Номер 358, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 2. Правила нахождения первообразных - номер 358, страница 146.

Условие.

358. 1) $(x+1)^3$;

2) $(x-2)^4$;

3) $\frac{2}{\sqrt{x-2}}$;

4) $\frac{3}{\sqrt[3]{x+3}};

5) $\frac{1}{x-1} + 4\cos(x+2);

6) $\frac{3}{x-3} - 2\sin(x-1).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения первообразной функции $f(x) = (x+1)^3$ необходимо вычислить неопределенный интеграл $\int (x+1)^3 dx$.

Это интеграл от степенной функции. Воспользуемся формулой $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$. Сделаем замену $u = x+1$, тогда $du = dx$.

Интеграл принимает вид:
$\int (x+1)^3 dx = \int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C$.

Возвращаясь к переменной $x$, получаем: $\frac{(x+1)^4}{4} + C$.

Ответ: $\frac{(x+1)^4}{4} + C$.

2) Для нахождения первообразной функции $f(x) = (x-2)^4$ вычислим интеграл $\int (x-2)^4 dx$.

Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену $u = x-2$, тогда $du = dx$.

$\int (x-2)^4 dx = \int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C$.

Подставляя обратно $u=x-2$, получаем: $\frac{(x-2)^5}{5} + C$.

Ответ: $\frac{(x-2)^5}{5} + C$.

3) Найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-2}}$. Для этого представим функцию в виде $f(x) = 2(x-2)^{-1/2}$ и вычислим интеграл.

$\int 2(x-2)^{-1/2} dx = 2 \int (x-2)^{-1/2} dx$.

Сделаем замену $u = x-2$, тогда $du = dx$.

$2 \int u^{-1/2} du = 2 \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 2 \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 4u^{1/2} + C$.

Возвращаясь к исходной переменной: $4\sqrt{x-2} + C$.

Ответ: $4\sqrt{x-2} + C$.

4) Найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x+3}}$. Перепишем функцию в виде $f(x) = 3(x+3)^{-1/3}$ и найдём интеграл.

$\int 3(x+3)^{-1/3} dx = 3 \int (x+3)^{-1/3} dx$.

Применим замену $u = x+3$, откуда $du = dx$.

$3 \int u^{-1/3} du = 3 \frac{u^{-1/3+1}}{-1/3+1} + C = 3 \frac{u^{2/3}}{2/3} + C = \frac{9}{2}u^{2/3} + C$.

Подставляя $x+3$ вместо $u$: $\frac{9}{2}(x+3)^{2/3} + C = \frac{9}{2}\sqrt[3]{(x+3)^2} + C$.

Ответ: $\frac{9}{2}\sqrt[3]{(x+3)^2} + C$.

5) Требуется найти первообразную для суммы двух функций $f(x) = \frac{1}{x-1} + 4\cos(x+2)$. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

$\int \left(\frac{1}{x-1} + 4\cos(x+2)\right) dx = \int \frac{1}{x-1} dx + \int 4\cos(x+2) dx$.

Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя табличные интегралы.

Для первого интеграла: $\int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| + C_1$.

Для второго интеграла: $\int 4\cos(x+2) dx = 4\int \cos(x+2) dx = 4\sin(x+2) + C_2$.

Складывая результаты и объединяя константы $C = C_1+C_2$, получаем: $\ln|x-1| + 4\sin(x+2) + C$.

Ответ: $\ln|x-1| + 4\sin(x+2) + C$.

6) Найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{3}{x-3} - 2\sin(x-1)$. Для этого вычислим интеграл от разности функций:

$\int \left(\frac{3}{x-3} - 2\sin(x-1)\right) dx = \int \frac{3}{x-3} dx - \int 2\sin(x-1) dx$.

Вычислим каждый интеграл.

Первый интеграл: $\int \frac{3}{x-3} dx = 3\int \frac{1}{x-3} dx = 3\ln|x-3| + C_1$.

Второй интеграл: $\int 2\sin(x-1) dx = 2\int \sin(x-1) dx = 2(-\cos(x-1)) + C_2 = -2\cos(x-1) + C_2$.

Вычитая второй результат из первого и объединяя константы $C=C_1-C_2$, получаем: $3\ln|x-3| - (-2\cos(x-1)) + C = 3\ln|x-3| + 2\cos(x-1) + C$.

Ответ: $3\ln|x-3| + 2\cos(x-1) + C$.