Номер 10, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 10, страница 137.

Условие.

10. Сформулировать теорему Лагранжа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Теорема Лагранжа, также известная как теорема о среднем значении или теорема о конечных приращениях, является одной из фундаментальных теорем математического анализа. Она устанавливает связь между приращением функции на отрезке и значением её производной в некоторой промежуточной точке этого отрезка.

Формулировка теоремы

Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим двум условиям:

1. функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$;
2. функция $f(x)$ дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$.

Тогда на интервале $(a, b)$ найдётся по меньшей мере одна точка $c$ (то есть, $a < c < b$), такая, что выполняется равенство:

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Это равенство также называют формулой конечных приращений Лагранжа.

Геометрический смысл

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа заключается в следующем: если выполнены условия теоремы, то на дуге кривой $y=f(x)$ между точками $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ всегда найдётся такая точка $C(c, f(c))$, в которой касательная к графику функции будет параллельна хорде, соединяющей точки $A$ и $B$.

Это следует из того, что выражение $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ является тангенсом угла наклона (угловым коэффициентом) хорды $AB$, а значение производной $f'(c)$ — это тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной к графику в точке $C(c, f(c))$. Равенство этих величин означает параллельность прямых.

Физический смысл

С точки зрения физики, теорему Лагранжа можно интерпретировать так. Пусть $s(t)$ — это закон прямолинейного движения материальной точки (её координата в зависимости от времени $t$). Тогда:

• $s(b) - s(a)$ — это перемещение точки за промежуток времени $[a, b]$.
• $\frac{s(b) - s(a)}{b - a}$ — это средняя скорость движения за этот промежуток времени.
• $s'(c)$ — это мгновенная скорость в момент времени $c$.

Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что если тело движется по прямой, то в какой-то момент времени $c$ (между $a$ и $b$) его мгновенная скорость будет в точности равна его средней скорости за весь промежуток времени от $a$ до $b$. Например, если автомобиль проехал 160 км за 2 часа, его средняя скорость составила 80 км/ч. Теорема Лагранжа гарантирует, что был хотя бы один момент времени, когда показания спидометра были ровно 80 км/ч.

Следствия из теоремы

Теорема имеет важные следствия, которые часто применяются на практике:

• Достаточное условие постоянства функции. Если производная функции $f(x)$ равна нулю во всех точках некоторого интервала, то функция $f(x)$ является постоянной на этом интервале.
• Связь между функциями с равными производными. Если две функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют одинаковые производные на некотором интервале, то они отличаются на этом интервале на постоянную величину, то есть $f(x) = g(x) + C$, где $C$ — константа.

Ответ: Теорема Лагранжа о среднем значении формулируется так: если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема в каждой точке интервала $(a, b)$, то существует по крайней мере одна точка $c$ на интервале $(a, b)$ такая, что значение производной в этой точке равно отношению приращения функции к приращению аргумента на данном отрезке: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.