Страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

365. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $x = a$, $x = b$, осью $Ox$ и графиком функции $y = f(x)$, если:

1) $a = 3$, $b = 4$, $f(x) = x^2$;

2) $a = 0$, $b = 2$, $f(x) = x^3 + 1$;

3) $a = 1$, $b = 8$, $f(x) = \sqrt[3]{x}$;

4) $a = 4$, $b = 9$, $f(x) = \sqrt{x}$;

5) $a = \frac{\pi}{3}$, $b = \frac{2\pi}{3}$, $f(x) = \sin x$;

6) $a = -\frac{\pi}{6}$, $b = 0$, $f(x) = \cos x$.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $x = a, x = b$, осью Ox и графиком неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

1) $a = 3, b = 4, f(x) = x^2$

Вычисляем площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{3}^{4} x^2 \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = x^2$ равна $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{3}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{27}{3} = \frac{37}{3} = 12 \frac{1}{3}$.

Ответ: $12 \frac{1}{3}$.

2) $a = 0, b = 2, f(x) = x^3 + 1$

Вычисляем площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{0}^{2} (x^3 + 1) \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = x^3 + 1$ равна $F(x) = \frac{x^4}{4} + x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_{0}^{2} = \left(\frac{2^4}{4} + 2\right) - \left(\frac{0^4}{4} + 0\right) = \left(\frac{16}{4} + 2\right) - 0 = 4 + 2 = 6$.

Ответ: $6$.

3) $a = 1, b = 8, f(x) = \sqrt[3]{x}$

Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/3}$. Вычисляем площадь:

$S = \int_{1}^{8} x^{1/3} \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = x^{1/3}$ равна $F(x) = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}x^{4/3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{3}{4}x^{4/3} \right]_{1}^{8} = \frac{3}{4}(8^{4/3}) - \frac{3}{4}(1^{4/3}) = \frac{3}{4}(\sqrt[3]{8})^4 - \frac{3}{4}(1) = \frac{3}{4}(2^4) - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} = 12 - \frac{3}{4} = \frac{45}{4} = 11.25$.

Ответ: $\frac{45}{4}$.

4) $a = 4, b = 9, f(x) = \sqrt{x}$

Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/2}$. Вычисляем площадь:

$S = \int_{4}^{9} x^{1/2} \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = x^{1/2}$ равна $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{4}^{9} = \frac{2}{3}(9^{3/2}) - \frac{2}{3}(4^{3/2}) = \frac{2}{3}(\sqrt{9})^3 - \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 = \frac{2}{3}(3^3) - \frac{2}{3}(2^3) = \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 8 = 18 - \frac{16}{3} = \frac{54-16}{3} = \frac{38}{3} = 12 \frac{2}{3}$.

Ответ: $12 \frac{2}{3}$.

5) $a = \frac{\pi}{3}, b = \frac{2\pi}{3}, f(x) = \sin x$

Вычисляем площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sin x \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = \sin x$ равна $F(x) = -\cos x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ -\cos x \right]_{\pi/3}^{2\pi/3} = (-\cos(\frac{2\pi}{3})) - (-\cos(\frac{\pi}{3})) = \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $1$.

6) $a = -\frac{\pi}{6}, b = 0, f(x) = \cos x$

Вычисляем площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{-\pi/6}^{0} \cos x \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = \cos x$ равна $F(x) = \sin x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \sin x \right]_{-\pi/6}^{0} = \sin(0) - \sin(-\frac{\pi}{6}) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

366. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой $x = b$, осью $Ox$ и графиком функции $y = f(x)$, если:

1) $b=3, f(x)=x^2;$

2) $b=2, f(x)=x^3;$

3) $b=4, f(x)=\sqrt{x};$

4) $b=8, f(x)=\sqrt[3]{x};$

5) $b=2, f(x)=5x-x^2;$

6) $b=3, f(x)=x^2+2x;$

7) $b=1, f(x)=e^x-1;$

8) $b=2, f(x)=1-\frac{1}{x}.$

1) b = 3, f(x) = x². Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена графиком функции $y = x^2$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=0$ и $x=3$. Так как на отрезке $[0, 3]$ функция $f(x) = x^2$ неотрицательна ($x^2 \ge 0$), площадь вычисляется с помощью определенного интеграла: $S = \int_{0}^{3} x^2 dx$. Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2$. Это $F(x) = \frac{x^3}{3}$. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: $S = F(3) - F(0) = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$.
Ответ: 9.

2) b = 2, f(x) = x³. Фигура ограничена графиком функции $y = x^3$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=0$ и $x=2$. На отрезке $[0, 2]$ функция $f(x) = x^3$ неотрицательна. Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{0}^{2} x^3 dx$. Первообразная для $f(x) = x^3$ есть $F(x) = \frac{x^4}{4}$. Вычисляем площадь: $S = F(2) - F(0) = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} - 0 = 4$.
Ответ: 4.

3) b = 4, f(x) = √x. Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=0$ и $x=4$. На отрезке $[0, 4]$ функция $f(x) = \sqrt{x}$ неотрицательна. Площадь вычисляется как: $S = \int_{0}^{4} \sqrt{x} dx = \int_{0}^{4} x^{1/2} dx$. Первообразная для $f(x) = x^{1/2}$ есть $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$. Вычисляем площадь: $S = F(4) - F(0) = \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot (\sqrt{4})^3 - 0 = \frac{2}{3} \cdot 2^3 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.
Ответ: $\frac{16}{3}$.

4) b = 8, f(x) = ³√x. Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=0$ и $x=8$. На отрезке $[0, 8]$ функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ неотрицательна. Площадь вычисляется как: $S = \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} dx = \int_{0}^{8} x^{1/3} dx$. Первообразная для $f(x) = x^{1/3}$ есть $F(x) = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}x^{4/3}$. Вычисляем площадь: $S = F(8) - F(0) = \frac{3}{4} \cdot 8^{4/3} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4/3} = \frac{3}{4} \cdot (\sqrt[3]{8})^4 - 0 = \frac{3}{4} \cdot 2^4 = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12$.
Ответ: 12.

5) b = 2, f(x) = 5x - x². Найдем точки пересечения графика с осью Ox: $f(x) = 0 \Rightarrow 5x - x^2 = 0 \Rightarrow x(5-x)=0$. Корни: $x_1 = 0, x_2 = 5$. Фигура ограничена графиком $y = 5x - x^2$, осью Ox и прямыми $x=0$ и $x=b=2$. На отрезке $[0, 2]$ функция $f(x) \ge 0$. Площадь вычисляется как: $S = \int_{0}^{2} (5x - x^2) dx$. Первообразная для $f(x) = 5x - x^2$ есть $F(x) = 5\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$. Вычисляем площадь: $S = F(2) - F(0) = \left(5\frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3}\right) - (0) = \left(5 \cdot 2 - \frac{8}{3}\right) = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}$.
Ответ: $\frac{22}{3}$.

6) b = 3, f(x) = x² + 2x. Найдем точки пересечения графика с осью Ox: $f(x) = 0 \Rightarrow x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2)=0$. Корни: $x_1 = -2, x_2 = 0$. Фигура ограничена графиком $y = x^2 + 2x$, осью Ox и прямыми $x=0$ и $x=b=3$. На отрезке $[0, 3]$ функция $f(x) \ge 0$. Площадь вычисляется как: $S = \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) dx$. Первообразная для $f(x) = x^2 + 2x$ есть $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2$. Вычисляем площадь: $S = F(3) - F(0) = \left(\frac{3^3}{3} + 3^2\right) - (0) = (9 + 9) = 18$.
Ответ: 18.

7) b = 1, f(x) = eˣ - 1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox: $f(x) = 0 \Rightarrow e^x - 1 = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x=0$. Фигура ограничена графиком $y = e^x - 1$, осью Ox и прямыми $x=0$ и $x=b=1$. На отрезке $[0, 1]$ функция $f(x) \ge 0$. Площадь вычисляется как: $S = \int_{0}^{1} (e^x - 1) dx$. Первообразная для $f(x) = e^x - 1$ есть $F(x) = e^x - x$. Вычисляем площадь: $S = F(1) - F(0) = (e^1 - 1) - (e^0 - 0) = (e - 1) - (1 - 0) = e - 2$.
Ответ: $e-2$.

8) b = 2, f(x) = 1 - 1/x. Найдем точку пересечения графика с осью Ox: $f(x) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x=1$. Фигура ограничена графиком $y = 1 - 1/x$, осью Ox и прямыми $x=1$ и $x=b=2$. На отрезке $[1, 2]$ функция $f(x) \ge 0$. Площадь вычисляется как: $S = \int_{1}^{2} \left(1 - \frac{1}{x}\right) dx$. Первообразная для $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$ есть $F(x) = x - \ln|x|$. Вычисляем площадь: $S = F(2) - F(1) = (2 - \ln 2) - (1 - \ln 1) = 2 - \ln 2 - 1 + 0 = 1 - \ln 2$.
Ответ: $1 - \ln 2$.

Вычислить интеграл (367–369).

367. 1) $\int_0^3 x^2 dx;$

2) $\int_{-2}^3 2x dx;$

3) $\int_1^2 \frac{1}{x^3} dx;$

4) $\int_4^9 \frac{1}{\sqrt{x}} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{3} x^2 dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = x^2 $. Используя табличный интеграл для степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $, получаем:

$ F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} $.

Теперь подставим пределы интегрирования $ a=0 $ и $ b=3 $ в формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{3} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9 $.

Ответ: 9

2) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{3} 2x dx $.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 2x $:

$ F(x) = \int 2x dx = 2 \int x^1 dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ a=-2 $ и $ b=3 $:

$ \int_{-2}^{3} 2x dx = \left. x^2 \right|_{-2}^{3} = 3^2 - (-2)^2 = 9 - 4 = 5 $.

Ответ: 5

3) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} dx $.

Представим подынтегральную функцию в виде степени: $ f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3} $.

Найдем первообразную для $ f(x) = x^{-3} $:

$ F(x) = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ a=1 $ и $ b=2 $:

$ \int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} dx = \left. -\frac{1}{2x^2} \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2 \cdot 2^2}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 1^2}\right) = -\frac{1}{2 \cdot 4} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{3}{8} $.

Ответ: $ \frac{3}{8} $

4) Вычислим интеграл $ \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx $.

Представим подынтегральную функцию в виде степени: $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} $.

Найдем первообразную для $ f(x) = x^{-1/2} $:

$ F(x) = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ a=4 $ и $ b=9 $:

$ \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \left. 2\sqrt{x} \right|_{4}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2 $.

Ответ: 2

368. 1) $\int_1^e \frac{1}{x} dx;$

2) $\int_0^{\ln 2} e^x dx;$

3) $\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x dx;$

4) $\int_{-3\pi}^{4 \atop 0} \cos 3x dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$ используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x|$. Так как интегрирование происходит на отрезке $[1, e]$, где $x > 0$, то $|x| = x$ и $F(x) = \ln x$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = \ln x \Big|_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\ln 2} e^x dx$ найдем первообразную.

Первообразной для функции $f(x) = e^x$ является сама функция $F(x) = e^x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\ln 2} e^x dx = e^x \Big|_{0}^{\ln 2} = e^{\ln 2} - e^0 = 2 - 1 = 1$.

Ответ: $1$.

3) Для вычисления интеграла $\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x dx$ найдем первообразную.

Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является функция $F(x) = -\cos x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x dx = (-\cos x) \Big|_{-2\pi}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(-2\pi))$.

Зная, что $\cos(\pi) = -1$ и $\cos(-2\pi) = \cos(2\pi) = 1$, получаем:

$(-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

4) Для вычисления интеграла $\int_{-3\pi}^{0} \cos 3x dx$ найдем первообразную.

Первообразной для функции $f(x) = \cos 3x$ является функция $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-3\pi}^{0} \cos 3x dx = \frac{1}{3}\sin 3x \Big|_{-3\pi}^{0} = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) - \frac{1}{3}\sin(3 \cdot (-3\pi)) = \frac{1}{3}\sin(0) - \frac{1}{3}\sin(-9\pi)$.

Так как синус любого целого кратного $\pi$ равен нулю, то $\sin(0) = 0$ и $\sin(-9\pi) = 0$.

$\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.

Ответ: $0$.

369. 1) $\int_{-3}^{2} (2x - 3) dx$;

2) $\int_{-2}^{-1} (5 - 4x) dx$;

3) $\int_{-1}^{2} (1 - 3x^2) dx$;

4) $\int_{-1}^{1} (x^2 + 1) dx$;

5) $\int_{1}^{2} (2x + 3x^2) dx$;

6) $\int_{-2}^{0} (9x^2 - 4x) dx$;

7) $\int_{-2}^{-1} (6x^2 + 2x - 10) dx$;

8) $\int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 5) dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-3}^{2} (2x - 3) dx$ используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - 3$. Используя таблицу первообразных, получаем:
$F(x) = \int (2x - 3) dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3x = 2 \frac{x^2}{2} - 3x = x^2 - 3x$.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования $a = -3$ и $b = 2$:
$\int_{-3}^{2} (2x - 3) dx = (x^2 - 3x) \Big|_{-3}^{2} = (2^2 - 3 \cdot 2) - ((-3)^2 - 3 \cdot (-3)) = (4 - 6) - (9 + 9) = -2 - 18 = -20$.
Ответ: -20

2) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} (5 - 4x) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = 5 - 4x$:
$F(x) = \int (5 - 4x) dx = 5x - 4 \frac{x^2}{2} = 5x - 2x^2$.
Подставим пределы интегрирования $a = -2$ и $b = -1$ в формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-2}^{-1} (5 - 4x) dx = (5x - 2x^2) \Big|_{-2}^{-1} = (5(-1) - 2(-1)^2) - (5(-2) - 2(-2)^2) = (-5 - 2(1)) - (-10 - 2(4)) = (-5 - 2) - (-10 - 8) = -7 - (-18) = -7 + 18 = 11$.
Ответ: 11

3) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{2} (1 - 3x^2) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = 1 - 3x^2$:
$F(x) = \int (1 - 3x^2) dx = x - 3 \frac{x^3}{3} = x - x^3$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов $a = -1$ и $b = 2$:
$\int_{-1}^{2} (1 - 3x^2) dx = (x - x^3) \Big|_{-1}^{2} = (2 - 2^3) - ((-1) - (-1)^3) = (2 - 8) - (-1 - (-1)) = -6 - (-1 + 1) = -6 - 0 = -6$.
Ответ: -6

4) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} (x^2 + 1) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = x^2 + 1$:
$F(x) = \int (x^2 + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x$.
Подставим пределы интегрирования $a = -1$ и $b = 1$ в формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{1} (x^2 + 1) dx = (\frac{x^3}{3} + x) \Big|_{-1}^{1} = (\frac{1^3}{3} + 1) - (\frac{(-1)^3}{3} + (-1)) = (\frac{1}{3} + 1) - (-\frac{1}{3} - 1) = \frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$

5) Вычислим интеграл $\int_{1}^{2} (2x + 3x^2) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = 2x + 3x^2$:
$F(x) = \int (2x + 3x^2) dx = 2\frac{x^2}{2} + 3\frac{x^3}{3} = x^2 + x^3$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов $a = 1$ и $b = 2$:
$\int_{1}^{2} (2x + 3x^2) dx = (x^2 + x^3) \Big|_{1}^{2} = (2^2 + 2^3) - (1^2 + 1^3) = (4 + 8) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10$.
Ответ: 10

6) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{0} (9x^2 - 4x) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = 9x^2 - 4x$:
$F(x) = \int (9x^2 - 4x) dx = 9\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} = 3x^3 - 2x^2$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов $a = -2$ и $b = 0$:
$\int_{-2}^{0} (9x^2 - 4x) dx = (3x^3 - 2x^2) \Big|_{-2}^{0} = (3 \cdot 0^3 - 2 \cdot 0^2) - (3(-2)^3 - 2(-2)^2) = 0 - (3(-8) - 2(4)) = -( -24 - 8) = -(-32) = 32$.
Ответ: 32

7) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} (6x^2 + 2x - 10) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = 6x^2 + 2x - 10$:
$F(x) = \int (6x^2 + 2x - 10) dx = 6\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} - 10x = 2x^3 + x^2 - 10x$.
Подставим пределы интегрирования $a = -2$ и $b = -1$ в формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-2}^{-1} (6x^2 + 2x - 10) dx = (2x^3 + x^2 - 10x) \Big|_{-2}^{-1} = (2(-1)^3 + (-1)^2 - 10(-1)) - (2(-2)^3 + (-2)^2 - 10(-2)) = (2(-1) + 1 + 10) - (2(-8) + 4 + 20) = (-2 + 1 + 10) - (-16 + 24) = 9 - 8 = 1$.
Ответ: 1

8) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 5) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$:
$F(x) = \int (3x^2 - 4x + 5) dx = 3\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 5x = x^3 - 2x^2 + 5x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов $a = 0$ и $b = 2$:
$\int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 5) dx = (x^3 - 2x^2 + 5x) \Big|_{0}^{2} = (2^3 - 2 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2) - (0^3 - 2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0) = (8 - 2 \cdot 4 + 10) - 0 = (8 - 8 + 10) = 10$.
Ответ: 10