофанта заметку о том, что он нашел "поистине чудесное доказательство", но поля слишком узки, чтобы его вместить. Поиски этого доказательства занимали математиков более 350 лет.

Ответ: Уравнение $a^n + b^n = c^n$ не имеет решений в натуральных числах $a, b, c$ для любого натурального показателя $n > 2$.

5. Сформулировать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Необходимое условие экстремума для дифференцируемой функции известно как Теорема Ферма. Она формулируется следующим образом:

Если функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$, дифференцируема в этой точке и имеет в точке $x_0$ локальный экстремум (то есть локальный максимум или локальный минимум), то её производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Доказательство

Пусть для определённости точка $x_0$ является точкой локального максимума. Это означает, что существует такая окрестность точки $x_0$, например, интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ с некоторым $\delta > 0$, что для любого $x$ из этого интервала выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

Рассмотрим приращение функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ для достаточно малого по модулю приращения аргумента $\Delta x$ (то есть $|\Delta x| < \delta$). Из условия локального максимума следует, что $\Delta f \le 0$.

По определению, производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Так как по условию функция дифференцируема в точке $x_0$, этот предел существует и конечен. Рассмотрим два случая для знака $\Delta x$:

1. Пусть $\Delta x > 0$. Тогда знаменатель дроби положителен, а числитель, как мы установили, неположителен ($\Delta f \le 0$). Следовательно, вся дробь неположительна:

$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \le 0$

Переходя к пределу при $\Delta x \to 0^+$ (справа), по свойству пределов неравенств получаем:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \le 0$

2. Пусть $\Delta x < 0$. Тогда знаменатель дроби отрицателен, а числитель по-прежнему неположителен ($\Delta f \le 0$). Следовательно, вся дробь неотрицательна (деление неположительного числа на отрицательное):

$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \ge 0$

Переходя к пределу при $\Delta x \to 0^-$ (слева), получаем:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \ge 0$

Поскольку производная $f'(x_0)$ существует, односторонние пределы должны быть равны. Таким образом, мы имеем два условия одновременно: $f'(x_0) \le 0$ и $f'(x_0) \ge 0$. Единственное число, удовлетворяющее обоим этим неравенствам, — это нуль.

Следовательно, $f'(x_0) = 0$.

Доказательство для случая, когда $x_0$ — точка локального минимума, проводится аналогично. В этом случае $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \ge 0$, что приведет к обратным знакам неравенств для отношения, но в итоге также даст результат $f'(x_0) = 0$.

Геометрическая интерпретация

Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Условие $f'(x_0) = 0$ означает, что тангенс угла наклона равен нулю, а значит, сама касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс (горизонтальна).

Важное замечание

Теорема Ферма даёт только необходимое, но не достаточное условие экстремума. Если производная в точке равна нулю, это не гарантирует, что в этой точке есть экстремум. Например, для функции $f(x) = x^3$ в точке $x_0 = 0$ производная $f'(0) = 0$, но эта точка является точкой перегиба, а не экстремумом.

Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Именно среди них следует искать точки экстремума функции.

Ответ: Если дифференцируемая в точке $x_0$ функция $f(x)$ имеет в этой точке экстремум (локальный максимум или минимум), то её производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

6. Дать определение стационарной точке функции.

Стационарная точка (также известная как критическая точка первого рода) — это внутренняя точка области определения дифференцируемой функции, в которой её производная (или градиент для функции нескольких переменных) равна нулю. Такие точки являются "кандидатами" на локальные экстремумы (максимумы и минимумы) функции.

Для функции одной переменной

Пусть функция $y = f(x)$ определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки $x_0$. Точка $x_0$ называется стационарной точкой функции $f(x)$, если производная функции в этой точке равна нулю: $$f'(x_0) = 0$$ Геометрически это означает, что касательная к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ горизонтальна, то есть параллельна оси $Ox$.

Для функции нескольких переменных

Пусть дана функция нескольких переменных, например, $z = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$. Точка $M_0(x_{1_0}, x_{2_0}, \dots, x_{n_0})$ называется стационарной точкой, если все её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю. Это эквивалентно тому, что градиент функции в этой точке является нулевым вектором: $$\nabla f(M_0) = \vec{0}$$ Для функции двух переменных $z = f(x, y)$ это условие записывается в виде системы уравнений: $$ \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0 \end{cases} $$ Геометрически для функции двух переменных это означает, что касательная плоскость к поверхности $z=f(x,y)$ в точке $(x_0, y_0, f(x_0,y_0))$ горизонтальна, то есть параллельна плоскости $Oxy$.

Классификация и значение

Нахождение стационарных точек — это первый и необходимый шаг при поиске локальных экстремумов функции. Согласно необходимому условию экстремума (теореме Ферма), если дифференцируемая функция имеет в точке локальный экстремум, то эта точка обязательно является стационарной.

Однако не каждая стационарная точка является точкой экстремума. Стационарная точка может быть:
- точкой локального максимума;
- точкой локального минимума;
- точкой перегиба (для функции одной переменной) или седловой точкой (для функции нескольких переменных), которые не являются точками экстремума.
Для того чтобы определить тип стационарной точки, необходимо провести дополнительное исследование, например, с помощью анализа знака второй производной или исследования знаков определителей матрицы Гессе.

Ответ: Стационарной точкой дифференцируемой функции называется внутренняя точка её области определения, в которой производная (для функции одной переменной) или все частные производные первого порядка (для функции нескольких переменных) обращаются в ноль.

7. Дать определение критической точке функции.

Критическая точка функции — это внутренняя точка области определения функции, в которой её производная равна нулю или не существует.

Более формально, точка $x_0$ называется критической для функции $f(x)$, если выполняются два условия:

1. Функция $f(x)$ определена в окрестности точки $x_0$ (то есть $x_0$ — внутренняя точка области определения).
2. Производная $f'(x_0)$ в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Таким образом, все критические точки можно разделить на два типа:

• Точки, в которых производная функции обращается в ноль: $f'(x_0) = 0$. Такие точки также называют стационарными точками. В этих точках касательная к графику функции горизонтальна.
• Точки, в которых функция непрерывна, но её производная не существует. Типичные примеры — точки "излома" или "заострения" на графике функции.

Критические точки важны при исследовании функции на экстремумы (локальные максимумы и минимумы). Согласно необходимому условию экстремума (теореме Ферма), если в точке $x_0$ функция имеет экстремум, то эта точка является критической. Это означает, что все экстремумы функции следует искать только среди её критических точек.

Пример 1 (стационарная точка):
Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 3x$. Её область определения — все действительные числа. Найдём производную: $f'(x) = 3x^2 - 3$. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$3x^2 - 3 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = -1$, $x_2 = 1$.
Точки $x=-1$ и $x=1$ являются критическими (стационарными) точками для функции $f(x) = x^3 - 3x$.

Пример 2 (производная не существует):
Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ или $f(x) = x^{2/3}$. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Найдём её производную:
$f'(x) = \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Эта производная не равна нулю ни при каком значении $x$. Однако, в точке $x=0$ знаменатель обращается в ноль, что означает, что производная в этой точке не существует.
Поскольку функция определена в точке $x=0$, а её производная не существует, то $x=0$ является критической точкой. (График этой функции имеет "касп" или точку заострения в начале координат).

Ответ: Критическая точка функции — это внутренняя точка из области определения функции, в которой её производная равна нулю или не существует.

8. Сформулировать достаточные условия экстремума.

Достаточные условия экстремума — это признаки, позволяющие однозначно определить, является ли критическая точка функции точкой локального максимума, локального минимума или не является точкой экстремума. Критическая точка — это внутренняя точка области определения функции, в которой её первая производная равна нулю или не существует.

Достаточные условия экстремума для функции одной переменной $y=f(x)$

Пусть $x_0$ — критическая точка функции $f(x)$, и функция $f(x)$ непрерывна в этой точке.

1. Первое достаточное условие (по знаку первой производной)

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $x_0$, за исключением, возможно, самой точки $x_0$. Тогда:
– если при переходе через точку $x_0$ слева направо производная $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус, то в точке $x_0$ функция имеет локальный максимум;
– если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс, то в точке $x_0$ функция имеет локальный минимум;
– если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ не меняет знак, то в точке $x_0$ экстремума нет.

Ответ: Если первая производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−» при переходе через критическую точку $x_0$, то это точка максимума. Если знак меняется с «−» на «+», то это точка минимума. Если знак не меняется, экстремума нет.

2. Второе достаточное условие (по знаку второй производной)

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема в окрестности стационарной точки $x_0$ (то есть $f'(x_0) = 0$). Тогда:
– если $f''(x_0) < 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный максимум;
– если $f''(x_0) > 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный минимум.
Если $f''(x_0) = 0$, то данное условие не дает ответа о наличии экстремума, и требуется дополнительное исследование (например, с помощью первого достаточного условия или производных высших порядков).

Ответ: Если в стационарной точке $x_0$ (где $f'(x_0)=0$) вторая производная $f''(x_0) < 0$, то это точка максимума. Если $f''(x_0) > 0$, то это точка минимума.

3. Третье достаточное условие (по производным высших порядков)

Пусть функция $f(x)$ имеет в стационарной точке $x_0$ непрерывные производные до $n$-го порядка включительно ($n \geq 2$), и при этом: $f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$, а $f^{(n)}(x_0) \neq 0$. Тогда:
– если $n$ — четное число и $f^{(n)}(x_0) < 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный максимум;
– если $n$ — четное число и $f^{(n)}(x_0) > 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный минимум;
– если $n$ — нечетное число, то в точке $x_0$ экстремума нет (это точка перегиба).

Ответ: Если первая отличная от нуля производная в стационарной точке $x_0$ имеет четный порядок $n$ и $f^{(n)}(x_0) < 0$, то это точка максимума. Если $f^{(n)}(x_0) > 0$, то это точка минимума. Если порядок $n$ нечетный, экстремума нет.

Достаточные условия экстремума для функции двух переменных $z=f(x, y)$

Пусть $M_0(x_0, y_0)$ — стационарная точка функции $f(x, y)$, то есть точка, в которой частные производные первого порядка равны нулю: $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0$ и $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0$.
Пусть функция $f(x, y)$ имеет непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки $M_0(x_0, y_0)$. Введем обозначения для значений вторых частных производных в этой точке:
$A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0)$, $B = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0)$, $C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0)$.
Составим дискриминант (определитель матрицы Гессе):
$\Delta = AC - B^2 = \begin{vmatrix} A & B \\ B & C \end{vmatrix}$
Тогда:
– если $\Delta > 0$ и $A > 0$ (или $C>0$), то $M_0(x_0, y_0)$ — точка локального минимума;
– если $\Delta > 0$ и $A < 0$ (или $C<0$), то $M_0(x_0, y_0)$ — точка локального максимума;
– если $\Delta < 0$, то в точке $M_0(x_0, y_0)$ экстремума нет (это седловая точка);
– если $\Delta = 0$, то требуется дополнительное исследование (тест не дает ответа).

Ответ: В стационарной точке $M_0(x_0, y_0)$ функция имеет экстремум, если дискриминант $\Delta = AC - B^2 > 0$. При этом если $A < 0$, то это максимум, а если $A > 0$ — минимум. Если $\Delta < 0$, экстремума нет. Если $\Delta = 0$, тест не дает ответа.

9. Каков алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на заданном отрезке?

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)$, непрерывной на заданном отрезке $[a, b]$, используется следующий алгоритм. Он основан на том, что непрерывная на отрезке функция достигает своих экстремальных значений либо в точках экстремума (стационарных или критических точках), лежащих внутри отрезка, либо на его концах.

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти стационарные и критические точки функции. Это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.
   • Решить уравнение $f'(x) = 0$, чтобы найти стационарные точки.
   • Определить точки, в которых производная $f'(x)$ не существует (например, точки излома или точки, где знаменатель производной равен нулю). Это критические точки.
3. Выбрать точки, принадлежащие отрезку $[a, b]$. Из всех найденных на предыдущем шаге стационарных и критических точек нужно отобрать только те, которые лежат внутри отрезка $[a, b]$.
4. Вычислить значения функции в отобранных точках и на концах отрезка. Необходимо рассчитать значения функции $f(x)$ в каждой отобранной критической/стационарной точке, а также на концах отрезка, то есть найти $f(a)$ и $f(b)$.
5. Сравнить все полученные значения. Из множества значений, вычисленных на шаге 4, выбрать самое большое и самое маленькое.

Ответ: Наибольшее из вычисленных значений является наибольшим значением функции на отрезке (обозначается $\max_{[a,b]} f(x)$), а наименьшее — наименьшим значением функции на отрезке (обозначается $\min_{[a,b]} f(x)$).

10. Сформулировать теорему Лагранжа.

Теорема Лагранжа, также известная как теорема о среднем значении или теорема о конечных приращениях, является одной из фундаментальных теорем математического анализа. Она устанавливает связь между приращением функции на отрезке и значением её производной в некоторой промежуточной точке этого отрезка.

Формулировка теоремы

Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим двум условиям:

1. функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$;
2. функция $f(x)$ дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$.

Тогда на интервале $(a, b)$ найдётся по меньшей мере одна точка $c$ (то есть, $a < c < b$), такая, что выполняется равенство:

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Это равенство также называют формулой конечных приращений Лагранжа.

Геометрический смысл

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа заключается в следующем: если выполнены условия теоремы, то на дуге кривой $y=f(x)$ между точками $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ всегда найдётся такая точка $C(c, f(c))$, в которой касательная к графику функции будет параллельна хорде, соединяющей точки $A$ и $B$.

Это следует из того, что выражение $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ является тангенсом угла наклона (угловым коэффициентом) хорды $AB$, а значение производной $f'(c)$ — это тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной к графику в точке $C(c, f(c))$. Равенство этих величин означает параллельность прямых.

Физический смысл

С точки зрения физики, теорему Лагранжа можно интерпретировать так. Пусть $s(t)$ — это закон прямолинейного движения материальной точки (её координата в зависимости от времени $t$). Тогда:

• $s(b) - s(a)$ — это перемещение точки за промежуток времени $[a, b]$.
• $\frac{s(b) - s(a)}{b - a}$ — это средняя скорость движения за этот промежуток времени.
• $s'(c)$ — это мгновенная скорость в момент времени $c$.

Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что если тело движется по прямой, то в какой-то момент времени $c$ (между $a$ и $b$) его мгновенная скорость будет в точности равна его средней скорости за весь промежуток времени от $a$ до $b$. Например, если автомобиль проехал 160 км за 2 часа, его средняя скорость составила 80 км/ч. Теорема Лагранжа гарантирует, что был хотя бы один момент времени, когда показания спидометра были ровно 80 км/ч.

Следствия из теоремы

Теорема имеет важные следствия, которые часто применяются на практике:

• Достаточное условие постоянства функции. Если производная функции $f(x)$ равна нулю во всех точках некоторого интервала, то функция $f(x)$ является постоянной на этом интервале.
• Связь между функциями с равными производными. Если две функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют одинаковые производные на некотором интервале, то они отличаются на этом интервале на постоянную величину, то есть $f(x) = g(x) + C$, где $C$ — константа.

Ответ: Теорема Лагранжа о среднем значении формулируется так: если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема в каждой точке интервала $(a, b)$, то существует по крайней мере одна точка $c$ на интервале $(a, b)$ такая, что значение производной в этой точке равно отношению приращения функции к приращению аргумента на данном отрезке: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.