Страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

378. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \sin x$, отрезком $[0; \pi]$ оси Ox и прямой, проходящей через точки $(0; 0)$ и $(\frac{\pi}{2}; 1)$;

2) графиками функций $y = \sin x$, $y = \cos x$ и отрезком $[0; \frac{\pi}{2}]$ оси Ox;

3) графиками функций $y = \sqrt{x}$, $y = (x - 2)^2$ и осью Ox;

4) графиками функций $y = x^3$, $y = 2x - x^2$ и осью Ox.

1)

Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$, отрезком $[0; \pi]$ оси Ox ($y=0$) и прямой, проходящей через точки $(0; 0)$ и $(\frac{\pi}{2}; 1)$.

Сначала найдем уравнение прямой. Так как прямая проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид $y = kx$. Подставив координаты второй точки $(\frac{\pi}{2}; 1)$, получим $1 = k \cdot \frac{\pi}{2}$, откуда $k = \frac{2}{\pi}$. Итак, уравнение прямой: $y = \frac{2}{\pi}x$.

Теперь найдем точки пересечения графиков $y = \sin x$ и $y = \frac{2}{\pi}x$. Очевидно, что $x=0$ и $x=\frac{\pi}{2}$ являются точками пересечения. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ график функции $y = \sin x$ (являющейся выпуклой вверх) лежит не ниже хорды, соединяющей точки $(0,0)$ и $(\frac{\pi}{2}, 1)$, то есть $\sin x \ge \frac{2}{\pi}x$. На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ функция $y = \sin x$ убывает от 1 до 0, а линейная функция $y = \frac{2}{\pi}x$ возрастает от 1 до 2, следовательно $\sin x \le \frac{2}{\pi}x$.

Фигура, о которой идет речь, ограничена снизу осью Ox ($y=0$), а сверху — нижней огибающей графиков функций $y=\sin x$ и $y=\frac{2}{\pi}x$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ нижняя граница — это прямая $y=\frac{2}{\pi}x$. На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ нижняя граница — это синусоида $y=\sin x$.

Площадь фигуры $S$ равна сумме площадей двух криволинейных трапеций:

$S = \int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{2}{\pi}x \,dx + \int\limits_{\pi/2}^{\pi} \sin x \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{2}{\pi}x \,dx = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{\pi} \left( (\frac{\pi}{2})^2 - 0^2 \right) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Вычислим второй интеграл:

$\int\limits_{\pi/2}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{\pi/2}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos \frac{\pi}{2}) = -(-1) - 0 = 1$.

Искомая площадь:

$S = \frac{\pi}{4} + 1$.

Ответ: $1 + \frac{\pi}{4}$.

2)

Фигура ограничена графиками функций $y = \sin x$, $y = \cos x$ и отрезком $[0; \frac{\pi}{2}]$ оси Ox ($y=0$).

Найдем точку пересечения графиков $y = \sin x$ и $y = \cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

$\sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$ выполняется неравенство $\cos x \ge \sin x$. На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $\sin x \ge \cos x$.

Фигура ограничена снизу осью Ox, а сверху — нижней огибающей графиков $y=\sin x$ и $y=\cos x$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$ верхняя граница фигуры — это график $y=\sin x$. На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ верхняя граница фигуры — это график $y=\cos x$.

Площадь фигуры $S$ равна сумме площадей двух криволинейных трапеций:

$S = \int\limits_{0}^{\pi/4} \sin x \,dx + \int\limits_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \,dx$

Вычислим интегралы:

$\int\limits_{0}^{\pi/4} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi/4} = (-\cos \frac{\pi}{4}) - (-\cos 0) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$.

$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \,dx = [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Искомая площадь:

$S = (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 - \sqrt{2}$.

Ответ: $2 - \sqrt{2}$.

3)

Фигура ограничена графиками функций $y = \sqrt{x}$, $y = (x-2)^2$ и осью Ox ($y=0$).

Найдем точки пересечения кривых. $y=\sqrt{x}$ и $y=(x-2)^2$: $\sqrt{x} = (x-2)^2$. Легко видеть, что $x=1$ является корнем уравнения: $\sqrt{1} = 1$ и $(1-2)^2 = 1$. График $y=\sqrt{x}$ пересекает ось Ox в точке $x=0$. График $y=(x-2)^2$ (парабола с вершиной в $(2,0)$) касается оси Ox в точке $x=2$.

Фигура ограничена снизу осью Ox. Верхняя граница фигуры образована частями графиков $y=\sqrt{x}$ и $y=(x-2)^2$. На отрезке $[0, 1]$ верхняя граница — это $y=\sqrt{x}$. На отрезке $[1, 2]$ верхняя граница — это $y=(x-2)^2$.

Площадь фигуры $

379. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y=9-x^2$, прямой $y=7-x$ и осью $Ox;

2) параболой $y=x(4-x)$, прямой $y=3$ и осью $Ox;

3) параболами $y=(x-2)^2$, $y=(x+2)^2$, прямой $y=1$ и осью $Ox;

4) параболами $y=(x+2)^2$, $y=(x-3)^2$, осью $Ox$ и прямой, проходящей через точки $(-1; 1)$ и $(1; 4);

5) графиком функции $y=\sin x$, прямой $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и отрезком $[0; \pi]$ оси $Ox;

6) графиком функции $y=\cos x$, прямой $y=\frac{1}{2}$ и отрезком $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ оси $Ox.

1) Фигура ограничена параболой $y = 9 - x^2$, прямой $y = 7 - x$ и осью Ox ($y = 0$).
Сначала найдем точки пересечения данных линий.
1. Пересечение параболы и прямой: $9 - x^2 = 7 - x \implies x^2 - x - 2 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения: $(-1, 8)$ и $(2, 5)$.
2. Пересечение параболы с осью Ox: $9 - x^2 = 0 \implies x = \pm 3$. Точки: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.
3. Пересечение прямой с осью Ox: $7 - x = 0 \implies x = 7$. Точка: $(7, 0)$.
Фигура расположена над осью Ox. Верхняя граница фигуры состоит из двух частей: дуги параболы и отрезка прямой. Точка, в которой парабола сменяется прямой, — это их точка пересечения $(2, 5)$. Таким образом, на отрезке $[-3, 2]$ фигура ограничена сверху параболой $y = 9 - x^2$, а на отрезке $[2, 7]$ — прямой $y = 7 - x$. Площадь фигуры $S$ можно найти как сумму площадей двух криволинейных трапеций:
$S = \int_{-3}^{2} (9 - x^2) \,dx + \int_{2}^{7} (7 - x) \,dx$.
Вычисляем первый интеграл: $\int_{-3}^{2} (9 - x^2) \,dx = \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{2} = \left(9(2) - \frac{2^3}{3}\right) - \left(9(-3) - \frac{(-3)^3}{3}\right) = \left(18 - \frac{8}{3}\right) - (-27 + 9) = \frac{46}{3} - (-18) = \frac{46}{3} + 18 = \frac{46+54}{3} = \frac{100}{3}$.
Вычисляем второй интеграл: $\int_{2}^{7} (7 - x) \,dx = \left[ 7x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{7} = \left(7(7) - \frac{7^2}{2}\right) - \left(7(2) - \frac{2^2}{2}\right) = \left(49 - \frac{49}{2}\right) - (14 - 2) = \frac{49}{2} - 12 = \frac{49-24}{2} = \frac{25}{2}$.
Общая площадь: $S = \frac{100}{3} + \frac{25}{2} = \frac{200 + 75}{6} = \frac{275}{6}$.
Ответ: $S = \frac{275}{6}$.

2) Фигура ограничена параболой $y = x(4 - x) = 4x - x^2$, прямой $y = 3$ и осью Ox ($y = 0$).
1. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox: $4x - x^2 = 0 \implies x(4-x)=0 \implies x=0, x=4$.
2. Найдем точки пересечения параболы с прямой $y=3$: $4x - x^2 = 3 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3)=0 \implies x=1, x=3$.
Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{4}{2(-1)} = 2$, $y(2) = 4(2) - 2^2 = 4$. Так как вершина (2, 4) находится выше прямой $y=3$, прямая $y=3$ пересекает параболу.
Фигура ограничена сверху функцией $f(x) = \min(4x - x^2, 3)$ и снизу осью Ox. На отрезках $[0, 1]$ и $[3, 4]$ верхняя граница — парабола $y = 4x - x^2$. На отрезке $[1, 3]$ верхняя граница — прямая $y = 3$.
Площадь $S$ вычисляется как сумма трех интегралов: $S = \int_{0}^{1} (4x - x^2) \,dx + \int_{1}^{3} 3 \,dx + \int_{3}^{4} (4x - x^2) \,dx$.
Вычисляем интегралы: $\int (4x - x^2) \,dx = 2x^2 - \frac{x^3}{3} + C$.
$\int_{0}^{1} (4x - x^2) \,dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left(2 - \frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{5}{3}$.
$\int_{1}^{3} 3 \,dx = [3x]_{1}^{3} = 3(3) - 3(1) = 6$.
$\int_{3}^{4} (4x - x^2) \,dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{3}^{4} = \left(2(16) - \frac{64}{3}\right) - \left(2(9) - \frac{27}{3}\right) = \left(32 - \frac{64}{3}\right) - (18-9) = \frac{32}{3} - 9 = \frac{5}{3}$.
Общая площадь: $S = \frac{5}{3} + 6 + \frac{5}{3} = \frac{10}{3} + 6 = \frac{10+18}{3} = \frac{28}{3}$.
Ответ: $S = \frac{28}{3}$.

3) Фигура ограничена параболами $y = (x-2)^2$, $y = (x+2)^2$, прямой $y=1$ и осью Ox ($y=0$).
Парабола $y=(x-2)^2$ имеет вершину в точке $(2,0)$. Парабола $y=(x+2)^2$ имеет вершину в точке $(-2,0)$.
Найдем точки пересечения парабол с прямой $y=1$:
$(x-2)^2 = 1 \implies x-2 = \pm 1 \implies x=1, x=3$.
$(x+2)^2 = 1 \implies x+2 = \pm 1 \implies x=-1, x=-3$.
Фигура ограничена снизу осью Ox ($y=0$). Верхняя граница фигуры состоит из трех частей: - на отрезке $[-2, -1]$ — дуга параболы $y=(x+2)^2$; - на отрезке $[-1, 1]$ — отрезок прямой $y=1$; - на отрезке $[1, 2]$ — дуга параболы $y=(x-2)^2$.
Площадь $S$ можно вычислить как сумму трех интегралов: $S = \int_{-2}^{-1} (x+2)^2 \,dx + \int_{-1}^{1} 1 \,dx + \int_{1}^{2} (x-2)^2 \,dx$.
Вычисляем интегралы. Заметим, что первый и третий интегралы равны из-за симметрии. $\int_{1}^{2} (x-2)^2 \,dx = \left[ \frac{(x-2)^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{(2-2)^3}{3} - \frac{(1-2)^3}{3} = 0 - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$.
Следовательно, $\int_{-2}^{-1} (x+2)^2 \,dx = \frac{1}{3}$.
$\int_{-1}^{1} 1 \,dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2$.
Общая площадь: $S = \frac{1}{3} + 2 + \frac{1}{3} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: $S = \frac{8}{3}$.

4) Фигура ограничена параболами $y=(x+2)^2$, $y=(x-3)^2$, осью Ox и прямой, проходящей через точки $(-1; 1)$ и $(1; 4)$.
1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A$(-1; 1)$ и B$(1; 4)$. Угловой коэффициент: $m = \frac{4-1}{1-(-1)} = \frac{3}{2}$. Уравнение прямой: $y - 1 = \frac{3}{2}(x+1) \implies y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} + 1 \implies y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$.
2. Вершины парабол: $y=(x+2)^2$ в точке $(-2,0)$ и $y=(x-3)^2$ в точке $(3,0)$.
3. Точка $(-1,1)$ является точкой пересечения левой параболы $y=(x+2)^2$ и прямой. Проверим: $(-1+2)^2=1^2=1$. Точка $(1,4)$ является точкой пересечения правой параболы $y=(x-3)^2$ и прямой. Проверим: $(1-3)^2=(-2)^2=4$.
Верхняя граница фигуры состоит из трех частей: - на отрезке $[-2, -1]$ — дуга параболы $y=(x+2)^2$; - на отрезке $[-1, 1]$ — отрезок прямой $y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$; - на отрезке $[1, 3]$ — дуга параболы $y=(x-3)^2$.
Площадь $S$ вычисляется как сумма трех интегралов: $S = \int_{-2}^{-1} (x+2)^2 \,dx + \int_{-1}^{1} \left(\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}\right) \,dx + \int_{1}^{3} (x-3)^2 \,dx$.
Вычисляем интегралы: $\int_{-2}^{-1} (x+2)^2 \,dx = \left[ \frac{(x+2)^3}{3} \right]_{-2}^{-1} = \frac{(-1+2)^3}{3} - \frac{(-2+2)^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.
$\int_{-1}^{1} \left(\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}\right) \,dx = \left[ \frac{3x^2}{4} + \frac{5x}{2} \right]_{-1}^{1} = \left(\frac{3}{4} + \frac{5}{2}\right) - \left(\frac{3}{4} - \frac{5}{2}\right) = \frac{5}{2} - (-\frac{5}{2}) = 5$.
$\int_{1}^{3} (x-3)^2 \,dx = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{(3-3)^3}{3} - \frac{(1-3)^3}{3} = 0 - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3}$.
Общая площадь: $S = \frac{1}{3} + 5 + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} + 5 = 3 + 5 = 8$.
Ответ: $S = 8$.

5) Фигура ограничена графиком функции $y=\sin x$, прямой $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и отрезком $[0; \pi]$ оси Ox.
Найдем точки пересечения графика $y=\sin x$ с прямой $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0, \pi]$: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x_1 = \frac{\pi}{3}, x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Фигура ограничена снизу осью Ox, а сверху — функцией $f(x) = \min(\sin x, \frac{\sqrt{3}}{2})$. - на отрезке $[0, \frac{\pi}{3}]$ верхняя граница — $y=\sin x$; - на отрезке $[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$ верхняя граница — $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$; - на отрезке $[\frac{2\pi}{3}, \pi]$ верхняя граница — $y=\sin x$.
Площадь $S$ вычисляется как сумма трех интегралов: $S = \int_{0}^{\pi/3} \sin x \,dx + \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\sqrt{3}}{2} \,dx + \int_{2\pi/3}^{\pi} \sin x \,dx$.
Вычисляем интегралы: $\int_{0}^{\pi/3} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi/3} = -\cos(\frac{\pi}{3}) - (-\cos(0)) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.
$\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\sqrt{3}}{2} \,dx = \left[\frac{\sqrt{3}}{2}x\right]_{\pi/3}^{2\pi/3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.
$\int_{2\pi/3}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{2\pi/3}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(\frac{2\pi}{3})) = -(-1) - (-(-\frac{1}{2})) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Общая площадь: $S = \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $S = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.

6) Фигура ограничена графиком функции $y=\cos x$, прямой $y=\frac{1}{2}$ и отрезком $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ оси Ox.
Найдем точки пересечения графика $y=\cos x$ с прямой $y=\frac{1}{2}$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$: $\cos x = \frac{1}{2} \implies x_1 = -\frac{\pi}{3}, x_2 = \frac{\pi}{3}$.
Фигура симметрична относительно оси Oy. Верхняя граница определяется функцией $f(x) = \min(\cos x, \frac{1}{2})$. - на отрезках $[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}]$ и $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$ верхняя граница — $y=\cos x$; - на отрезке $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$ верхняя граница — $y=\frac{1}{2}$.
Площадь $S$ вычисляется как сумма трех интегралов: $S = \int_{-\pi/2}^{-\pi/3} \cos x \,dx + \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{1}{2} \,dx + \int_{\pi/3}^{\pi/2} \cos x \,dx$.
Вычисляем интегралы: $\int_{-\pi/2}^{-\pi/3} \cos x \,dx = [\sin x]_{-\pi/2}^{-\pi/3} = \sin(-\frac{\pi}{3}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{1}{2} \,dx = \left[\frac{1}{2}x\right]_{-\pi/3}^{\pi/3} = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3})\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
$\int_{\pi/3}^{\pi/2} \cos x \,dx = [\sin x]_{\pi/3}^{\pi/2} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общая площадь: $S = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{\pi}{3} + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 - \sqrt{3} + \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $S = \frac{\pi}{3} + 2 - \sqrt{3}$.

380. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y = x^2 - 4x + 3$ и осью $Ox;$

2) графиком функции $y = \cos x$, прямыми $x = \frac{3\pi}{4}$, $x = \pi$ и осью $Ox.$

1) параболой y = x² - 4x + 3 и осью Ox;

Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью Ox, вычисляется с помощью определенного интеграла. Сначала найдем точки пересечения параболы $y = x^2 - 4x + 3$ с осью Ox (где $y=0$).

Приравняем уравнение параболы к нулю:
$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Это и будут пределы интегрирования.

Чтобы определить, находится ли график функции выше или ниже оси Ox на интервале $(1, 3)$, возьмем любую точку из этого интервала, например $x=2$.
$y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Поскольку значение функции отрицательно, график на данном интервале расположен ниже оси Ox. Поэтому для вычисления площади мы должны взять интеграл от функции с противоположным знаком.

Площадь $S$ равна:
$S = \int_1^3 |x^2 - 4x + 3| \, dx = \int_1^3 -(x^2 - 4x + 3) \, dx = \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3) \, dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left(-\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - 3x\right)\Big|_1^3 = \left(-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x\right)\Big|_1^3$
$S = \left(-\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1\right)$
$S = \left(-\frac{27}{3} + 2 \cdot 9 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right)$
$S = (-9 + 18 - 9) - (-\frac{1}{3} - 1) = 0 - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$

Ответ: $S = \frac{4}{3}$

2) графиком функции y = cos x, прямыми x = 3π/4, x = π и осью Ox.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \cos x$, осью Ox и вертикальными прямыми $x = \frac{3\pi}{4}$ и $x = \pi$, вычисляется как определенный интеграл от модуля функции по заданному отрезку.

Определим знак функции $y = \cos x$ на интервале $[\frac{3\pi}{4}, \pi]$. Этот интервал соответствует второй четверти координатной плоскости, где косинус принимает отрицательные значения. Следовательно, $\cos x \le 0$ для $x \in [\frac{3\pi}{4}, \pi]$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{3\pi/4}^{\pi} |\cos x| \, dx = \int_{3\pi/4}^{\pi} (-\cos x) \, dx$

Найдем первообразную для функции $-\cos x$. Это $-\sin x$. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = (-\sin x)\Big|_{3\pi/4}^{\pi} = (-\sin \pi) - (-\sin \frac{3\pi}{4})$

Мы знаем, что $\sin \pi = 0$ и $\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения:
$S = (0) - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $S = \frac{\sqrt{2}}{2}$

381. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y = 6x - x^2$ и прямой $y = x + 4$;

2) параболой $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$.

1) параболой $y = 6x - x^2$ и прямой $y = x + 4$

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения:

$6x - x^2 = x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Используя разложение на множители $(x-1)(x-4)=0$ или теорему Виета, получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Это будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(1, 4)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например $x = 2$.

Для параболы: $y_1 = 6(2) - 2^2 = 12 - 4 = 8$.

Для прямой: $y_2 = 2 + 4 = 6$.

Так как $y_1 > y_2$ на интервале $(1, 4)$, парабола $y = 6x - x^2$ лежит выше прямой $y = x + 4$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x_1$ до $x_2$:

$S = \int_{1}^{4} ((6x - x^2) - (x + 4)) \,dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_{1}^{4} (6x - x^2 - x - 4) \,dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) \,dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right) \right|_{1}^{4}$

$S = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - \frac{8}{2} \right)$

$S = \left( 24 - \frac{64}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} \right)$

$S = \left( \frac{72 - 64}{3} \right) - \left( \frac{-2 - 9}{6} \right) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} \right)$

$S = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: 4,5.

2) параболой $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$

Найдем точки пересечения параболы и прямой, приравняв их уравнения:

$4 - x^2 = x + 2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Используя разложение на множители $(x+2)(x-1)=0$ или теорему Виета, находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Эти значения являются пределами интегрирования.

Определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(-2, 1)$. Выберем пробную точку, например $x = 0$:

Для параболы: $y_1 = 4 - 0^2 = 4$.

Для прямой: $y_2 = 0 + 2 = 2$.

Поскольку $y_1 > y_2$, на данном интервале парабола $y = 4 - x^2$ находится над прямой $y = x + 2$.

Площадь искомой фигуры $S$ равна интегралу от разности функции параболы и функции прямой в найденных пределах:

$S = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) \,dx$

Упростим выражение под знаком интеграла:

$S = \int_{-2}^{1} (4 - x^2 - x - 2) \,dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \,dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-2}^{1}$

$S = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right)$

$S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right)$

$S = \left( -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right)$

$S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) = \frac{7}{6} - \left( \frac{8 - 18}{3} \right)$

$S = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3}$

$S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: 4,5.

382. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y = (x + 2)^2$ и прямой $y = x + 2;

2) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и параболой $y = x^2;

3) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямой $y = x;

4) параболой $y = (x - 1)^2$ и прямой $y = 5 + x;

5) прямой $y = 1$, осью $Oy$ и графиком функции $y = \sin x,

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = (x + 2)^2$ и прямой $y = x + 2$, сначала найдем точки пересечения их графиков. Для этого приравняем выражения для $y$:

$(x + 2)^2 = x + 2$

$(x + 2)^2 - (x + 2) = 0$

$(x + 2)(x + 2 - 1) = 0$

$(x + 2)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем абсциссы точек пересечения: $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$.

На промежутке $[-2, -1]$ определим, какая функция больше. Возьмем пробную точку $x = -1.5$:

Для прямой: $y = -1.5 + 2 = 0.5$

Для параболы: $y = (-1.5 + 2)^2 = (0.5)^2 = 0.25$

Так как $0.5 > 0.25$, на промежутке $[-2, -1]$ график прямой $y = x + 2$ лежит выше графика параболы $y = (x + 2)^2$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x_1$ до $x_2$:

$S = \int_{-2}^{-1} ((x + 2) - (x + 2)^2) dx = \int_{-2}^{-1} (x + 2 - (x^2 + 4x + 4)) dx$

$S = \int_{-2}^{-1} (x + 2 - x^2 - 4x - 4) dx = \int_{-2}^{-1} (-x^2 - 3x - 2) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 2x \right) \right|_{-2}^{-1}$

$S = \left( -\frac{(-1)^3}{3} - \frac{3(-1)^2}{2} - 2(-1) \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{3(-2)^2}{2} - 2(-2) \right)$

$S = \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 + 4 \right) = \left( \frac{2 - 9 + 12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 \right)$

$S = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5 - 4}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x}$ и параболой $y = x^2$.

Найдем точки пересечения, приравняв функции:

$\sqrt{x} = x^2$

Возведем обе части в квадрат (учитывая, что $x \ge 0$):

$x = x^4$

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

Абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

На промежутке $[0, 1]$ выберем пробную точку $x = 0.25$:

Для $y = \sqrt{x}$: $y = \sqrt{0.25} = 0.5$

Для $y = x^2$: $y = (0.25)^2 = 0.0625$

Так как $0.5 > 0.0625$, график $y = \sqrt{x}$ лежит выше графика $y = x^2$ на данном промежутке.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) dx = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x^2) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{1} = \left. \left( \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{1}$

$S = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{2}{3}(0)^{3/2} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямой $y = x$.

Найдем точки пересечения:

$\sqrt{x} = x$

Возведем в квадрат ($x \ge 0$):

$x = x^2$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

На промежутке $[0, 1]$ выберем пробную точку $x = 0.25$:

Для $y = \sqrt{x}$: $y = \sqrt{0.25} = 0.5$

Для $y = x$: $y = 0.25$

Так как $0.5 > 0.25$, график $y = \sqrt{x}$ лежит выше графика $y = x$ на данном промежутке.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right) \right|_{0}^{1}$

$S = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1^2}{2} \right) - 0 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

4) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = (x - 1)^2$ и прямой $y = 5 + x$.

Найдем точки пересечения:

$(x - 1)^2 = 5 + x$

$x^2 - 2x + 1 = 5 + x$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

На промежутке $[-1, 4]$ выберем пробную точку $x = 0$:

Для прямой: $y = 5 + 0 = 5$

Для параболы: $y = (0 - 1)^2 = 1$

Так как $5 > 1$, на промежутке $[-1, 4]$ график прямой $y = 5 + x$ лежит выше графика параболы $y = (x - 1)^2$.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{-1}^{4} ((5 + x) - (x - 1)^2) dx = \int_{-1}^{4} (5 + x - (x^2 - 2x + 1)) dx$

$S = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right) \right|_{-1}^{4}$

$S = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 4(-1) \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 24 + 16 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 40 \right) - \left( \frac{2 + 9 - 24}{6} \right) = \frac{-64 + 120}{3} - \frac{-13}{6} = \frac{56}{3} + \frac{13}{6}$

$S = \frac{112}{6} + \frac{13}{6} = \frac{125}{6}$

Ответ: $\frac{125}{6}$

5) Найдем площадь фигуры, ограниченной прямой $y=1$, осью Oy ($x=0$) и графиком функции $y = \sin x$ на отрезке $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$.

Фигура ограничена сверху прямой $y=1$, снизу графиком $y = \sin x$ и слева осью Oy, т.е. прямой $x=0$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y=\sin x$ возрастает от $0$ до $1$. Таким образом, $1 \ge \sin x$ на этом отрезке. Правой границей интегрирования будет абсцисса точки пересечения графиков $y=1$ и $y=\sin x$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $0$ до $\frac{\pi}{2}$:

$S = \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin x) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left. (x - (-\cos x)) \right|_{0}^{\pi/2} = \left. (x + \cos x) \right|_{0}^{\pi/2}$

$S = \left( \frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2} \right) - (0 + \cos 0)$

$S = \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1$

Ответ: $\frac{\pi}{2} - 1$

383. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y = -x^2 + 4x - 3$ и прямой, проходящей через точки $(1; 0)$ и $(0; -3);$

2) параболой $y = -x^2$ и прямой $y = -2;$

3) параболами $y = 1 - x^2$ и $y = x^2 - 1;$

4) графиком функции $y = x^3$ и прямыми $y = 1$ и $x = -2;$

5) прямой $y = x$ и графиком функции $y = x^3, -1 \le x \le 0;$

6) параболами $y = x^2 - 2x$ и $y = -x^2.$

1) Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки $(1; 0)$ и $(0; -3)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$.
Подставляя координаты точки $(0; -3)$, получаем: $-3 = k \cdot 0 + b$, откуда $b = -3$.
Подставляя координаты точки $(1; 0)$ и найденное значение $b$, получаем: $0 = k \cdot 1 - 3$, откуда $k = 3$.
Итак, уравнение прямой: $y = 3x - 3$.

Теперь найдем точки пересечения параболы $y = -x^2 + 4x - 3$ и прямой $y = 3x - 3$, приравняв их уравнения:
$-x^2 + 4x - 3 = 3x - 3$
$-x^2 + x = 0$
$x(1 - x) = 0$
Корни уравнения, которые являются пределами интегрирования: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

На интервале $(0, 1)$ парабола $y = -x^2 + 4x - 3$ находится выше прямой $y = 3x - 3$ (например, при $x=0.5$ имеем $y_{параболы} = -0.25+2-3 = -1.25$ и $y_{прямой} = 1.5-3 = -1.5$).
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_0^1 ((-x^2 + 4x - 3) - (3x - 3)) dx = \int_0^1 (-x^2 + x) dx$
$S = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \left(-\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2}\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2}\right) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2) Найдем точки пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = -2$:
$-x^2 = -2$
$x^2 = 2$
Пределы интегрирования: $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$.

На интервале $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ парабола $y = -x^2$ (значения от $-2$ до $0$) находится выше прямой $y = -2$.
Площадь фигуры: $S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^2 - (-2)) dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 - x^2) dx$
Так как подынтегральная функция $2-x^2$ четная, можно вычислить интеграл как:
$S = 2 \int_0^{\sqrt{2}} (2 - x^2) dx = 2 \left[2x - \frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{2}} = 2 \left( (2\sqrt{2} - \frac{(\sqrt{2})^3}{3}) - 0 \right)$
$S = 2 \left(2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = 2 \left(\frac{6\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{3}\right) = 2 \left(\frac{4\sqrt{2}}{3}\right) = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt{2}}{3}$.

3) Найдем точки пересечения парабол $y = 1 - x^2$ и $y = x^2 - 1$:
$1 - x^2 = x^2 - 1$
$2 = 2x^2$
$x^2 = 1$
Пределы интегрирования: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

На интервале $(-1, 1)$ парабола $y = 1 - x^2$ (ветви вниз, вершина в $(0,1)$) находится выше параболы $y = x^2 - 1$ (ветви вверх, вершина в $(0,-1)$).
Площадь фигуры:
$S = \int_{-1}^{1} ((1 - x^2) - (x^2 - 1)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx$
Подынтегральная функция $2-2x^2$ четная, поэтому:
$S = 2 \int_0^1 (2 - 2x^2) dx = 2 \left[2x - \frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = 2 \left( (2 \cdot 1 - \frac{2 \cdot 1^3}{3}) - 0 \right)$
$S = 2 \left(2 - \frac{2}{3}\right) = 2 \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

4) Фигура ограничена графиком $y = x^3$, прямой $y=1$ и прямой $x=-2$.
Найдем точки пересечения границ:
$y = x^3$ и $y=1 \implies x^3 = 1 \implies x=1$.
$y = x^3$ и $x=-2 \implies y = (-2)^3 = -8$.
$y=1$ и $x=-2$ пересекаются в точке $(-2, 1)$.
Фигура ограничена слева прямой $x=-2$, справа - точкой пересечения $x=1$, сверху - прямой $y=1$, снизу - кривой $y=x^3$.
Пределы интегрирования по оси $x$: от $-2$ до $1$. Верхняя функция $y_{верх} = 1$, нижняя функция $y_{нижн} = x^3$.
Площадь фигуры:
$S = \int_{-2}^{1} (1 - x^3) dx = \left[x - \frac{x^4}{4}\right]_{-2}^{1}$
$S = \left(1 - \frac{1^4}{4}\right) - \left(-2 - \frac{(-2)^4}{4}\right) = \left(1 - \frac{1}{4}\right) - \left(-2 - \frac{16}{4}\right)$
$S = \frac{3}{4} - (-2 - 4) = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{3}{4} + 6 = \frac{3+24}{4} = \frac{27}{4}$.

Ответ: $\frac{27}{4}$.

5) Фигура ограничена прямой $y = x$ и графиком $y = x^3$ на отрезке $-1 \le x \le 0$.
Пределы интегрирования заданы условием: от $-1$ до $0$.
На интервале $(-1, 0)$ определим, какая функция больше. Возьмем тестовую точку $x = -0.5$:
$y_{прямая} = -0.5$
$y_{график} = (-0.5)^3 = -0.125$
Поскольку $-0.125 > -0.5$, на данном интервале график функции $y=x^3$ лежит выше прямой $y=x$.
Площадь фигуры:
$S = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}$
$S = \left(\frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2}\right) - \left(\frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2}\right) = 0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

6) Найдем точки пересечения парабол $y = x^2 - 2x$ и $y = -x^2$:
$x^2 - 2x = -x^2$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
Пределы интегрирования: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

На интервале $(0, 1)$ определим, какая функция больше. Возьмем тестовую точку $x = 0.5$:
$y_1 = (0.5)^2 - 2(0.5) = 0.25 - 1 = -0.75$
$y_2 = -(0.5)^2 = -0.25$
Поскольку $-0.25 > -0.75$, парабола $y = -x^2$ находится выше параболы $y = x^2 - 2x$.
Площадь фигуры:
$S = \int_{0}^{1} (-x^2 - (x^2 - 2x)) dx = \int_{0}^{1} (-2x^2 + 2x) dx$
$S = \left[-\frac{2x^3}{3} + x^2\right]_0^1 = \left(-\frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1^2\right) - 0 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.