Номер 353, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 1. Первообразная - номер 353, страница 144.

Условие.

353. Показать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) при x > 0:

1) $F(x) = \frac{3}{x}$, $f(x) = -\frac{3}{x^2}$;

2) $F(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 4$, $f(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$;

3) $F(x) = 2 - x^{\frac{3}{2}}$, $f(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$;

4) $F(x) = \sqrt{2x}$, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Условие задачи для всех пунктов: $x > 0$.

1) $F(x) = \frac{3}{x}$, $f(x) = -\frac{3}{x^2}$

Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, найдем производную функции $F(x)$.
Для удобства дифференцирования представим функцию $F(x)$ в виде степенной функции: $F(x) = 3x^{-1}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$F'(x) = (3x^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = -3x^{-2}$.
Запишем результат в виде дроби: $F'(x) = -\frac{3}{x^2}$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -\frac{3}{x^2}$ и $f(x) = -\frac{3}{x^2}$.
Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.
Ответ: Функция $F(x) = \frac{3}{x}$ является первообразной для $f(x) = -\frac{3}{x^2}$, так как $F'(x) = f(x)$.

2) $F(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 4$, $f(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$

Найдем производную функции $F(x)$.
Представим функцию $F(x)$ в виде степенной функции: $F(x) = x^{-\frac{1}{2}} + 4$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции и то, что производная константы равна нулю:
$F'(x) = (x^{-\frac{1}{2}} + 4)' = (x^{-\frac{1}{2}})' + (4)' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} + 0 = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.
Запишем результат в виде дроби: $F'(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$ и $f(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$.
Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.
Ответ: Функция $F(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 4$ является первообразной для $f(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$, так как $F'(x) = f(x)$.

3) $F(x) = 2 - x^{\frac{3}{2}}$, $f(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$

Найдем производную функции $F(x)$.
Используем правило дифференцирования степенной функции и то, что производная константы равна нулю:
$F'(x) = (2 - x^{\frac{3}{2}})' = (2)' - (x^{\frac{3}{2}})' = 0 - \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = -\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.
Представим результат с использованием знака корня: $F'(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$ и $f(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.
Ответ: Функция $F(x) = 2 - x^{\frac{3}{2}}$ является первообразной для $f(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$, так как $F'(x) = f(x)$.

4) $F(x) = \sqrt{2x}$, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$

Найдем производную функции $F(x)$. Данная функция является сложной.
Представим $F(x)$ в виде $F(x) = (2x)^{\frac{1}{2}}$.
Используем правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$, где $g(u) = u^{\frac{1}{2}}$ и $h(x) = 2x$.
Производные этих функций: $g'(u) = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$ и $h'(x) = 2$.
Находим производную $F'(x)$:
$F'(x) = \frac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x)' = \frac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = (2x)^{-\frac{1}{2}}$.
Представим результат с использованием знака корня: $F'(x) = \frac{1}{(2x)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$ и $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.
Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.
Ответ: Функция $F(x) = \sqrt{2x}$ является первообразной для $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$, так как $F'(x) = f(x)$.