Номер 1, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 1, страница 138.

Условие.

1. Найти промежутки монотонности функции:

1) $y = 2x^2 - 5x;$

2) $y = -\sqrt{x+4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = 2x^2 - 5x$

Чтобы найти промежутки монотонности, необходимо исследовать знак производной функции.

Шаг 1: Найти область определения функции.
Данная функция является многочленом (квадратичной функцией), поэтому она определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Шаг 2: Найти производную функции.
$y' = (2x^2 - 5x)' = (2x^2)' - (5x)' = 4x - 5$.

Шаг 3: Найти критические точки.
Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = 4x - 5$ существует на всей области определения.
Приравняем производную к нулю:
$4x - 5 = 0$
$4x = 5$
$x = \frac{5}{4} = 1.25$.
Это единственная критическая точка.

Шаг 4: Определить знаки производной на интервалах.
Критическая точка $x = 1.25$ делит числовую ось на два интервала: $(-\infty; 1.25)$ и $(1.25; +\infty)$.
- Для интервала $(-\infty; 1.25)$, выберем пробную точку $x=0$. Подставим в производную: $y'(0) = 4(0) - 5 = -5$. Так как $y' < 0$, функция на этом интервале убывает.
- Для интервала $(1.25; +\infty)$, выберем пробную точку $x=2$. Подставим в производную: $y'(2) = 4(2) - 5 = 3$. Так как $y' > 0$, функция на этом интервале возрастает.

Таким образом, функция убывает при $x \in (-\infty; 1.25]$ и возрастает при $x \in [1.25; +\infty)$.
Заметим, что график функции $y = 2x^2 - 5x$ — это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля). Вершина параболы является точкой минимума. Координата $x$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1.25$. До вершины парабола убывает, после — возрастает, что подтверждает наш результат.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1.25]$ и возрастает на промежутке $[1.25; +\infty)$.

2) $y = -\sqrt{x+4}$

Проведем исследование функции на монотонность с помощью производной.

Шаг 1: Найти область определения функции.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$.
Следовательно, область определения $D(y) = [-4; +\infty)$.

Шаг 2: Найти производную функции.
Используем правило дифференцирования сложной функции:
$y' = (-\sqrt{x+4})' = -( (x+4)^{\frac{1}{2}} )' = -\frac{1}{2}(x+4)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x+4)' = -\frac{1}{2}(x+4)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x+4}}$.

Шаг 3: Найти критические точки.
Производная $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x+4}}$ не может быть равна нулю, так как ее числитель равен -1.
Производная не существует, когда знаменатель равен нулю:
$2\sqrt{x+4} = 0 \implies x = -4$.
Точка $x = -4$ принадлежит области определения функции, поэтому это критическая точка.

Шаг 4: Определить знаки производной на интервалах.
Мы должны определить знак производной на интервале $(-4; +\infty)$.
Для любого $x > -4$, выражение $\sqrt{x+4}$ положительно. Значит, знаменатель $2\sqrt{x+4}$ также всегда положителен.
Так как числитель дроби равен -1 (отрицателен), а знаменатель положителен, вся дробь $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x+4}}$ будет отрицательной для всех $x \in (-4; +\infty)$.

Поскольку производная функции отрицательна на всем интервале $(-4; +\infty)$, функция является строго убывающей на всей своей области определения.
Это можно также понять, проанализировав график. График $y=\sqrt{x}$ является возрастающей функцией. График $y=\sqrt{x+4}$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 4 единицы влево, он также возрастающий. График $y=-\sqrt{x+4}$ получается отражением графика $y=\sqrt{x+4}$ относительно оси Ox, что меняет характер монотонности на противоположный. Таким образом, функция $y=-\sqrt{x+4}$ является убывающей.

Ответ: функция убывает на промежутке $[-4; +\infty)$.