Номер 4, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Проверь себя! - номер 4, страница 166.

Условие.

4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + x - 6$ и осью $Ox$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + x - 6$ и осью $Ox$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура представляет собой область, заключенную между графиком параболы и осью абсцисс.

1. Найдем пределы интегрирования.

Пределы интегрирования — это абсциссы точек пересечения параболы $y = x^2 + x - 6$ с осью $Ox$ (уравнение которой $y = 0$). Для нахождения этих точек решим уравнение:

$x^2 + x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Следовательно, парабола пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $x = -3$ и $x = 2$. Эти значения и будут пределами интегрирования.

2. Составим интеграл для вычисления площади.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ и осью $Ox$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$.

Ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Это означает, что на интервале между корнями $(-3, 2)$ значения функции отрицательны, то есть график лежит ниже оси $Ox$.

Поэтому площадь можно вычислить как интеграл от функции, взятой с противоположным знаком, либо как модуль интеграла от исходной функции. Воспользуемся вторым способом, так как он проще и универсальнее.

$S = \left| \int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) \,dx \right|$

3. Вычислим площадь.

Найдем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразная для функции $f(x) = x^2 + x - 6$ равна:

$F(x) = \int (x^2 + x - 6) \,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x$

Теперь вычислим интеграл, подставив пределы интегрирования:

$\int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x \right) \Big|_{-3}^{2} = F(2) - F(-3)$

Вычислим значения первообразной на концах отрезка:

При $x = 2$:

$F(2) = \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 6 \cdot 2 = \frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 12 = \frac{8}{3} + 2 - 12 = \frac{8}{3} - 10 = \frac{8 - 30}{3} = -\frac{22}{3}$

При $x = -3$:

$F(-3) = \frac{(-3)^3}{3} + \frac{(-3)^2}{2} - 6 \cdot (-3) = \frac{-27}{3} + \frac{9}{2} + 18 = -9 + \frac{9}{2} + 18 = 9 + \frac{9}{2} = \frac{18 + 9}{2} = \frac{27}{2}$

Найдем разность:

$F(2) - F(-3) = -\frac{22}{3} - \frac{27}{2} = -\frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27 \cdot 3}{6} = -\frac{44}{6} - \frac{81}{6} = -\frac{125}{6}$

Площадь равна модулю этого значения:

$S = \left| -\frac{125}{6} \right| = \frac{125}{6}$

Ответ: $\frac{125}{6}$