Номер 1, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Проверь себя! - номер 1, страница 166.

Условие.

1. Показать, что $F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$ является первообразной для функции $f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$ на всей числовой прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1. Чтобы доказать, что функция $F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$ является первообразной для функции $f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$ на всей числовой прямой, необходимо найти производную функции $F(x)$ и проверить, выполняется ли равенство $F'(x) = f(x)$.

По определению, $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, если производная от $F(x)$ равна $f(x)$.

Найдём производную функции $F(x)$, используя правила дифференцирования. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных:

$F'(x) = (e^{2x} + x^3 - \cos x)' = (e^{2x})' + (x^3)' - (\cos x)'$

Вычислим производную каждого слагаемого в отдельности:

• Производная сложной функции $e^{2x}$ находится по формуле $(e^{u})' = e^u \cdot u'$. В нашем случае $u=2x$, поэтому:
  $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$
• Производная степенной функции $x^3$ находится по формуле $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
  $(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$
• Производная тригонометрической функции $\cos x$ равна:
  $(\cos x)' = -\sin x$

Теперь подставим найденные производные обратно в выражение для $F'(x)$:

$F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 - (-\sin x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$

Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$

$f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (вся числовая прямая, $x \in \mathbb{R}$), то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: Поскольку производная функции $F(x)$ равна $F'(x) = (e^{2x} + x^3 - \cos x)' = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$, что в точности совпадает с функцией $f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на всей числовой прямой, что и требовалось доказать.