Страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

403. В цилиндрическом сосуде с подвижным поршнем находится газ, который медленно расширяется (в результате теплообмена температура газа $T$ остаётся постоянной). Найти работу силы давления газа при его расширении от объёма $V_1$ до объёма $V_2$, если в сосуде находится $v$ молей газа.

Работа, совершаемая газом при изменении его объема от начального значения $V_1$ до конечного $V_2$, в общем случае вычисляется как интеграл от давления по объему: $$A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV$$

В задаче указано, что процесс расширения газа происходит медленно и его температура $T$ остается постоянной. Такой процесс называется изотермическим. Для идеального газа, состояние которого описывается уравнением Менделеева-Клапейрона, связь между давлением, объемом и температурой выражается формулой: $$pV = \nu RT$$ где $p$ – давление, $V$ – объем, $\nu$ – количество вещества газа в молях, $R$ – универсальная газовая постоянная, а $T$ – абсолютная температура.

Поскольку в ходе процесса расширения объем газа меняется, давление также не является постоянной величиной. Выразим давление $p$ из уравнения состояния идеального газа как функцию объема $V$: $$p(V) = \frac{\nu RT}{V}$$

Теперь подставим это выражение для давления в формулу для работы: $$A = \int_{V_1}^{V_2} \frac{\nu RT}{V} \, dV$$

Величины $\nu$, $R$ и $T$ в данном изотермическом процессе являются константами, поэтому их можно вынести за знак интеграла: $$A = \nu RT \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V}$$

Интеграл от функции $\frac{1}{V}$ равен натуральному логарифму $\ln(V)$. Вычислим определенный интеграл: $$\int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V} = [\ln(V)]_{V_1}^{V_2} = \ln(V_2) - \ln(V_1)$$

Используя свойство логарифмов ($\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$), получаем: $$\ln(V_2) - \ln(V_1) = \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

Таким образом, окончательная формула для работы газа при изотермическом расширении имеет вид: $$A = \nu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$ Поскольку газ расширяется, $V_2 > V_1$, следовательно, $\frac{V_2}{V_1} > 1$ и $\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) > 0$, что означает, что работа газа положительна, как и должно быть при расширении.

Ответ: $A = \nu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

404. При прохождении через защитную стенку атомного реактора нейтроны частично поглощаются ядрами материала стенки. Пусть $F(x)$ — поток нейтронов, прошедших через стенку толщиной $x$.

1) Составить дифференциальное уравнение для функции $F(x)$, если известно, что часть потока, поглощённая материалом стенки толщиной $\Delta x$, пропорциональна величине самого потока (коэффициент пропорциональности $\sigma_0$ называется постоянной поглощения нейтронов).

2) Найти решение полученного дифференциального уравнения.

3) Определить, какой должна быть толщина стенки, чтобы уменьшить поток в 2 раза.

1) Составить дифференциальное уравнение для функции F(x), если известно, что часть потока, поглощённая материалом стенки толщиной Δx, пропорциональна величине самого потока (коэффициент пропорциональности σ₀ называется постоянной поглощения нейтронов).

Пусть $F(x)$ — это поток нейтронов, прошедших через стенку толщиной $x$. Рассмотрим тонкий слой материала стенки толщиной $\Delta x$, находящийся на глубине $x$. Поток, входящий в этот слой, равен $F(x)$. Поток, выходящий из этого слоя (то есть прошедший толщину $x + \Delta x$), равен $F(x + \Delta x)$.

Уменьшение потока при прохождении этого слоя равно $F(x) - F(x + \Delta x)$. Эта величина и есть поглощённая часть потока. Согласно условию задачи, поглощённая часть потока пропорциональна величине потока $F(x)$, входящего в слой, и толщине слоя $\Delta x$. Коэффициент пропорциональности — $\sigma_0$.

Таким образом, мы можем записать математическое соотношение: $F(x) - F(x + \Delta x) = \sigma_0 \cdot F(x) \cdot \Delta x$

Перепишем это соотношение, вынеся знак минус: $-(F(x + \Delta x) - F(x)) = \sigma_0 \cdot F(x) \cdot \Delta x$

Разделим обе части на $\Delta x$: $-\frac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x} = \sigma_0 \cdot F(x)$

Теперь совершим предельный переход, устремив толщину слоя $\Delta x$ к нулю. Выражение в левой части по определению производной стремится к $-F'(x)$: $\lim_{\Delta x \to 0} \left(-\frac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x}\right) = -F'(x)$

В итоге мы получаем дифференциальное уравнение, описывающее изменение потока нейтронов в зависимости от толщины стенки: $-F'(x) = \sigma_0 F(x)$ или $F'(x) = -\sigma_0 F(x)$

Ответ: Дифференциальное уравнение для функции $F(x)$ имеет вид $F'(x) + \sigma_0 F(x) = 0$.

2) Найти решение полученного дифференциального уравнения.

Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: $\frac{dF}{dx} = -\sigma_0 F$

Разделим переменные, сгруппировав все члены с $F$ в левой части, а с $x$ — в правой: $\frac{dF}{F} = -\sigma_0 dx$

Проинтегрируем обе части полученного уравнения: $\int \frac{dF}{F} = \int -\sigma_0 dx$

Вычисляя интегралы, получаем: $\ln|F| = -\sigma_0 x + C_1$, где $C_1$ — произвольная постоянная интегрирования.

Поскольку поток $F(x)$ — это физическая величина (количество частиц), он не может быть отрицательным, следовательно $|F| = F$. $\ln F = -\sigma_0 x + C_1$

Чтобы выразить $F(x)$, выполним операцию потенцирования (возьмём экспоненту от обеих частей): $F(x) = e^{-\sigma_0 x + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{-\sigma_0 x}$

Обозначим константу $e^{C_1}$ как $C$. Эта константа имеет ясный физический смысл: это значение потока при $x=0$, то есть начальный поток до входа в защитную стенку. Обозначим его как $F_0$. $F(0) = C \cdot e^{-\sigma_0 \cdot 0} = C \cdot 1 = C$, таким образом, $C = F_0$.

Итоговое решение дифференциального уравнения (закон ослабления потока): $F(x) = F_0 e^{-\sigma_0 x}$

Ответ: Решением дифференциального уравнения является функция $F(x) = F_0 e^{-\sigma_0 x}$, где $F_0$ — начальный поток нейтронов при $x=0$.

3) Определить, какой должна быть толщина стенки, чтобы уменьшить поток в 2 раза.

Нам необходимо найти такую толщину стенки $x$, при которой прошедший поток $F(x)$ будет в два раза меньше начального потока $F_0$. Математически это условие записывается следующим образом: $F(x) = \frac{F_0}{2}$

Воспользуемся решением, полученным в пункте 2, и подставим его в это уравнение: $F_0 e^{-\sigma_0 x} = \frac{F_0}{2}$

Сократим обе части уравнения на $F_0$ (так как начальный поток не равен нулю): $e^{-\sigma_0 x} = \frac{1}{2}$

Для нахождения $x$ необходимо взять натуральный логарифм от обеих частей уравнения: $\ln(e^{-\sigma_0 x}) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

Применяя свойства логарифмов ($\ln(e^a) = a$ и $\ln(1/b) = \ln(1) - \ln(b) = -\ln(b)$), получаем: $-\sigma_0 x = -\ln(2)$

Домножим обе части на $-1$: $\sigma_0 x = \ln(2)$

Наконец, выразим искомую толщину $x$: $x = \frac{\ln(2)}{\sigma_0}$

Ответ: Чтобы уменьшить поток в 2 раза, толщина стенки должна быть равна $x = \frac{\ln(2)}{\sigma_0}$.

1. Что называется первообразной для функции $y=f(x)$ на некотором интервале?

1. Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке (интервале) $I$, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство:

$F'(x) = f(x)$

Иными словами, первообразная — это такая функция, производная которой равна исходной функции. Нахождение первообразной является операцией, обратной дифференцированию, и называется интегрированием.

Например, для функции $f(x) = x^2$ одной из первообразных будет функция $F(x) = \frac{x^3}{3}$, так как ее производная равна исходной функции:

$F'(x) = \left(\frac{x^3}{3}\right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2 = f(x)$

Важно отметить, что если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, то и любая функция вида $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа), также будет первообразной для $f(x)$. Это следует из того, что производная любой константы равна нулю:

$(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$

Таким образом, выражение $F(x) + C$ описывает множество всех первообразных для функции $f(x)$ на данном интервале.

Ответ: Первообразной для функции $y=f(x)$ на некотором интервале называется такая функция $F(x)$, производная которой для всех $x$ из этого интервала равна $f(x)$, то есть выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

2. Как задать все первообразные функции $y = f(x)$, если $F(x)$ — одна из них?

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $y=f(x)$ на заданном промежутке, если для всех значений $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Основное свойство первообразных (которое иногда называют теоремой о совокупности первообразных) утверждает, что если $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$, то любая другая первообразная для $f(x)$ на том же промежутке имеет вид $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Это можно доказать. Пусть $G(x)$ — еще одна первообразная для функции $f(x)$. Тогда по определению $G'(x) = f(x)$. Нам также известно, что $F'(x) = f(x)$.

Рассмотрим производную разности функций $G(x)$ и $F(x)$:
$(G(x) - F(x))' = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$.

Из следствия теоремы Лагранжа известно, что если производная некоторой функции на промежутке равна нулю, то эта функция является постоянной (константой) на этом промежутке. Следовательно, существует такое число $C$, что для всех $x$ из рассматриваемого промежутка выполняется равенство:
$G(x) - F(x) = C$.

Отсюда получаем, что любая первообразная $G(x)$ может быть представлена в виде $G(x) = F(x) + C$.

Таким образом, чтобы задать все первообразные функции $y=f(x)$, достаточно найти одну любую первообразную $F(x)$ и прибавить к ней произвольную постоянную $C$. Это выражение $F(x) + C$ описывает всё семейство первообразных для функции $f(x)$.

Ответ: Все первообразные функции $y=f(x)$ задаются формулой $F(x) + C$, где $F(x)$ — одна из первообразных, а $C$ — произвольная постоянная ($C \in \mathbb{R}$).

3. Записать формулы первообразных для функций

$y = x^p (p \ne -1)$, $y = \frac{1}{x} (x > 0, x < 0)$, $y = e^x$, $y = \sin x$, $y = \cos x$.

y = x^p (p ≠ -1)
Для нахождения первообразной степенной функции $y = x^p$ используется стандартная формула из таблицы первообразных: первообразной для функции $x^n$ является функция $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ при условии, что $n \neq -1$. В данном случае показатель степени равен $p$. Применяя эту формулу, мы получаем, что любая первообразная для функции $y = x^p$ имеет вид $F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Проверим результат дифференцированием:
$F'(x) = \left(\frac{x^{p+1}}{p+1} + C\right)' = \frac{1}{p+1} \cdot (x^{p+1})' + C' = \frac{1}{p+1} \cdot (p+1)x^{(p+1)-1} + 0 = x^p$.
Так как производная $F'(x)$ равна исходной функции $y=x^p$, формула найдена верно. Ограничение $p \neq -1$ необходимо, чтобы избежать деления на ноль.
Ответ: $F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C$.

y = 1/x (x > 0, x < 0)
Данная функция является частным случаем степенной функции $y=x^p$ при $p=-1$. В этом случае формула из предыдущего пункта неприменима. Первообразную для функции $y=1/x$ нужно искать отдельно.
Известно, что производная натурального логарифма $(\ln x)' = 1/x$. Однако функция $\ln x$ определена только для $x > 0$.
1. На промежутке $x > 0$: первообразной для $1/x$ является $\ln x$. Общий вид всех первообразных: $F(x) = \ln x + C$.
2. На промежутке $x < 0$: так как $x$ отрицателен, выражение $\ln x$ не определено. Рассмотрим функцию $\ln(-x)$. В этом случае $-x > 0$, поэтому логарифм определен. Найдем ее производную по правилу дифференцирования сложной функции: $(\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$. Следовательно, для $x < 0$ первообразной является $\ln(-x)$. Общий вид: $F(x) = \ln(-x) + C$.
Обе эти формулы можно объединить в одну, используя знак модуля: $F(x) = \ln|x| + C$. Эта формула является общей для любого промежутка, не содержащего точку $x=0$.
Ответ: Для $x > 0$ формула первообразной $F(x) = \ln(x) + C$. Для $x < 0$ формула первообразной $F(x) = \ln(-x) + C$.

y = e^x
Показательная функция $y=e^x$ обладает уникальным свойством: ее производная равна самой функции, то есть $(e^x)' = e^x$. Это означает, что функция $e^x$ является своей же первообразной. Таким образом, чтобы найти все первообразные, достаточно добавить к функции произвольную постоянную $C$.
Ответ: $F(x) = e^x + C$.

y = sin x
Для нахождения первообразной функции $y = \sin x$ необходимо найти функцию, производная которой равна $\sin x$. Из таблицы производных известно, что $( \cos x )' = -\sin x$. Чтобы избавиться от знака "минус", мы можем взять функцию $-\cos x$. Найдем ее производную: $(-\cos x)' = -(\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$. Таким образом, первообразной для $\sin x$ является $-\cos x$. Общий вид всех первообразных получается добавлением константы $C$.
Ответ: $F(x) = -\cos x + C$.

y = cos x
Для нахождения первообразной функции $y = \cos x$ ищется функция, производная которой равна $\cos x$. Из таблицы производных известно, что $(\sin x)' = \cos x$. Следовательно, функция $\sin x$ является первообразной для $\cos x$. Общий вид всех первообразных получается добавлением константы $C$.
Ответ: $F(x) = \sin x + C$.

4. Перечислить правила нахождения первообразных.

Нахождение первообразной (или неопределенного интеграла) — это операция, обратная дифференцированию. Она подчиняется нескольким основным правилам, которые позволяют находить первообразные для комбинаций функций.

• Правило суммы и разности

  Первообразная для суммы (или разности) двух функций равна сумме (или разности) их первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$, а $G(x)$ — первообразная для функции $g(x)$, то для нахождения первообразной их суммы (или разности) достаточно сложить (или вычесть) их первообразные. К общему результату всегда добавляется произвольная постоянная $C$, называемая константой интегрирования.

  Ответ: Первообразная для функции $f(x) \pm g(x)$ равна $F(x) \pm G(x) + C$.

• Правило постоянного множителя

  Постоянный множитель (константу) можно выносить за знак первообразной. Если $F(x)$ — это первообразная для функции $f(x)$, а $k$ — это некоторое постоянное число, то для нахождения первообразной функции $k \cdot f(x)$ нужно просто умножить первообразную $F(x)$ на эту константу $k$.

  Ответ: Первообразная для функции $k \cdot f(x)$ равна $k \cdot F(x) + C$.

• Правило для сложной функции с линейным аргументом

  Это правило является следствием цепного правила дифференцирования и применяется для функций вида $f(kx+b)$. Если $F(x)$ — это первообразная для функции $f(x)$, то для нахождения первообразной от функции $f(kx+b)$, где $k$ и $b$ — постоянные числа и $k \neq 0$, нужно взять первообразную $F$ от всего аргумента $kx+b$ и умножить результат на коэффициент $\frac{1}{k}$.

  Ответ: Первообразная для функции $f(kx+b)$ равна $\frac{1}{k}F(kx+b) + C$.

5. Привести пример криволинейной трапеции.

Криволинейная трапеция — это плоская фигура на координатной плоскости, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс (прямой $y=0$) и двумя вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$.

В качестве конкретного примера рассмотрим фигуру, ограниченную следующими линиями:

• Верхняя граница: график функции $y = x^2 + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.
• Нижняя граница: ось абсцисс, то есть прямая $y = 0$.
• Левая граница: вертикальная прямая $x = 1$.
• Правая граница: вертикальная прямая $x = 2$.

Эта фигура является криволинейной трапецией, потому что функция $f(x) = x^2 + 1$ непрерывна и неотрицательна (на самом деле, строго положительна) на отрезке $[1, 2]$. Фигура имеет три прямолинейные стороны (основание на оси Ox и две боковые стороны) и одну криволинейную сторону (график параболы).

Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_1^2 (x^2 + 1) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \bigg|_1^2 = \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$.

Ответ: Примером криволинейной трапеции является фигура, ограниченная линиями $y = x^2+1$, $y=0$, $x=1$ и $x=2$.

6. Какую фигуру называют криволинейной трапецией?

Криволинейной трапецией называется плоская фигура в прямоугольной системе координат, ограниченная графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс (Ox) и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Для того чтобы фигура являлась криволинейной трапецией, на функцию $y=f(x)$ накладываются два важных условия на отрезке $[a, b]$:

1. Непрерывность. Функция $f(x)$ должна быть непрерывной на отрезке $[a, b]$. Это означает, что ее график на этом интервале представляет собой сплошную линию без разрывов, скачков или пропусков.
2. Неотрицательность. Функция $f(x)$ должна быть неотрицательной на отрезке $[a, b]$, то есть для любого $x$ из этого отрезка должно выполняться условие $f(x) \ge 0$. Это гарантирует, что график функции расположен не ниже оси абсцисс.

Таким образом, криволинейная трапеция ограничена четырьмя линиями:

• Сверху: графиком непрерывной и неотрицательной функции $y=f(x)$.
• Снизу: отрезком оси абсцисс от $x=a$ до $x=b$.
• Слева и справа: отрезками вертикальных прямых $x=a$ и $x=b$.

Понятие криволинейной трапеции является фундаментальным для введения определенного интеграла в математическом анализе. Площадь $S$ такой фигуры вычисляется по формуле определенного интеграла, которая известна как формула Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Ответ: Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$.

7. Записать формулу Ньютона–Лейбница.

7. Формула Ньютона—Лейбница, также известная как основная теорема математического анализа, представляет собой ключевое положение, связывающее понятия неопределенного и определенного интегралов. Она гласит, что определенный интеграл от непрерывной на отрезке функции равен разности значений её первообразной на концах этого отрезка.

Для применимости формулы необходимо, чтобы функция $f(x)$ была непрерывна на замкнутом промежутке $[a, b]$, а функция $F(x)$ была для неё первообразной на этом промежутке, что означает, что производная от $F(x)$ равна $f(x)$ для любого $x \in [a, b]$, то есть $F'(x) = f(x)$.

При выполнении этих условий формула Ньютона—Лейбница записывается так:

$\int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

В этой формуле $ \int_a^b f(x) \,dx $ — это определенный интеграл функции $f(x)$ на отрезке от $a$ до $b$. Геометрически он представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и прямыми $x=a$ и $x=b$ (с учетом знака). Величины $a$ и $b$ — это соответственно нижний и верхний пределы интегрирования. Функция $F(x)$ — любая первообразная для $f(x)$. Важно отметить, что результат не зависит от выбора конкретной первообразной, так как любые две первообразные для одной и той же функции отличаются на константу ($F_1(x) = F_2(x) + C$), которая при вычислении разности $F(b) - F(a)$ взаимно уничтожается. Разность $F(b) - F(a)$ также часто записывают в виде подстановки: $ \left. F(x) \right|_a^b $.

Таким образом, эта формула предоставляет мощный и удобный метод для точного вычисления определенных интегралов, сводя задачу к нахождению первообразной и двум подстановкам, вместо сложного процесса вычисления предела интегральных сумм.

Ответ: $ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $f(x)$ — непрерывная на отрезке $[a, b]$ функция, а $F(x)$ — её первообразная ($F'(x) = f(x)$).

8. Привести пример фигуры, площадь которой можно вычислить по формуле $S = \int_{a}^{b} (-f(x)) dx$.

Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{a}^{b} g(x) \,dx$ — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=g(x)$, осью абсцисс ($y=0$), и прямыми $x=a$ и $x=b$. Важным условием для того, чтобы этот интеграл выражал геометрическую площадь, является неотрицательность подынтегральной функции, то есть $g(x) \ge 0$ на всем отрезке $[a, b]$.

В предложенной формуле $S = \int_{a}^{b} (-f(x)) \,dx$ подынтегральная функция — это $-f(x)$. Чтобы площадь $S$ была неотрицательной величиной, должно выполняться условие:

$-f(x) \ge 0$

Умножив обе части неравенства на -1 (и изменив знак неравенства), получим:

$f(x) \le 0$

Таким образом, данная формула используется для вычисления площади фигуры, которая ограничена графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, при условии, что график функции $y=f(x)$ на отрезке $[a, b]$ расположен ниже оси абсцисс или касается ее.

Пример

Рассмотрим фигуру, ограниченную параболой $y = -x^2$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=1$ и $x=2$.

В этом случае:

• Функция $f(x) = -x^2$.
• Отрезок интегрирования $[a, b] = [1, 2]$.

На отрезке $[1, 2]$ функция $f(x) = -x^2$ принимает только отрицательные значения, то есть $f(x) \le 0$. Следовательно, для вычисления площади этой фигуры можно применить заданную формулу.

Площадь $S$ будет равна:

$S = \int_{1}^{2} (-f(x)) \,dx = \int_{1}^{2} (-(-x^2)) \,dx = \int_{1}^{2} x^2 \,dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2$, $y=0$, $x=1$, $x=2$, равна $7/3$ квадратных единиц.

Ответ: Примером такой фигуры является криволинейная трапеция, расположенная под осью абсцисс. Например, фигура, ограниченная графиком функции $y = -x^2$, осью $Ox$ и прямыми $x=1$, $x=2$.

9. Привести пример фигуры, площадь которой можно вычислить по формуле $S = \int_a^b (f_2(x) - f_1(x)) dx$.

Формула $S = \int_{a}^{b} (f_2(x) - f_1(x)) \,dx$ используется для вычисления площади фигуры (криволинейной трапеции), которая ограничена двумя непрерывными функциями и двумя вертикальными прямыми. В этой формуле:

• $y = f_2(x)$ — это функция, график которой является верхней границей фигуры.
• $y = f_1(x)$ — это функция, график которой является нижней границей фигуры.
• $x = a$ и $x = b$ — это вертикальные прямые, которые являются левой и правой границами фигуры.

Ключевым условием для применения этой формулы является то, что на всем отрезке $[a, b]$ должно выполняться неравенство $f_2(x) \geq f_1(x)$.

Пример фигуры:

Рассмотрим фигуру, ограниченную параболой $y = x^2$ и прямой $y = x + 2$.

1. Определение функций и пределов интегрирования.

Сначала нам нужно найти точки пересечения графиков, чтобы определить пределы интегрирования $a$ и $b$. Для этого приравняем выражения для $y$:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Таким образом, пределы интегрирования: $a = -1$ и $b = 2$.

2. Проверка условия $f_2(x) \geq f_1(x)$.

Теперь определим, какая из функций является верхней ($f_2(x)$), а какая — нижней ($f_1(x)$) на отрезке $[-1, 2]$. Для этого возьмем любую точку из интервала $(-1, 2)$, например, $x = 0$:

• Для параболы: $y = 0^2 = 0$
• Для прямой: $y = 0 + 2 = 2$

Поскольку $2 > 0$, на отрезке $[-1, 2]$ график прямой $y = x + 2$ лежит выше графика параболы $y = x^2$.

Следовательно, мы можем назначить:

• $f_2(x) = x + 2$ (верхняя граница)
• $f_1(x) = x^2$ (нижняя граница)

3. Формула для вычисления площади.

Площадь описанной фигуры вычисляется по интегралу:

$S = \int_{-1}^{2} ((x+2) - x^2) \,dx$

Ответ: Примером фигуры является область, ограниченная снизу параболой $y = x^2$ и сверху прямой $y = x + 2$. Площадь этой фигуры вычисляется как интеграл от разности этих функций в пределах от $x = -1$ до $x = 2$.

10. Как с помощью интеграла найти путь по заданной скорости, вычислить работу переменной силы?

Как с помощью интеграла найти путь по заданной скорости

Путь, пройденный телом, — это одна из физических величин, которую можно вычислить с помощью определенного интеграла, если известна зависимость скорости тела от времени.

В простом случае, когда тело движется с постоянной скоростью $v$, путь $S$, пройденный за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, вычисляется по формуле: $S = v \cdot (t_2 - t_1)$.

Однако чаще всего скорость тела не является постоянной, а изменяется со временем. В этом случае скорость является функцией времени $v(t)$. Чтобы найти путь, пройденный телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, применяется метод интегрирования.

Основная идея заключается в том, чтобы разбить весь временной интервал $[t_1, t_2]$ на очень большое количество малых подынтервалов $\Delta t$. В течение каждого такого малого промежутка времени скорость можно считать практически постоянной. Тогда элементарный путь $\Delta S$, пройденный за время $\Delta t$, будет приблизительно равен $\Delta S \approx v(t) \cdot \Delta t$.

Чтобы найти полный путь $S$, необходимо просуммировать все эти элементарные пути. В математике такая сумма в пределе, когда длительность подынтервалов стремится к нулю ($\Delta t \to 0$), называется определенным интегралом.

При этом важно различать понятия «путь» и «перемещение». Перемещение — это разница между конечной и начальной координатами, и оно вычисляется как $\Delta s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$. Путь — это длина всей траектории. Если скорость может менять знак (тело движется вперед, а затем назад), для нахождения пути необходимо интегрировать модуль скорости.

Таким образом, формула для вычисления пути, пройденного телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$: $S = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$

Если движение происходит всё время в одном направлении, то есть $v(t) \ge 0$ на всем интервале $[t_1, t_2]$, то модуль можно опустить, и формула упрощается: $S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$

Ответ: Путь $S$, пройденный телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ при движении со скоростью, зависящей от времени $v(t)$, вычисляется по формуле определенного интеграла от модуля скорости: $S = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$.

Как с помощью интеграла вычислить работу переменной силы

Работа в физике также может быть вычислена с помощью определенного интеграла, особенно когда сила, действующая на тело, не является постоянной.

Если на тело действует постоянная сила $F$ и тело перемещается на расстояние $x$ в направлении действия силы, то совершенная работа $A$ вычисляется как $A = F \cdot x$.

Рассмотрим более общий случай, когда сила $F$ изменяется по мере перемещения тела. То есть сила является функцией от положения (координаты) тела, $F = F(x)$. Классическим примером является сила упругости пружины, которая зависит от ее растяжения согласно закону Гука.

Чтобы найти работу, совершаемую такой переменной силой при перемещении тела из точки с координатой $x_a$ в точку с координатой $x_b$, мы используем тот же подход, что и при нахождении пути.

Разделим весь путь $[x_a, x_b]$ на большое количество малых отрезков $\Delta x$. На каждом таком малом отрезке силу $F(x)$ можно считать приблизительно постоянной. Тогда элементарная работа $\Delta A$, совершаемая на отрезке $\Delta x$, будет равна $\Delta A \approx F(x) \cdot \Delta x$.

Полная работа $A$ на всем пути от $x_a$ до $x_b$ будет суммой всех этих элементарных работ. Переходя к пределу, когда длина отрезков $\Delta x$ стремится к нулю, мы получаем определенный интеграл.

Таким образом, работа $A$, совершаемая переменной силой $F(x)$ при перемещении тела вдоль оси $x$ от точки $x_a$ до точки $x_b$, равна определенному интегралу от функции силы по перемещению.

Геометрически эта работа равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $F(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=x_a$ и $x=x_b$.

Ответ: Работа $A$, совершаемая переменной силой $F(x)$ при перемещении тела вдоль оси от точки $x_a$ до точки $x_b$, вычисляется по формуле определенного интеграла: $A = \int_{x_a}^{x_b} F(x) dx$.

11. Какую сумму называют интегральной суммой функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$?

Интегральная сумма для функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$ — это конструкция, которая является основой для определения определенного интеграла. Процесс ее построения состоит из нескольких шагов:

1. Разбиение отрезка. Отрезок $[a; b]$ разбивают на $n$ произвольных (не обязательно равных по длине) частичных отрезков с помощью точек $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$. Такое множество точек называется разбиением отрезка. Длину каждого $i$-го частичного отрезка $[x_{i-1}, x_i]$ обозначают как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$.

2. Выбор промежуточных точек. В каждом из полученных частичных отрезков $[x_{i-1}, x_i]$ выбирают произвольную точку $\xi_i$ (так что $x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$).

3. Составление суммы. Вычисляют значения функции в каждой из выбранных точек $\xi_i$ и составляют сумму произведений этих значений на длины соответствующих частичных отрезков.

Полученная сумма и называется интегральной суммой (или суммой Римана) для функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$. Она зависит как от способа разбиения отрезка на части, так и от выбора точек $\xi_i$ в них.

Математически интегральная сумма записывается формулой:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i = f(\xi_1)\Delta x_1 + f(\xi_2)\Delta x_2 + \dots + f(\xi_n)\Delta x_n$

Геометрически, если функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[a; b]$, то каждое слагаемое $f(\xi_i) \Delta x_i$ равно площади прямоугольника с основанием $\Delta x_i$ и высотой $f(\xi_i)$. Вся интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, которая аппроксимирует площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$.

Ответ: Интегральной суммой для функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называют сумму вида $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$, где отрезок $[a; b]$ разбит точками $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ на частичные отрезки $[x_{i-1}, x_i]$, $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ — длина $i$-го частичного отрезка, а $\xi_i$ — произвольная точка, принадлежащая отрезку $[x_{i-1}, x_i]$.