Номер 359, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Правила нахождения первообразных. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 359, страница 146.

Условие.

359. 1) $(\frac{1}{2}x - 1)^7;$

2) $(\frac{1}{3}x + 2)^5;$

3) $(2x - 3)^5;$

4) $(3x - 1)^{\frac{3}{4}};$

5) $\frac{3}{\sqrt[3]{2x - 1}};$

6) $\frac{4}{\sqrt{4x + 1}};$

7) $\sqrt{3 - 2x};$

8) $\sqrt[3]{2 - 3x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Задача состоит в нахождении первообразной для функции $f(x) = (\frac{1}{2}x - 1)^7$. Это степенная функция, аргументом которой является линейная функция $kx+b$. Для нахождения первообразной таких функций используется формула: $ \int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C $, где $C$ — произвольная постоянная. В данном случае $k = \frac{1}{2}$, $b = -1$, $n = 7$. Применяем формулу: $ F(x) = \int (\frac{1}{2}x - 1)^7 dx = \frac{1}{1/2} \cdot \frac{(\frac{1}{2}x - 1)^{7+1}}{7+1} + C = 2 \cdot \frac{(\frac{1}{2}x - 1)^8}{8} + C = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}x - 1)^8 + C $.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}x - 1)^8 + C$.

2) Найдем первообразную для функции $f(x) = (\frac{1}{3}x + 2)^5$. Используем ту же формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $k = \frac{1}{3}$, $b = 2$, $n = 5$. Подставляем значения в формулу: $ F(x) = \int (\frac{1}{3}x + 2)^5 dx = \frac{1}{1/3} \cdot \frac{(\frac{1}{3}x + 2)^{5+1}}{5+1} + C = 3 \cdot \frac{(\frac{1}{3}x + 2)^6}{6} + C = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}x + 2)^6 + C $.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}x + 2)^6 + C$.

3) Найдем первообразную для функции $f(x) = (2x - 3)^{\frac{2}{5}}$. Используем формулу для степенной функции с линейным аргументом. Здесь $k = 2$, $b = -3$, $n = \frac{2}{5}$. Первообразная находится следующим образом: $ F(x) = \int (2x - 3)^{\frac{2}{5}} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 3)^{\frac{2}{5}+1}}{\frac{2}{5}+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 3)^{\frac{7}{5}}}{\frac{7}{5}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{7} (2x - 3)^{\frac{7}{5}} + C = \frac{5}{14}(2x - 3)^{\frac{7}{5}} + C $. Ответ можно также записать в виде корня: $\frac{5}{14}\sqrt[5]{(2x-3)^7} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{5}{14}(2x - 3)^{\frac{7}{5}} + C$.

4) Найдем первообразную для функции $f(x) = (3x - 1)^{\frac{3}{4}}$. Используем ту же формулу. Здесь $k = 3$, $b = -1$, $n = \frac{3}{4}$. Вычисляем первообразную: $ F(x) = \int (3x - 1)^{\frac{3}{4}} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 1)^{\frac{3}{4}+1}}{\frac{3}{4}+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 1)^{\frac{7}{4}}}{\frac{7}{4}} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7} (3x - 1)^{\frac{7}{4}} + C = \frac{4}{21}(3x - 1)^{\frac{7}{4}} + C $. Ответ можно также записать в виде корня: $\frac{4}{21}\sqrt[4]{(3x-1)^7} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{4}{21}(3x - 1)^{\frac{7}{4}} + C$.

5) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{2x - 1}}$. Сначала представим функцию в виде степени: $f(x) = 3(2x - 1)^{-\frac{1}{3}}$. Здесь $k = 2$, $b = -1$, $n = -\frac{1}{3}$. Постоянный множитель 3 выносится за знак интеграла. $ F(x) = \int 3(2x - 1)^{-\frac{1}{3}} dx = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 1)^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} + C = \frac{3}{2} \cdot \frac{(2x - 1)^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} (2x - 1)^{\frac{2}{3}} + C = \frac{9}{4}(2x - 1)^{\frac{2}{3}} + C $. Ответ можно также записать в виде корня: $\frac{9}{4}\sqrt[3]{(2x-1)^2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{9}{4}(2x - 1)^{\frac{2}{3}} + C$.

6) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{4}{\sqrt{4x + 1}}$. Представим функцию в виде степени: $f(x) = 4(4x + 1)^{-\frac{1}{2}}$. Здесь $k = 4$, $b = 1$, $n = -\frac{1}{2}$. Постоянный множитель 4 выносится за знак интеграла. $ F(x) = \int 4(4x + 1)^{-\frac{1}{2}} dx = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{(4x + 1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = 1 \cdot \frac{(4x + 1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2(4x + 1)^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{4x+1} + C $.
Ответ: $F(x) = 2\sqrt{4x+1} + C$.

7) Найдем первообразную для функции $f(x) = \sqrt{3 - 2x}$. Представим функцию в виде степени: $f(x) = (3 - 2x)^{\frac{1}{2}}$. Здесь $k = -2$, $b = 3$, $n = \frac{1}{2}$. Вычисляем первообразную: $ F(x) = \int (3 - 2x)^{\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(3 - 2x)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(3 - 2x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}(3 - 2x)^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{3}(3 - 2x)^{\frac{3}{2}} + C $. Ответ можно также записать в виде корня: $-\frac{1}{3}\sqrt{(3-2x)^3} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}(3 - 2x)^{\frac{3}{2}} + C$.

8) Найдем первообразную для функции $f(x) = \sqrt[3]{2 - 3x}$. Представим функцию в виде степени: $f(x) = (2 - 3x)^{\frac{1}{3}}$. Здесь $k = -3$, $b = 2$, $n = \frac{1}{3}$. Вычисляем первообразную: $ F(x) = \int (2 - 3x)^{\frac{1}{3}} dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(2 - 3x)^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(2 - 3x)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}(2 - 3x)^{\frac{4}{3}} + C = -\frac{1}{4}(2 - 3x)^{\frac{4}{3}} + C $. Ответ можно также записать в виде корня: $-\frac{1}{4}\sqrt[3]{(2-3x)^4} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{4}(2 - 3x)^{\frac{4}{3}} + C$.