Номер 357, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 2. Правила нахождения первообразных - номер 357, страница 146.

Условие.

357. 1) $5\sin x + 2\cos x;$ 2) $3e^x - \sin x;$

3) $1 + 3e^x - 4\cos x;$ 4) $\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2e^x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Требуется найти производную функции $y = 5\sin x + 2\cos x$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u' + v'$, правилом вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, а также табличными производными: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.

$y' = (5\sin x + 2\cos x)' = (5\sin x)' + (2\cos x)'$

Выносим константы за знак производной:

$y' = 5(\sin x)' + 2(\cos x)'$

Подставляем значения производных из таблицы:

$y' = 5(\cos x) + 2(-\sin x) = 5\cos x - 2\sin x$

Ответ: $5\cos x - 2\sin x$

2)

Требуется найти производную функции $y = 3e^x - \sin x$.

Используем правило дифференцирования разности функций $(u-v)' = u' - v'$ и табличные производные: $(e^x)' = e^x$ и $(\sin x)' = \cos x$.

$y' = (3e^x - \sin x)' = (3e^x)' - (\sin x)'$

Применяем правило вынесения константы и находим производные:

$y' = 3(e^x)' - (\sin x)' = 3e^x - \cos x$

Ответ: $3e^x - \cos x$

3)

Требуется найти производную функции $y = 1 + 3e^x - 4\cos x$.

Используем правила дифференцирования суммы и разности. Производная константы равна нулю: $(c)' = 0$. Также используем известные производные: $(e^x)' = e^x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.

$y' = (1 + 3e^x - 4\cos x)' = (1)' + (3e^x)' - (4\cos x)'$

Находим производную каждого слагаемого:

$y' = 0 + 3(e^x)' - 4(\cos x)' = 3e^x - 4(-\sin x)$

Упрощаем полученное выражение:

$y' = 3e^x + 4\sin x$

Ответ: $3e^x + 4\sin x$

4)

Требуется найти производную функции $y = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2e^x$.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде суммы степенных функций. Для этого используем свойства степени: $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ и $\frac{1}{x} = x^{-1}$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = 4x^{-1/2} + 3x^{-1} - 2e^x$.

Теперь находим производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (4x^{-1/2} + 3x^{-1} - 2e^x)' = (4x^{-1/2})' + (3x^{-1})' - (2e^x)'$

Дифференцируем каждое слагаемое:

$y' = 4 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} + 3 \cdot (-1)x^{-1-1} - 2e^x$

$y' = -2x^{-3/2} - 3x^{-2} - 2e^x$

Преобразуем результат обратно к виду с дробями и корнями:

$x^{-3/2} = \frac{1}{x^{3/2}} = \frac{1}{x\sqrt{x}}$

$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Подставляя эти выражения, получаем окончательный вид производной:

$y' = -2 \frac{1}{x\sqrt{x}} - 3 \frac{1}{x^2} - 2e^x = -\frac{2}{x\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2} - 2e^x$

Ответ: $-\frac{2}{x\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2} - 2e^x$