Номер 353, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 1. Первообразная. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 353, страница 144.

№353 (с. 144)
Условие. №353 (с. 144)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 144, номер 353, Условие

353. Показать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) при x > 0:

1) $F(x) = \frac{3}{x}$, $f(x) = -\frac{3}{x^2}$;

2) $F(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 4$, $f(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$;

3) $F(x) = 2 - x^{\frac{3}{2}}$, $f(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$;

4) $F(x) = \sqrt{2x}$, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Решение 1. №353 (с. 144)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 144, номер 353, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 144, номер 353, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 144, номер 353, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 144, номер 353, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №353 (с. 144)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 144, номер 353, Решение 2
Решение 3. №353 (с. 144)

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Условие задачи для всех пунктов: $x > 0$.

1) $F(x) = \frac{3}{x}$, $f(x) = -\frac{3}{x^2}$

Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, найдем производную функции $F(x)$.
Для удобства дифференцирования представим функцию $F(x)$ в виде степенной функции: $F(x) = 3x^{-1}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$F'(x) = (3x^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = -3x^{-2}$.
Запишем результат в виде дроби: $F'(x) = -\frac{3}{x^2}$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -\frac{3}{x^2}$ и $f(x) = -\frac{3}{x^2}$.
Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.
Ответ: Функция $F(x) = \frac{3}{x}$ является первообразной для $f(x) = -\frac{3}{x^2}$, так как $F'(x) = f(x)$.

2) $F(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 4$, $f(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$

Найдем производную функции $F(x)$.
Представим функцию $F(x)$ в виде степенной функции: $F(x) = x^{-\frac{1}{2}} + 4$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции и то, что производная константы равна нулю:
$F'(x) = (x^{-\frac{1}{2}} + 4)' = (x^{-\frac{1}{2}})' + (4)' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} + 0 = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.
Запишем результат в виде дроби: $F'(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$ и $f(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$.
Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.
Ответ: Функция $F(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 4$ является первообразной для $f(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$, так как $F'(x) = f(x)$.

3) $F(x) = 2 - x^{\frac{3}{2}}$, $f(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$

Найдем производную функции $F(x)$.
Используем правило дифференцирования степенной функции и то, что производная константы равна нулю:
$F'(x) = (2 - x^{\frac{3}{2}})' = (2)' - (x^{\frac{3}{2}})' = 0 - \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = -\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.
Представим результат с использованием знака корня: $F'(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$ и $f(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.
Ответ: Функция $F(x) = 2 - x^{\frac{3}{2}}$ является первообразной для $f(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$, так как $F'(x) = f(x)$.

4) $F(x) = \sqrt{2x}$, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$

Найдем производную функции $F(x)$. Данная функция является сложной.
Представим $F(x)$ в виде $F(x) = (2x)^{\frac{1}{2}}$.
Используем правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$, где $g(u) = u^{\frac{1}{2}}$ и $h(x) = 2x$.
Производные этих функций: $g'(u) = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$ и $h'(x) = 2$.
Находим производную $F'(x)$:
$F'(x) = \frac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x)' = \frac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = (2x)^{-\frac{1}{2}}$.
Представим результат с использованием знака корня: $F'(x) = \frac{1}{(2x)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$ и $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.
Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.
Ответ: Функция $F(x) = \sqrt{2x}$ является первообразной для $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$, так как $F'(x) = f(x)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 353 расположенного на странице 144 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №353 (с. 144), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.