Номер 13, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 13, страница 138.

Условие.

13. Дать определение производной второго порядка.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть функция $y = f(x)$ является дифференцируемой на некотором интервале. Тогда ее производная $y' = f'(x)$ сама является функцией, определенной на этом же интервале. Если функция $f'(x)$ также дифференцируема, то ее производную называют производной второго порядка (или второй производной) функции $f(x)$.

Таким образом, по определению, вторая производная — это производная от первой производной:

$f''(x) = (f'(x))'$

Для обозначения второй производной функции $y = f(x)$ используют следующие символы: $y''$, $f''(x)$, а также $\frac{d^2y}{dx^2}$ или $\frac{d^2f}{dx^2}$ (обозначения Лейбница).

Используя определение производной через предел, можно записать формальное определение второй производной:

$f''(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f'(x + \Delta x) - f'(x)}{\Delta x}$

Вторая производная имеет важный физический и геометрический смысл.

Физический смысл второй производной заключается в описании ускорения. Если закон движения материальной точки задан функцией $s(t)$, где $s$ — координата, а $t$ — время, то первая производная $s'(t)$ представляет собой мгновенную скорость $v(t)$, а вторая производная $s''(t)$ — мгновенное ускорение $a(t)$. То есть, $a(t) = v'(t) = s''(t)$, что показывает, насколько быстро изменяется скорость.

Геометрический смысл второй производной связан с формой графика функции. Знак второй производной определяет направление выпуклости (вогнутости) кривой. Если на некотором интервале $f''(x) > 0$, график функции является вогнутым (или выпуклым вниз). Если же $f''(x) < 0$, то график является выпуклым (или выпуклым вверх). Точки, где направление выпуклости меняется, называются точками перегиба.

Рассмотрим пример. Найдем вторую производную для функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$.

Сначала найдем первую производную: $f'(x) = (x^3 - 2x^2 + 5x - 1)' = 3x^2 - 4x + 5$.

Затем найдем производную от полученной функции: $f''(x) = (3x^2 - 4x + 5)' = 6x - 4$.

Ответ: Производной второго порядка функции $f(x)$ называется производная от ее первой производной, то есть $(f'(x))'$. Обозначается как $f''(x)$ или $\frac{d^2f}{dx^2}$.