Номер 364, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 2. Правила нахождения первообразных - номер 364, страница 147.

Условие.

364. Для функции $f(x)$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M$:

1) $f(x) = 2x + 3, M(1; 2);$

2) $f(x) = 4x - 1, M(-1; 3);$

3) $f(x) = \sqrt{x+2}, M(2; -3);$

4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}, M(-2; -1);$

5) $f(x) = \sin 2x, M(\frac{\pi}{2}; 5);$

6) $f(x) = \cos 3x, M(0; 0);$

7) $f(x) = \frac{1}{x+3}, M(-2; 4);$

8) $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}, M(-2; 2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Общий вид первообразной для функции $f(x) = 2x + 3$ находится путем интегрирования: $F(x) = \int (2x + 3) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $M(1; 2)$, подставим координаты этой точки в уравнение первообразной: $F(1) = 2$.
$1^2 + 3 \cdot 1 + C = 2$
$1 + 3 + C = 2$
$4 + C = 2$
$C = 2 - 4 = -2$
Следовательно, искомая первообразная имеет вид $F(x) = x^2 + 3x - 2$.
Ответ: $F(x) = x^2 + 3x - 2$.

2) Общий вид первообразной для функции $f(x) = 4x - 1$: $F(x) = \int (4x - 1) dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = 2x^2 - x + C$.
График проходит через точку $M(-1; 3)$, поэтому $F(-1) = 3$.
$2(-1)^2 - (-1) + C = 3$
$2 \cdot 1 + 1 + C = 3$
$3 + C = 3$
$C = 0$
Искомая первообразная: $F(x) = 2x^2 - x$.
Ответ: $F(x) = 2x^2 - x$.

3) Общий вид первообразной для функции $f(x) = \sqrt{x+2} = (x+2)^{1/2}$: $F(x) = \int (x+2)^{1/2} dx = \frac{(x+2)^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{(x+2)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(x+2)\sqrt{x+2} + C$.
График проходит через точку $M(2; -3)$, поэтому $F(2) = -3$.
$\frac{2}{3}(2+2)\sqrt{2+2} + C = -3$
$\frac{2}{3}(4)\sqrt{4} + C = -3$
$\frac{2}{3} \cdot 8 + C = -3$
$\frac{16}{3} + C = -3$
$C = -3 - \frac{16}{3} = -\frac{9}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{25}{3}$
Искомая первообразная: $F(x) = \frac{2}{3}(x+2)\sqrt{x+2} - \frac{25}{3}$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}(x+2)\sqrt{x+2} - \frac{25}{3}$.

4) Общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}} = (x+3)^{-1/2}$: $F(x) = \int (x+3)^{-1/2} dx = \frac{(x+3)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{(x+3)^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x+3} + C$.
График проходит через точку $M(-2; -1)$, поэтому $F(-2) = -1$.
$2\sqrt{-2+3} + C = -1$
$2\sqrt{1} + C = -1$
$2 + C = -1$
$C = -3$
Искомая первообразная: $F(x) = 2\sqrt{x+3} - 3$.
Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x+3} - 3$.

5) Общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin 2x$: $F(x) = \int \sin 2x dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$.
График проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 5)$, поэтому $F(\frac{\pi}{2}) = 5$.
$-\frac{1}{2}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) + C = 5$
$-\frac{1}{2}\cos(\pi) + C = 5$
$-\frac{1}{2}(-1) + C = 5$
$\frac{1}{2} + C = 5$
$C = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{9}{2}$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{9}{2}$.

6) Общий вид первообразной для функции $f(x) = \cos 3x$: $F(x) = \int \cos 3x dx = \frac{1}{3}\sin 3x + C$.
График проходит через точку $M(0; 0)$, поэтому $F(0) = 0$.
$\frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) + C = 0$
$\frac{1}{3}\sin(0) + C = 0$
$0 + C = 0$
$C = 0$
Искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$.

7) Общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x+3}$: $F(x) = \int \frac{1}{x+3} dx = \ln|x+3| + C$.
График проходит через точку $M(-2; 4)$, поэтому $F(-2) = 4$.
$\ln|-2+3| + C = 4$
$\ln(1) + C = 4$
$0 + C = 4$
$C = 4$
Искомая первообразная: $F(x) = \ln|x+3| + 4$.
Ответ: $F(x) = \ln|x+3| + 4$.

8) Общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2} = (x+1)^{-2}$: $F(x) = \int (x+1)^{-2} dx = \frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{(x+1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x+1} + C$.
График проходит через точку $M(-2; 2)$, поэтому $F(-2) = 2$.
$-\frac{1}{-2+1} + C = 2$
$-\frac{1}{-1} + C = 2$
$1 + C = 2$
$C = 1$
Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{x+1} + 1$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x+1} + 1$.