Номер 363, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 2. Правила нахождения первообразных - номер 363, страница 147.

Условие.

363. 1) $(2x+1)\sqrt{x};$

2) $(3x-2)\sqrt[3]{x};$

3) $\frac{x+4}{\sqrt[3]{x}};$

4) $\frac{x-3}{\sqrt{x}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Требуется найти производную функции $y = (2x+1)\sqrt{x}$.

Для удобства дифференцирования, сначала преобразуем данное выражение. Представим корень в виде степени и раскроем скобки:

$y = (2x+1)x^{1/2} = 2x \cdot x^{1/2} + 1 \cdot x^{1/2} = 2x^{1 + 1/2} + x^{1/2} = 2x^{3/2} + x^{1/2}$

Теперь функция представляет собой сумму степенных функций. Найдём её производную, используя правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (2x^{3/2} + x^{1/2})' = (2x^{3/2})' + (x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2-1} + \frac{1}{2}x^{1/2-1}$

$y' = 3x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}$

Преобразуем результат к более удобному виду, избавившись от отрицательных и дробных степеней, и приведем к общему знаменателю:

$y' = 3\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{6x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{6x+1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{6x+1}{2\sqrt{x}}$

2)

Найдём производную функции $y = (3x-2)\sqrt[3]{x}$.

Сначала преобразуем выражение. Запишем кубический корень как степень $1/3$ и раскроем скобки:

$y = (3x-2)x^{1/3} = 3x \cdot x^{1/3} - 2 \cdot x^{1/3} = 3x^{1 + 1/3} - 2x^{1/3} = 3x^{4/3} - 2x^{1/3}$

Теперь продифференцируем полученную сумму степенных функций:

$y' = (3x^{4/3} - 2x^{1/3})' = (3x^{4/3})' - (2x^{1/3})' = 3 \cdot \frac{4}{3}x^{4/3-1} - 2 \cdot \frac{1}{3}x^{1/3-1}$

$y' = 4x^{1/3} - \frac{2}{3}x^{-2/3}$

Упростим полученное выражение, перейдя обратно к корням и приведя дроби к общему знаменателю:

$y' = 4\sqrt[3]{x} - \frac{2}{3x^{2/3}} = 4\sqrt[3]{x} - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{4\sqrt[3]{x} \cdot 3\sqrt[3]{x^2}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{12\sqrt[3]{x^3}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{12x - 2}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Ответ: $\frac{12x-2}{3\sqrt[3]{x^2}}$

3)

Найдём производную функции $y = \frac{x+4}{\sqrt[3]{x}}$.

Для упрощения дифференцирования, разделим числитель на знаменатель почленно, предварительно представив корень в виде степени:

$y = \frac{x+4}{x^{1/3}} = \frac{x}{x^{1/3}} + \frac{4}{x^{1/3}} = x^{1 - 1/3} + 4x^{-1/3} = x^{2/3} + 4x^{-1/3}$

Теперь найдём производную как сумму производных степенных функций:

$y' = (x^{2/3} + 4x^{-1/3})' = (x^{2/3})' + (4x^{-1/3})' = \frac{2}{3}x^{2/3-1} + 4 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)x^{-1/3-1}$

$y' = \frac{2}{3}x^{-1/3} - \frac{4}{3}x^{-4/3}$

Преобразуем выражение, чтобы избавиться от отрицательных степеней, и приведем к общему знаменателю:

$y' = \frac{2}{3x^{1/3}} - \frac{4}{3x^{4/3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - \frac{4}{3\sqrt[3]{x^4}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - \frac{4}{3x\sqrt[3]{x}}$

Общий знаменатель $3x\sqrt[3]{x}$.

$y' = \frac{2 \cdot x}{3\sqrt[3]{x} \cdot x} - \frac{4}{3x\sqrt[3]{x}} = \frac{2x - 4}{3x\sqrt[3]{x}} = \frac{2(x-2)}{3x\sqrt[3]{x}}$

Ответ: $\frac{2x-4}{3x\sqrt[3]{x}}$

4)

Найдём производную функции $y = \frac{x-3}{\sqrt{x}}$.

Преобразуем выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{x-3}{x^{1/2}} = \frac{x}{x^{1/2}} - \frac{3}{x^{1/2}} = x^{1-1/2} - 3x^{-1/2} = x^{1/2} - 3x^{-1/2}$

Теперь найдём производную, используя правила дифференцирования:

$y' = (x^{1/2} - 3x^{-1/2})' = (x^{1/2})' - (3x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} - 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-1/2-1}$

$y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{3}{2}x^{-3/2}$

Упростим выражение, представив его через корни и приведя к общему знаменателю:

$y' = \frac{1}{2x^{1/2}} + \frac{3}{2x^{3/2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{3}{2x\sqrt{x}}$

Общий знаменатель $2x\sqrt{x}$.

$y' = \frac{1 \cdot x}{2\sqrt{x} \cdot x} + \frac{3}{2x\sqrt{x}} = \frac{x}{2x\sqrt{x}} + \frac{3}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+3}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{x+3}{2x\sqrt{x}}$