Страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

357. 1) $5\sin x + 2\cos x;$ 2) $3e^x - \sin x;$

3) $1 + 3e^x - 4\cos x;$ 4) $\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2e^x.$

1)

Требуется найти производную функции $y = 5\sin x + 2\cos x$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u' + v'$, правилом вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, а также табличными производными: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.

$y' = (5\sin x + 2\cos x)' = (5\sin x)' + (2\cos x)'$

Выносим константы за знак производной:

$y' = 5(\sin x)' + 2(\cos x)'$

Подставляем значения производных из таблицы:

$y' = 5(\cos x) + 2(-\sin x) = 5\cos x - 2\sin x$

Ответ: $5\cos x - 2\sin x$

2)

Требуется найти производную функции $y = 3e^x - \sin x$.

Используем правило дифференцирования разности функций $(u-v)' = u' - v'$ и табличные производные: $(e^x)' = e^x$ и $(\sin x)' = \cos x$.

$y' = (3e^x - \sin x)' = (3e^x)' - (\sin x)'$

Применяем правило вынесения константы и находим производные:

$y' = 3(e^x)' - (\sin x)' = 3e^x - \cos x$

Ответ: $3e^x - \cos x$

3)

Требуется найти производную функции $y = 1 + 3e^x - 4\cos x$.

Используем правила дифференцирования суммы и разности. Производная константы равна нулю: $(c)' = 0$. Также используем известные производные: $(e^x)' = e^x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.

$y' = (1 + 3e^x - 4\cos x)' = (1)' + (3e^x)' - (4\cos x)'$

Находим производную каждого слагаемого:

$y' = 0 + 3(e^x)' - 4(\cos x)' = 3e^x - 4(-\sin x)$

Упрощаем полученное выражение:

$y' = 3e^x + 4\sin x$

Ответ: $3e^x + 4\sin x$

4)

Требуется найти производную функции $y = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2e^x$.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде суммы степенных функций. Для этого используем свойства степени: $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ и $\frac{1}{x} = x^{-1}$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = 4x^{-1/2} + 3x^{-1} - 2e^x$.

Теперь находим производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (4x^{-1/2} + 3x^{-1} - 2e^x)' = (4x^{-1/2})' + (3x^{-1})' - (2e^x)'$

Дифференцируем каждое слагаемое:

$y' = 4 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} + 3 \cdot (-1)x^{-1-1} - 2e^x$

$y' = -2x^{-3/2} - 3x^{-2} - 2e^x$

Преобразуем результат обратно к виду с дробями и корнями:

$x^{-3/2} = \frac{1}{x^{3/2}} = \frac{1}{x\sqrt{x}}$

$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Подставляя эти выражения, получаем окончательный вид производной:

$y' = -2 \frac{1}{x\sqrt{x}} - 3 \frac{1}{x^2} - 2e^x = -\frac{2}{x\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2} - 2e^x$

Ответ: $-\frac{2}{x\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2} - 2e^x$

358. 1) $(x+1)^3$;

2) $(x-2)^4$;

3) $\frac{2}{\sqrt{x-2}}$;

4) $\frac{3}{\sqrt[3]{x+3}};

5) $\frac{1}{x-1} + 4\cos(x+2);

6) $\frac{3}{x-3} - 2\sin(x-1).

1) Для нахождения первообразной функции $f(x) = (x+1)^3$ необходимо вычислить неопределенный интеграл $\int (x+1)^3 dx$.

Это интеграл от степенной функции. Воспользуемся формулой $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$. Сделаем замену $u = x+1$, тогда $du = dx$.

Интеграл принимает вид:
$\int (x+1)^3 dx = \int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C$.

Возвращаясь к переменной $x$, получаем: $\frac{(x+1)^4}{4} + C$.

Ответ: $\frac{(x+1)^4}{4} + C$.

2) Для нахождения первообразной функции $f(x) = (x-2)^4$ вычислим интеграл $\int (x-2)^4 dx$.

Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену $u = x-2$, тогда $du = dx$.

$\int (x-2)^4 dx = \int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C$.

Подставляя обратно $u=x-2$, получаем: $\frac{(x-2)^5}{5} + C$.

Ответ: $\frac{(x-2)^5}{5} + C$.

3) Найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-2}}$. Для этого представим функцию в виде $f(x) = 2(x-2)^{-1/2}$ и вычислим интеграл.

$\int 2(x-2)^{-1/2} dx = 2 \int (x-2)^{-1/2} dx$.

Сделаем замену $u = x-2$, тогда $du = dx$.

$2 \int u^{-1/2} du = 2 \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 2 \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 4u^{1/2} + C$.

Возвращаясь к исходной переменной: $4\sqrt{x-2} + C$.

Ответ: $4\sqrt{x-2} + C$.

4) Найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x+3}}$. Перепишем функцию в виде $f(x) = 3(x+3)^{-1/3}$ и найдём интеграл.

$\int 3(x+3)^{-1/3} dx = 3 \int (x+3)^{-1/3} dx$.

Применим замену $u = x+3$, откуда $du = dx$.

$3 \int u^{-1/3} du = 3 \frac{u^{-1/3+1}}{-1/3+1} + C = 3 \frac{u^{2/3}}{2/3} + C = \frac{9}{2}u^{2/3} + C$.

Подставляя $x+3$ вместо $u$: $\frac{9}{2}(x+3)^{2/3} + C = \frac{9}{2}\sqrt[3]{(x+3)^2} + C$.

Ответ: $\frac{9}{2}\sqrt[3]{(x+3)^2} + C$.

5) Требуется найти первообразную для суммы двух функций $f(x) = \frac{1}{x-1} + 4\cos(x+2)$. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

$\int \left(\frac{1}{x-1} + 4\cos(x+2)\right) dx = \int \frac{1}{x-1} dx + \int 4\cos(x+2) dx$.

Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя табличные интегралы.

Для первого интеграла: $\int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| + C_1$.

Для второго интеграла: $\int 4\cos(x+2) dx = 4\int \cos(x+2) dx = 4\sin(x+2) + C_2$.

Складывая результаты и объединяя константы $C = C_1+C_2$, получаем: $\ln|x-1| + 4\sin(x+2) + C$.

Ответ: $\ln|x-1| + 4\sin(x+2) + C$.

6) Найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{3}{x-3} - 2\sin(x-1)$. Для этого вычислим интеграл от разности функций:

$\int \left(\frac{3}{x-3} - 2\sin(x-1)\right) dx = \int \frac{3}{x-3} dx - \int 2\sin(x-1) dx$.

Вычислим каждый интеграл.

Первый интеграл: $\int \frac{3}{x-3} dx = 3\int \frac{1}{x-3} dx = 3\ln|x-3| + C_1$.

Второй интеграл: $\int 2\sin(x-1) dx = 2\int \sin(x-1) dx = 2(-\cos(x-1)) + C_2 = -2\cos(x-1) + C_2$.

Вычитая второй результат из первого и объединяя константы $C=C_1-C_2$, получаем: $3\ln|x-3| - (-2\cos(x-1)) + C = 3\ln|x-3| + 2\cos(x-1) + C$.

Ответ: $3\ln|x-3| + 2\cos(x-1) + C$.

359. 1) $(\frac{1}{2}x - 1)^7;$

2) $(\frac{1}{3}x + 2)^5;$

3) $(2x - 3)^5;$

4) $(3x - 1)^{\frac{3}{4}};$

5) $\frac{3}{\sqrt[3]{2x - 1}};$

6) $\frac{4}{\sqrt{4x + 1}};$

7) $\sqrt{3 - 2x};$

8) $\sqrt[3]{2 - 3x}.$

1) Задача состоит в нахождении первообразной для функции $f(x) = (\frac{1}{2}x - 1)^7$. Это степенная функция, аргументом которой является линейная функция $kx+b$. Для нахождения первообразной таких функций используется формула: $ \int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C $, где $C$ — произвольная постоянная. В данном случае $k = \frac{1}{2}$, $b = -1$, $n = 7$. Применяем формулу: $ F(x) = \int (\frac{1}{2}x - 1)^7 dx = \frac{1}{1/2} \cdot \frac{(\frac{1}{2}x - 1)^{7+1}}{7+1} + C = 2 \cdot \frac{(\frac{1}{2}x - 1)^8}{8} + C = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}x - 1)^8 + C $.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}x - 1)^8 + C$.

2) Найдем первообразную для функции $f(x) = (\frac{1}{3}x + 2)^5$. Используем ту же формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $k = \frac{1}{3}$, $b = 2$, $n = 5$. Подставляем значения в формулу: $ F(x) = \int (\frac{1}{3}x + 2)^5 dx = \frac{1}{1/3} \cdot \frac{(\frac{1}{3}x + 2)^{5+1}}{5+1} + C = 3 \cdot \frac{(\frac{1}{3}x + 2)^6}{6} + C = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}x + 2)^6 + C $.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}x + 2)^6 + C$.

3) Найдем первообразную для функции $f(x) = (2x - 3)^{\frac{2}{5}}$. Используем формулу для степенной функции с линейным аргументом. Здесь $k = 2$, $b = -3$, $n = \frac{2}{5}$. Первообразная находится следующим образом: $ F(x) = \int (2x - 3)^{\frac{2}{5}} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 3)^{\frac{2}{5}+1}}{\frac{2}{5}+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 3)^{\frac{7}{5}}}{\frac{7}{5}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{7} (2x - 3)^{\frac{7}{5}} + C = \frac{5}{14}(2x - 3)^{\frac{7}{5}} + C $. Ответ можно также записать в виде корня: $\frac{5}{14}\sqrt[5]{(2x-3)^7} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{5}{14}(2x - 3)^{\frac{7}{5}} + C$.

4) Найдем первообразную для функции $f(x) = (3x - 1)^{\frac{3}{4}}$. Используем ту же формулу. Здесь $k = 3$, $b = -1$, $n = \frac{3}{4}$. Вычисляем первообразную: $ F(x) = \int (3x - 1)^{\frac{3}{4}} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 1)^{\frac{3}{4}+1}}{\frac{3}{4}+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 1)^{\frac{7}{4}}}{\frac{7}{4}} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7} (3x - 1)^{\frac{7}{4}} + C = \frac{4}{21}(3x - 1)^{\frac{7}{4}} + C $. Ответ можно также записать в виде корня: $\frac{4}{21}\sqrt[4]{(3x-1)^7} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{4}{21}(3x - 1)^{\frac{7}{4}} + C$.

5) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{2x - 1}}$. Сначала представим функцию в виде степени: $f(x) = 3(2x - 1)^{-\frac{1}{3}}$. Здесь $k = 2$, $b = -1$, $n = -\frac{1}{3}$. Постоянный множитель 3 выносится за знак интеграла. $ F(x) = \int 3(2x - 1)^{-\frac{1}{3}} dx = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 1)^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} + C = \frac{3}{2} \cdot \frac{(2x - 1)^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} (2x - 1)^{\frac{2}{3}} + C = \frac{9}{4}(2x - 1)^{\frac{2}{3}} + C $. Ответ можно также записать в виде корня: $\frac{9}{4}\sqrt[3]{(2x-1)^2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{9}{4}(2x - 1)^{\frac{2}{3}} + C$.

6) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{4}{\sqrt{4x + 1}}$. Представим функцию в виде степени: $f(x) = 4(4x + 1)^{-\frac{1}{2}}$. Здесь $k = 4$, $b = 1$, $n = -\frac{1}{2}$. Постоянный множитель 4 выносится за знак интеграла. $ F(x) = \int 4(4x + 1)^{-\frac{1}{2}} dx = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{(4x + 1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = 1 \cdot \frac{(4x + 1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2(4x + 1)^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{4x+1} + C $.
Ответ: $F(x) = 2\sqrt{4x+1} + C$.

7) Найдем первообразную для функции $f(x) = \sqrt{3 - 2x}$. Представим функцию в виде степени: $f(x) = (3 - 2x)^{\frac{1}{2}}$. Здесь $k = -2$, $b = 3$, $n = \frac{1}{2}$. Вычисляем первообразную: $ F(x) = \int (3 - 2x)^{\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(3 - 2x)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(3 - 2x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}(3 - 2x)^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{3}(3 - 2x)^{\frac{3}{2}} + C $. Ответ можно также записать в виде корня: $-\frac{1}{3}\sqrt{(3-2x)^3} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}(3 - 2x)^{\frac{3}{2}} + C$.

8) Найдем первообразную для функции $f(x) = \sqrt[3]{2 - 3x}$. Представим функцию в виде степени: $f(x) = (2 - 3x)^{\frac{1}{3}}$. Здесь $k = -3$, $b = 2$, $n = \frac{1}{3}$. Вычисляем первообразную: $ F(x) = \int (2 - 3x)^{\frac{1}{3}} dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(2 - 3x)^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(2 - 3x)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}(2 - 3x)^{\frac{4}{3}} + C = -\frac{1}{4}(2 - 3x)^{\frac{4}{3}} + C $. Ответ можно также записать в виде корня: $-\frac{1}{4}\sqrt[3]{(2-3x)^4} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{4}(2 - 3x)^{\frac{4}{3}} + C$.

7) $\sqrt{3}-2x;$

8) $\sqrt{2}-3x.$

360. 1) $cos(3x + 4);$

2) $sin(3x - 4);$

3) $cos(\frac{x}{2} - 1);$

4) $sin(\frac{x}{4} + 5);$

5) $e^{\frac{x+1}{2}};$

6) $e^{3x-5}.$

1) Требуется найти первообразную для функции $y = \cos(3x+4)$. Это сложная функция вида $f(kx+b)$, где $f(u) = \cos(u)$, а внутренняя функция $u=3x+4$. Здесь коэффициент $k=3$.
Первообразная для функции $\cos(x)$ есть $\sin(x)$. Для нахождения первообразной сложной функции $f(kx+b)$ используется правило: $F(x) = \frac{1}{k}F_0(kx+b) + C$, где $F_0$ — первообразная для $f$.
Применяя это правило, получаем:
$F(x) = \int \cos(3x+4) dx = \frac{1}{3}\sin(3x+4) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $\frac{1}{3}\sin(3x+4) + C$.

2) Требуется найти первообразную для функции $y = \sin(3x-4)$. Это сложная функция вида $f(kx+b)$, где $f(u) = \sin(u)$, а внутренняя функция $u=3x-4$. Здесь коэффициент $k=3$.
Первообразная для функции $\sin(x)$ есть $-\cos(x)$.
Применяя правило нахождения первообразной для сложной функции, получаем:
$F(x) = \int \sin(3x-4) dx = \frac{1}{3}(-\cos(3x-4)) + C = -\frac{1}{3}\cos(3x-4) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $-\frac{1}{3}\cos(3x-4) + C$.

3) Требуется найти первообразную для функции $y = \cos(\frac{x}{2}-1)$. Это сложная функция вида $f(kx+b)$, где $f(u) = \cos(u)$, а внутренняя функция $u=\frac{x}{2}-1$. Здесь коэффициент $k=\frac{1}{2}$.
Первообразная для функции $\cos(x)$ есть $\sin(x)$.
Применяя правило, получаем:
$F(x) = \int \cos(\frac{x}{2}-1) dx = \frac{1}{1/2}\sin(\frac{x}{2}-1) + C = 2\sin(\frac{x}{2}-1) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $2\sin(\frac{x}{2}-1) + C$.

4) Требуется найти первообразную для функции $y = \sin(\frac{x}{4}+5)$. Это сложная функция вида $f(kx+b)$, где $f(u) = \sin(u)$, а внутренняя функция $u=\frac{x}{4}+5$. Здесь коэффициент $k=\frac{1}{4}$.
Первообразная для функции $\sin(x)$ есть $-\cos(x)$.
Применяя правило, получаем:
$F(x) = \int \sin(\frac{x}{4}+5) dx = \frac{1}{1/4}(-\cos(\frac{x}{4}+5)) + C = -4\cos(\frac{x}{4}+5) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $-4\cos(\frac{x}{4}+5) + C$.

5) Требуется найти первообразную для функции $y = e^{\frac{x+1}{2}}$. Перепишем показатель степени: $\frac{x+1}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.
Это сложная функция вида $f(kx+b)$, где $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $u=\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$. Здесь коэффициент $k=\frac{1}{2}$.
Первообразная для функции $e^x$ есть сама функция $e^x$.
Применяя правило, получаем:
$F(x) = \int e^{\frac{x+1}{2}} dx = \frac{1}{1/2}e^{\frac{x+1}{2}} + C = 2e^{\frac{x+1}{2}} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $2e^{\frac{x+1}{2}} + C$.

6) Требуется найти первообразную для функции $y = e^{3x-5}$. Это сложная функция вида $f(kx+b)$, где $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $u=3x-5$. Здесь коэффициент $k=3$.
Первообразная для функции $e^x$ есть сама функция $e^x$.
Применяя правило, получаем:
$F(x) = \int e^{3x-5} dx = \frac{1}{3}e^{3x-5} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $\frac{1}{3}e^{3x-5} + C$.