Номер 362, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 2. Правила нахождения первообразных - номер 362, страница 147.

Условие.

362. 1) $\frac{2x^4 - 4x^3 + x}{3}$; 2) $\frac{6x^3 - 3x + 2}{5}$; 3) $\frac{2x^3 - 3x}{x^2}$;

4) $\frac{3x^4 + 5x^2}{x^3}$; 5) $3x(2 - x^2)$; 6) $2x(1 - x)$;

7) $(1 + 2x)(x - 3)$; 8) $(2x - 3)(2 + 3x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{2x^4 - 4x^3 + x}{3}$, необходимо каждый член многочлена в числителе разделить на знаменатель 3.
$\frac{2x^4 - 4x^3 + x}{3} = \frac{2x^4}{3} - \frac{4x^3}{3} + \frac{x}{3}$
Это можно записать в виде многочлена стандартного вида:
$\frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{3}x$
Ответ: $\frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{3}x$.

2) Аналогично первому примеру, разделим каждый член числителя $6x^3 - 3x + 2$ на знаменатель 5.
$\frac{6x^3 - 3x + 2}{5} = \frac{6x^3}{5} - \frac{3x}{5} + \frac{2}{5}$
Запишем в виде многочлена:
$\frac{6}{5}x^3 - \frac{3}{5}x + \frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{6}{5}x^3 - \frac{3}{5}x + \frac{2}{5}$.

3) В выражении $\frac{2x^3 - 3x}{x^2}$ разделим каждый член числителя на знаменатель $x^2$. Предполагается, что $x \neq 0$.
$\frac{2x^3 - 3x}{x^2} = \frac{2x^3}{x^2} - \frac{3x}{x^2}$
Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2x^{3-2} - 3x^{1-2} = 2x^1 - 3x^{-1} = 2x - \frac{3}{x}$
Ответ: $2x - \frac{3}{x}$.

4) Для упрощения дроби $\frac{3x^4 + 5x^2}{x^3}$ разделим каждый член числителя на знаменатель $x^3$, при условии что $x \neq 0$.
$\frac{3x^4 + 5x^2}{x^3} = \frac{3x^4}{x^3} + \frac{5x^2}{x^3}$
Применяем свойство степеней:
$3x^{4-3} + 5x^{2-3} = 3x^1 + 5x^{-1} = 3x + \frac{5}{x}$
Ответ: $3x + \frac{5}{x}$.

5) Чтобы раскрыть скобки в выражении $3x(2 - x^2)$, используем распределительный закон умножения. Умножим $3x$ на каждый член в скобках.
$3x \cdot 2 - 3x \cdot x^2$
Выполним умножение:
$6x - 3x^{1+2} = 6x - 3x^3$
Запишем в стандартном виде, упорядочив по убыванию степеней:
$-3x^3 + 6x$
Ответ: $-3x^3 + 6x$.

6) Раскроем скобки в выражении $2x(1 - x)$ по распределительному закону.
$2x \cdot 1 - 2x \cdot x$
Выполним умножение:
$2x - 2x^2$
Запишем в стандартном виде:
$-2x^2 + 2x$
Ответ: $-2x^2 + 2x$.

7) Для умножения двух двучленов $(1 + 2x)(x - 3)$ воспользуемся правилом умножения многочленов. Каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго.
$(1 + 2x)(x - 3) = 1 \cdot x + 1 \cdot (-3) + 2x \cdot x + 2x \cdot (-3)$
Выполним умножения:
$x - 3 + 2x^2 - 6x$
Приведем подобные слагаемые ($x$ и $-6x$) и запишем результат в стандартном виде:
$2x^2 + (x - 6x) - 3 = 2x^2 - 5x - 3$
Ответ: $2x^2 - 5x - 3$.

8) Умножим двучлены $(2x - 3)(2 + 3x)$.
$(2x - 3)(2 + 3x) = 2x \cdot 2 + 2x \cdot 3x - 3 \cdot 2 - 3 \cdot 3x$
Выполним умножения:
$4x + 6x^2 - 6 - 9x$
Приведем подобные слагаемые ($4x$ и $-9x$) и упорядочим члены по убыванию степеней:
$6x^2 + (4x - 9x) - 6 = 6x^2 - 5x - 6$
Ответ: $6x^2 - 5x - 6$.