Номер 5, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Проверь себя! - номер 5, страница 138.

Условие.

5. Отливка объёмом $72 \text{ дм}^3$ имеет форму прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон основания $1:2$. При каких размерах отливки площадь её полной поверхности будет наименьшей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$ и $b$, а его высота — $h$. Согласно условию задачи, отливка имеет объем $V = 72 \text{ дм}^3$ и отношение сторон основания $1:2$.

Примем, что $a$ — меньшая сторона основания. Тогда можно записать: $a = x$ $b = 2x$ где $x$ — положительная величина.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$. Подставим наши значения: $72 = x \cdot (2x) \cdot h$ $72 = 2x^2h$ Отсюда выразим высоту $h$ через $x$: $h = \frac{72}{2x^2} = \frac{36}{x^2}$.

Теперь запишем формулу для площади полной поверхности параллелепипеда $S$: $S = 2(ab + ah + bh)$ Подставим в нее выражения для $a$, $b$ и $h$ через $x$, чтобы получить функцию площади $S(x)$: $S(x) = 2(x \cdot 2x + x \cdot \frac{36}{x^2} + 2x \cdot \frac{36}{x^2})$ $S(x) = 2(2x^2 + \frac{36}{x} + \frac{72}{x})$ $S(x) = 2(2x^2 + \frac{108}{x})$ $S(x) = 4x^2 + \frac{216}{x}$

Чтобы найти размеры, при которых площадь поверхности будет наименьшей, нам нужно найти минимум функции $S(x)$. Для этого найдем ее производную $S'(x)$ и приравняем ее к нулю. $S'(x) = \left(4x^2 + \frac{216}{x}\right)' = (4x^2)' + (216x^{-1})' = 8x - 216x^{-2} = 8x - \frac{216}{x^2}$.

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(x)=0$: $8x - \frac{216}{x^2} = 0$ Так как $x$ — это длина стороны, то $x>0$. Умножим обе части уравнения на $x^2$: $8x^3 - 216 = 0$ $8x^3 = 216$ $x^3 = \frac{216}{8}$ $x^3 = 27$ $x = \sqrt[3]{27} = 3$.

Чтобы убедиться, что $x=3$ является точкой минимума, проверим знак второй производной $S''(x)$: $S''(x) = \left(8x - 216x^{-2}\right)' = 8 - (-2) \cdot 216x^{-3} = 8 + \frac{432}{x^3}$. При $x=3$, значение второй производной $S''(3) = 8 + \frac{432}{3^3} = 8 + \frac{432}{27} = 8 + 16 = 24$. Поскольку $S''(3) > 0$, точка $x=3$ является точкой минимума функции $S(x)$.

Теперь, зная $x$, мы можем найти размеры отливки:

• Меньшая сторона основания: $a = x = 3 \text{ дм}$.
• Большая сторона основания: $b = 2x = 2 \cdot 3 = 6 \text{ дм}$.
• Высота: $h = \frac{36}{x^2} = \frac{36}{3^2} = \frac{36}{9} = 4 \text{ дм}$.

Ответ: Наименьшая площадь полной поверхности будет при размерах отливки 3 дм, 6 дм и 4 дм.