Номер 8, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 8, страница 165.

Условие.

8. Привести пример фигуры, площадь которой можно вычислить по формуле $S = \int_{a}^{b} (-f(x)) dx$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{a}^{b} g(x) \,dx$ — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=g(x)$, осью абсцисс ($y=0$), и прямыми $x=a$ и $x=b$. Важным условием для того, чтобы этот интеграл выражал геометрическую площадь, является неотрицательность подынтегральной функции, то есть $g(x) \ge 0$ на всем отрезке $[a, b]$.

В предложенной формуле $S = \int_{a}^{b} (-f(x)) \,dx$ подынтегральная функция — это $-f(x)$. Чтобы площадь $S$ была неотрицательной величиной, должно выполняться условие:

$-f(x) \ge 0$

Умножив обе части неравенства на -1 (и изменив знак неравенства), получим:

$f(x) \le 0$

Таким образом, данная формула используется для вычисления площади фигуры, которая ограничена графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, при условии, что график функции $y=f(x)$ на отрезке $[a, b]$ расположен ниже оси абсцисс или касается ее.

Пример

Рассмотрим фигуру, ограниченную параболой $y = -x^2$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=1$ и $x=2$.

В этом случае:

• Функция $f(x) = -x^2$.
• Отрезок интегрирования $[a, b] = [1, 2]$.

На отрезке $[1, 2]$ функция $f(x) = -x^2$ принимает только отрицательные значения, то есть $f(x) \le 0$. Следовательно, для вычисления площади этой фигуры можно применить заданную формулу.

Площадь $S$ будет равна:

$S = \int_{1}^{2} (-f(x)) \,dx = \int_{1}^{2} (-(-x^2)) \,dx = \int_{1}^{2} x^2 \,dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2$, $y=0$, $x=1$, $x=2$, равна $7/3$ квадратных единиц.

Ответ: Примером такой фигуры является криволинейная трапеция, расположенная под осью абсцисс. Например, фигура, ограниченная графиком функции $y = -x^2$, осью $Ox$ и прямыми $x=1$, $x=2$.