Номер 1, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 1, страница 166.
№1 (с. 166)
Условие. №1 (с. 166)
скриншот условия

1. Показать, что $F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$ является первообразной для функции $f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$ на всей числовой прямой.
Решение 1. №1 (с. 166)

Решение 2. №1 (с. 166)

Решение 3. №1 (с. 166)
1. Чтобы доказать, что функция $F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$ является первообразной для функции $f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$ на всей числовой прямой, необходимо найти производную функции $F(x)$ и проверить, выполняется ли равенство $F'(x) = f(x)$.
По определению, $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, если производная от $F(x)$ равна $f(x)$.
Найдём производную функции $F(x)$, используя правила дифференцирования. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных:
$F'(x) = (e^{2x} + x^3 - \cos x)' = (e^{2x})' + (x^3)' - (\cos x)'$
Вычислим производную каждого слагаемого в отдельности:
- Производная сложной функции $e^{2x}$ находится по формуле $(e^{u})' = e^u \cdot u'$. В нашем случае $u=2x$, поэтому:
$(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$ - Производная степенной функции $x^3$ находится по формуле $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
$(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$ - Производная тригонометрической функции $\cos x$ равна:
$(\cos x)' = -\sin x$
Теперь подставим найденные производные обратно в выражение для $F'(x)$:
$F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 - (-\sin x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$
$f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$
Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (вся числовая прямая, $x \in \mathbb{R}$), то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Поскольку производная функции $F(x)$ равна $F'(x) = (e^{2x} + x^3 - \cos x)' = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$, что в точности совпадает с функцией $f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на всей числовой прямой, что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 166 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 166), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.