Номер 5, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 5, страница 138.
№5 (с. 138)
Условие. №5 (с. 138)
скриншот условия

5. Отливка объёмом $72 \text{ дм}^3$ имеет форму прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон основания $1:2$. При каких размерах отливки площадь её полной поверхности будет наименьшей?
Решение 1. №5 (с. 138)

Решение 2. №5 (с. 138)

Решение 3. №5 (с. 138)
Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$ и $b$, а его высота — $h$. Согласно условию задачи, отливка имеет объем $V = 72 \text{ дм}^3$ и отношение сторон основания $1:2$.
Примем, что $a$ — меньшая сторона основания. Тогда можно записать: $a = x$ $b = 2x$ где $x$ — положительная величина.
Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$. Подставим наши значения: $72 = x \cdot (2x) \cdot h$ $72 = 2x^2h$ Отсюда выразим высоту $h$ через $x$: $h = \frac{72}{2x^2} = \frac{36}{x^2}$.
Теперь запишем формулу для площади полной поверхности параллелепипеда $S$: $S = 2(ab + ah + bh)$ Подставим в нее выражения для $a$, $b$ и $h$ через $x$, чтобы получить функцию площади $S(x)$: $S(x) = 2(x \cdot 2x + x \cdot \frac{36}{x^2} + 2x \cdot \frac{36}{x^2})$ $S(x) = 2(2x^2 + \frac{36}{x} + \frac{72}{x})$ $S(x) = 2(2x^2 + \frac{108}{x})$ $S(x) = 4x^2 + \frac{216}{x}$
Чтобы найти размеры, при которых площадь поверхности будет наименьшей, нам нужно найти минимум функции $S(x)$. Для этого найдем ее производную $S'(x)$ и приравняем ее к нулю. $S'(x) = \left(4x^2 + \frac{216}{x}\right)' = (4x^2)' + (216x^{-1})' = 8x - 216x^{-2} = 8x - \frac{216}{x^2}$.
Найдем критические точки, решив уравнение $S'(x)=0$: $8x - \frac{216}{x^2} = 0$ Так как $x$ — это длина стороны, то $x>0$. Умножим обе части уравнения на $x^2$: $8x^3 - 216 = 0$ $8x^3 = 216$ $x^3 = \frac{216}{8}$ $x^3 = 27$ $x = \sqrt[3]{27} = 3$.
Чтобы убедиться, что $x=3$ является точкой минимума, проверим знак второй производной $S''(x)$: $S''(x) = \left(8x - 216x^{-2}\right)' = 8 - (-2) \cdot 216x^{-3} = 8 + \frac{432}{x^3}$. При $x=3$, значение второй производной $S''(3) = 8 + \frac{432}{3^3} = 8 + \frac{432}{27} = 8 + 16 = 24$. Поскольку $S''(3) > 0$, точка $x=3$ является точкой минимума функции $S(x)$.
Теперь, зная $x$, мы можем найти размеры отливки:
- Меньшая сторона основания: $a = x = 3 \text{ дм}$.
- Большая сторона основания: $b = 2x = 2 \cdot 3 = 6 \text{ дм}$.
- Высота: $h = \frac{36}{x^2} = \frac{36}{3^2} = \frac{36}{9} = 4 \text{ дм}$.
Ответ: Наименьшая площадь полной поверхности будет при размерах отливки 3 дм, 6 дм и 4 дм.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 138 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 138), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.